2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用

例1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2B2． (1)求cosB

(2)若ac6，ABC面积为2，求b． 【答案】（1）cosB1517（2）b2． 【解析】由题设及ABC得sinB8sin2B2，故sinB4(1cosB)． 上式两边平方，整理得17cos2B32cosB150， 解得cosB1（舍去），cosB1517 .

（2）由cosB158117得sinB17，故S4ABC2acsinB17ac． 又S17ABC2，则ac2． 由余弦定理及ac6得b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)

362172(11517)4． 所以b2．

【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosBacosCccosA,则B .【答案】

π3 【解析】2sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosB12Bπ3.

1

【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

2

例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝3，C＝π，则S△ABC＝________.

3【答案】

3 4

bc131

【解析】因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以B

sin Bsin Csin B2π2

sin3ππ2ππ1113＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝×3×＝. 66362224【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围

【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例1在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列 (1)若b23,c2，求ABC的面积

(2)若sinA,sinB,sinC成等比数列，试判断ABC的形状 【答案】(1)23 (2)等边三角形

【解析】(1)由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C(1) 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π．(2) 得B＝

b2＝a2＋c2－2accosB(3) 3，

22所以(23)a44acos3 解得a4或a2(舍去)

所以sABC11acsinB42sin23 223(2)由a，b，c成等比数列，有b2＝ac(4)

由余弦定理及(3)，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac

再由(4)，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0。因此a＝c从而A＝C(5) 由(2)(3)(5)，得A＝B＝C＝

 32

所以△ABC为等边三角形．

【易错点】等差数列，等比数列容易混淆

【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例2在△ABC中，已知2abc，sinAsinBsinC，试判断△ABC的形状。 【答案】等边三角形

222【解析】sinAsinBsinCabc，又2abc，所以4a(bc)，所以4bc(bc)，即

222(bc)20，因而bc；由2abc得ab。所以abc，△ABC为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用

【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 题型三与三角形中有关的不等式问题

a2. 例1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长. 【答案】（1）sinBsinC【解析】

2 ；（2）CABC333 31a21a(1)由题设得acsinB,即csinB.23sinA23sinA1sinA由正弦定理得sinCsinB.

23sinA2sinCsinB.31(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC,212即cos(BC).BC,A.2331a2又bcsinA,即bc8.

23sinA由余弦定理得b2c2bc9,即(bc)23bc9,bc33.CABC333.

3

【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系

【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如yAsin(x)b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

例2已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC3asinCbc0.

(1)求A的大小；

(2)若a＝7,求△ABC的周长的取值范围． 【答案】(1)

 (2)(14,21] 3【解析】(1)由正弦定理得：

acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(AC)sinC

13sinAcosA1sin(A)AA；

62663(2)由已知：b0,c0,bca7, 由余弦定理49bc2bccos2231(bc)23bc(bc)2(bc)2(bc)2 3442当且仅当b＝c＝7时等号成立,∴(bc)449,又∵b＋c＞7,∴7＜b＋c≤14,

从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．

【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.

【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例3△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcos A. (1)求角B的大小;

(2)若b=2√3,求a+c的最大值.

4

【答案】(1)B=

（2）4√3 3【解析】:(1)∵2c-a=2bcos A,

∴根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.①∵A+B=π-C,∴sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,

代入①式,得2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化简得(2cos B-1)sin A=0.

∵A是三角形的内角,∴sin A>0,∴2cos B-1=0,解得cos B=2, ∵B∈(0,π),∴B=

1

. 3(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.

∴(a+c)2-3ac=12,∴12≥(a+c)2-4(a+c)2,当且仅当a=c=2√3时取等号, ∴a+c≤4√3 【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. (1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A>0得到cos B,从而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值.

【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;

(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;

(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. 题型四解三角形的实际应用

例1在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，

且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )

A.16 B.17 C.18 D.19 【答案】 D

【解析】 因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC＝19.

【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型

【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题

5

3

例2设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是（ ）. A.

15203m,3m B. 103m,203m 23C. 1032m,203m D. 203m,403m 3【答案】D

【解析】设甲楼为DA，乙楼为BC，如图，在

RtABD,ABD60,BD20m,ADBDtan60203m,AB2040mcos60，

CABABC30,ACBC,ACB120，在ABC中，设ACBCx，由余弦定理得：

AB2AC2BC22AC?BC·cosACB，即1600x2x2x2，解得x403m， 3403，则甲、乙两楼的高3分别是203m,【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型

【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题

【巩固训练】

题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用

1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知a=2， 2sinA=sinC=【答案】b=6或26；c4。

10时，求b及c的长 4【解析】当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理

ac，得c=4 sinAsinC由sinC=106，及0＜C＜π得cosC=± 44由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6b-12=0

6

解得 b=6或26

所以b6 或

b26c44 c2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B. （I）证明：A=2B；

II）若△ABC的面积S=a2（4，求角A的大小.

【答案】（1）略 （2）2或4．

【解析】（I）由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB,

故2sinAcosBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsinB, 于是sinBsinAB，又A,B0,,故0AB,所以

BAB或BAB因此A（舍去）或A2B

所以，A2B.

（II）由Sa21a24得2absinC4，故有

sinsinC12sin2sincos，因为sin0，得sinCcos．

又，C0,，所以C2．

当C2时，2；

当C2时，4．

综上，2或4．

3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)c. 7

（I）求C； （II）若c7,△ABC的面积为332，求△ABC的周长． 【答案】（I）

3；（II）57 【解析】（I）由已知及正弦定理得，2cosCsincossincossinC，

2cosCsinsinC．故2sinCcosCsinC．

可得cosC12，所以C3． (II)由已知，

12absinC332. 又C3，所以ab6.

由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7. 故a2b213，从而ab225.

所以ABC的周长为57

题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】因为c－acosB＝(2a－b)cos A， C＝π－(A＋B)，

所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sinBcos A， 所以cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin B＝sin A， 所以A＝π

2或B＝A或B＝π－A(舍去)，

所以△ABC为等腰或直角三角形．

2.在△ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则△ABC的形状是 . 【答案】等腰三角形

8

)

c2＋a2－b2

【解析】由已知等式得a=2··c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故△ABC为等腰三角形.

2ac

c

3. △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cos A，则△ABC为( )．

b

A．钝角三角形 C．锐角三角形

【答案】A

sin C

【解析】依题意，得＜cos A，sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，即sin Bcos A＋cos Bsin A

sin B－sin Bcos A＜0，所以cos Bsin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A. 题型三 与三角形有关的不等式问题

1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos B＝1－cos A cos C.

(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 【答案】（1）略 （2）3.

【解析】(1)证明：在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．由已知，得

(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos A cos C，

∴－sin2B－(cos A cos C－sin A sin C)＝－cos A cos C， 化简，得sin2B＝sin A sin C. 由正弦定理，得b2＝ac， ∴a，b，c成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac＝4.

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1

则cos B＝＝≥＝，

2ac2ac2ac2当且仅当a＝c时，等号成立． ∵01－

f(12

2)

B．直角三角形 D．等边三角形

＝3. 2

113∴S△ABC＝ac sin B≤×4×＝3.

222∴△ABC的面积的最大值为3.

2在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知sin(1).求角A的大小； (2).若a2BC1sinBsinC. 247， ABC的面积为3，求bc的值． 2 9

【答案】(1). A2π (2). bc3 31cosBC2sinBsinC1， 4【解析】(1).由已知得

化简得

1cosBcosCsinBsinC1sinBsinC，

2411，即cosBC， 22π2π，所以A． 33整理得cosBcosCsinBsinC由于0BCπ，则BC(2).因为SABC1133bcsinAbc，所以bc2． 2222根据余弦定理得

272b2c22bccos2π2b2c2bcbcbc， 3即7bc2，所以bc3

3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin((1)求角A的大小；

(2)若a＝3，且b≥a，求2b－c的取值范围． π2π

【答案】（1）A＝或.（2）[3，23)

33

【解析】(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2(cosC33化简得sin2A＝，∴sin A＝±，

42又03π2π

， 故A＝或. 233

C)sin(C)

3334212sinC)， 4abcπ＝＝，得b＝2sinB，c＝2sinC，因为b≥a，所以B≥A，所以A＝， sinAsinBsinC3

故2b－c＝4sinB－2sinC

＝4sinB－2sin(B)＝3sinB－3cos B

23 10

＝23sin(B6).

π2π

因为b≥a，所以≤B<，

33πππ

所以≤B－<，

662

所以2b－c的取值范围为[3，23)．

题型四 解三角形的实际应用

1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 ( )．

A．102海里 B．103海里 C．203海里 【答案】A

【解析】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝BCAB

45°， 根据正弦定理得＝，解得BC＝102(海里)．

sin 30°sin 45°

2. 要测量对岸A,B两点之间的距离，选取相距3km的C,D两点，并测得

D．202海里

ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A,B之间的距离.

【答案】5km

【解析】如图所示，在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，

ACCD3km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，

3sin7562CBD=60∴BC.ABC中，由余弦定理，

sin602得AB232626223cos755，所以AB5km. 222∴A，B之间的距离为5km.

3.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm，则 河流的宽度BC等于

11

A30°60m75°BC

A．240(31)m B．180(21)m C．120(31)m D．30(31)m 【答案】C

【解析】∵tan15tan(6045)23， ∴BC60tan6060tan15120(31)

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