[第23讲 几何证明选讲]
(时间：30分钟)
1．如图23－1，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D.若PA＝PE，∠ABC＝60°，PD＝1，PB＝9，则EC＝________．
图23－1
2．已知AB是圆O的直径，AB＝2，AC和AD是圆O的两条弦，AC＝2，AD＝3，则∠CAD的度数是________．
3．如图23－2所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．
图23－2
图23－3
4．如图23－3所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC＝3，AB＝4，延长AO到D点，则△ABD的面积是________．
5．如图23－4，点A，B，C是圆O上的点，且BC＝6，∠BAC＝120°，则圆O的面积等于________．
图23－4
图23－5
6．如图23－5，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为________．
7．如图23－6，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E.已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________．
图23－6
图23－7
8．如图23－7，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC＝________． 9．如图23－8，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4 cm，AC＝3 cm，DE∥BC且DE把△ABC周长分为相等的两部分，则DE＝________ cm.
图23－8
10．如图23－9，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
图23－9 图23－10 11．如图23－10，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________．
12．如图23－11，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
图23－11
专题限时集训(二十三) 【基础演练】 1．4 [解析] 由弦切角定理知∠PAC＝∠ABC＝60°，又PA＝PE，所以△PAE为等边三角形，又PA2＝PD×PB＝9，所以PA＝3，所以AE＝PE＝3，故BE＝PB－PE＝6，DE＝PE－PE＝2.由相交弦定理得AE·EC＝DE·BE，所以EC＝4. 2．75°或15° [解析] 很容易求出∠CAB＝45°，∠DAB＝30°.若C，D在AB两侧，则∠CAD的度数是75°；若C，D在AB同侧，则∠CAD的度数是15°. 3．99° [解析] 分别连接OB，OC，AC，∵EB，EC是⊙O的两条切线， ∴OB⊥EB，OC⊥EF，
∵∠E＝46°，∴∠BOC＝134°，∴∠BAC＝67°，∵∠DCF＝32°，∴∠CAD＝32°， ∴∠BAD＝67°＋32°＝99°. 4.
48BO·AB12
[解析] 由题意知AO＝5，AD＝8，B到AD的距离为＝，所以△ABD的面积5AO5
11248是×8×＝. 255【能力训练】
BC65．12π [解析] 由正弦定理得＝2R，所以2R＝＝43，R＝23，S＝πR2＝12π.
sin120°32
6．4 [解析] 连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4. 7．4
9
[解析] PA＝2，OA＝3，则PB＝8，故由切割线定理得PC＝PA·PB＝4，连接OC，5
11129由·OC·CP＝·CE·OP，得CE＝，在Rt△CEO中，由勾股定理得OE＝. 2255
8．7 [解析] ∵PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以A，B，C在以P为圆心，PA为半径的圆上．延长BP交⊙P于E，则BD＝PB－PD＝1，DE＝PD＋PE＝7. 由相交弦定理得AD·DC＝BD·DE＝7. 9.
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[解析] ∵∠BAC＝90°，∴BC＝5 cm. 7
ADAExy
＝，即＝，② ABAC43
设AD＝x cm，AE＝y cm，则x＋y＝6.① ∵DE∥BC，得由①②得x＝
241830
，y＝，DE＝x2＋y2＝(cm)． 777
PBAB
＝，所以AB2＝PB·CB＝35，所以AB＝35. ABCB
10.35 [解析] 因为PA为圆O切线，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC， 所以△PAB∽△ACB，所以
11．42 [解析] ∵∠ACD＝90°，AD＝12，AC＝4， ∴CD＝AD2－AC2＝122－42＝82. 又Rt△ABE∽Rt△ADC，所以
ABBEAB·DC6×82＝，即BE＝＝＝42. ADDCAD12
2312. [解析] 连接EC，AB，OA，由A，E是半圆周上的两个三等分点可知
3
∠EBC＝30°，且△ABO是正三角形，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝30°＝∠ABE，∴BF＝AF，
BD2323BD＝1.在Rt△BDF中，BF＝＝，∴AF＝. cos30°33
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