数字信号处理课后习题答案-第六章习题与答案

2．

用冲激响应不变法将以下 Ha(s)变换为 H(z)，抽样周期为T

sa(sa)2b2A(2) Ha(s),n(ss0)(1) Ha(s) 分析：

①冲激响应不变法满足

n 为任意正整数 。

h(n)ha(t)tnTha(nT)，T为抽样间隔。这种变

换法必须Ha(s)先用部分分式展开。

②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式

L[tn]n!Sn1,

Aes0ttn1Aha(t)u(t)Ha(s)(n1)!(SS0)n，

可求出

|

h(k)Tha(t)tkTTha(kT)，

dX(z)kx(k)zdz，则可递推求解。又

解: (1)

Ha(s)

sa111 22(sa)b2sajbsajb

ha(t)1(ajb)t(ajb)tee u(t) 2 由冲激响应不变法可得：

T(ajb)nTh(n)Tha(nT)ee(ajb)nT u(n)

2T11H(z) h (n) z aTejbTz1aTejbTz121e1en0n

1eaTz1cosbT TaT12aT2

12ezcosbTez(2) 先引用拉氏变换的结论Ltn可得： Ha(s))

n! sn1A

(ss0)n

Aes0ttn1 则ha(t)u(t)

(n1)!Aes0kT(kT)n1 h(k)Tha(Tk)Tu(k)

(n1)!1 , 1az1

dX(z)Z且 kx(k)zdzZ按 aku(k)可得H(z)k0h(k)zk

Tn1n11s0Tk TAk(ze)(n1)!k1ATnd1 (z)n1()s0T1(n1)!dz1ez可以递推求得：AT,n11es0Tz1H(z)nS0T1ATez，n2,3,s0T1n(1ez)

•••2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：

Ha(s)'1

11.4142136ss2 而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的Ha'(s) 中的s变量用

s来代替

250's9.8696044104)2 Ha(s)Ha(4 100s444.28830s9.869604410：

设系统抽样频率为fs500Hz，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。 分析：

阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，

g(n)ga(t)tnTga(nT),

由模拟系统函数Ha(s)变换成数字系统函数的关系式为：

H(z)z1Ha(s)Z{[L1[]]tnT}zs，

还要用到一些变换关系式。

解: 】

根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：

1Ga(s)Ha(s)s

9.8696044104s(s2444.28830s9.8696044104)

 由于

1(s222.14415)222.14415s(s222.14415)2(222.14415)2

Leat(sin0t)u(t)02(sa)20

Leat(cos0t)u(t)

sa2(sa)20

*

Lu(t)1s

故

ga(t)L1Ga(s)

{1e222.14415 t[sin(222.14415 t) cos(222.14415 t)]} u(t)

则

g(n)ga(nT)

{1e222.14415 nT[sin(222.14415 nT) cos(222.14415 nT)]} u(n)

利用以下z变换关系：

Zx(n)X(z)

ZenaTx(n)X(ez)

aTZ(sinnaT)u(n)zsinaTz22zcosaT1

z2zcosaTZ(cosnaT)u(n)2z2zcosaT1

/

Zu(n)zz1

且代入a=

T

可得阶跃响应的z变换 G(z)Zg(n)

112103sfs500

zz20.30339071z2 z1z1.1580459z0.41124070 0.14534481z20.10784999z2(z1)(z1.1580459z0.41124070)

$

由此可得数字低通滤波器的系统函数为：

H(z)z1G(z)z

0.14534481z10.10784999z21211.1580459z0.41124070z

3．设有一模拟滤波器 Ha(s)1

s2s1抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。

。

分析：

双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对

应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为c1z1s1z1。 解：

1z1由变换公式 sc1z1 及 c2T 可得：

T = 2时：

1z1 s1z1

H(z)Ha(s)|

s1z11z1/

112

11z1z1z11z11(1z1)23z2

4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。 解:

归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：

Ha(s)11s22s1s21.4142136s1 则将ss代入得出截止频率

c<

为c的模拟原型为 Ha(s)1

(s200)21.4142136(s200)1394784.18

s2888.58s394784.18 由双线性变换公式可得： H(z)Ha(s)|21z1sT1z1

(2103394784.181z231z)888.58(210)394784.181z11z111

0.064(12z1z2) 1211.1683z0.4241z

…

5. 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设 c1rad s）。 解:

幅度平方函数为：

|H(j)|2221

1(/c)4 令s，则有

Ha(s)Ha(s)1

1(s/c)4 各极点满足下式：

：

skce2k1j[]24，k=1,2,3,4

则k=1,2时，所得的sk即为

Ha(s)的极点：

s1ce3j422j 22 s2cej453232 j22由以上两个极点构成的系统函数为

Ha(s) k0(ss1)(ss2)k0s232s3

代入 s0 时 Ha(s)1 , 可得 k03所以 Ha(s)>

3s232s3 6. 试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带波纹为2dB，归一化截止频率为c解:

由于 12dB ， 则11rads。(试用不同于书本的解法解答）

10101100.21 0.58489320.58489320.76478312

因为截止频率为

c2rads，则

1acsin（）411 shsh1()csin()4N121 shsh1()20.76522 -0.804

1bccos()411 chsh1()ccos()4N121 chsh1()20.76522 1.378

~

则s10.804j1.378 s2s10.804j1.378则Ha(s) A(ss1)(ss2)1.0116057s21.608s1.2735362因为N2是偶数，

故s0(0)时，有1 Ha(0)0.794328221可求得A1.27353620.7943282 1.0116057

7. 已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法试画出这些方法的结构表示图并注 明其变换方法。 模拟归一化原） 模拟低通、 模拟—模拟 高通、带通、带型 数字低通、 频带变换 数字化 阻 高通、带通、带 阻 … (a) 先模拟频带变换，再数字化 模拟归一化原 型 ~ (b) 把(a)的两步合成一步直接设计

模拟归一化原数字低通、 数字化 数字—数字 ~ 型 高通、带通、 频带变换 数字低通 带阻 (c) 先数字化，再进行数字频带变换 ;

数字低通、高通、带通、带阻 8. 某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下：

(1) 巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计； (2) 当0f2.5Hz时，衰减小于3dB； (3) 当f50Hz时，衰减大于或等于40dB； (4) 抽样频率fs200Hz。

试确定系统函数H(z),并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。 解： 、

T15103 fs120040

1st2fstT2502002 采用双线性变换法:

2 tg()

T2 由指标要求得：

c2fcT22.520log10|Ha(j400tg(

80)|320log10|Ha(j400tg()|404

12 又 Ha(j)

2N1()c 故 >

20log10|Ha(j)|10log10[1(2N)] c因而2Nj400tg(80) 10log1013 c2Nj400tg(4)10log10140c取等号计算，则有：

1[400tg(/80)/c]2N100.3

............(1)1[(400tg(/4)/c]2N104

.............(2)得

1log[(1041)/(100.31)]N1.42

2log[1/tg(/80)]~

取N=2 , 代入(1)式使通带边沿满足要求，

可得 c15.7

又二阶归一化巴特沃思滤波器为：

1 Ha(s)2s1.4142136s1代入 ss/c ：

Ha(s)

;

246.5s222.2s246.5

由双线性变换

H(z)Ha(s)|1z1s4001z1

246.5551246.51.691265103.1950710z[400(1z1)]222.2400(1z2)(12z1z2)

1.513665105z2(1z1)2 12z1z2246.5(1z1)2686.11(11.889z10.895z2)或者也可将N=2代入(2)中使阻带边沿 满足要求，可得c40，这样可得： Ha(s)1600 2s402s160012z1z2 H(z)

86.86z2198z1115.14为了满足通带、阻带不同的指标要求，

c先后两次取不同的值，故得到不同的系统传输函数H(z)，c具体取值应看题目要求。

&

9. 用双线性变换法设计一个六阶巴特沃思数字带通滤波器，抽样频率为

fs500Hz，上 、下边带截止频率分别为f2150Hz，f130Hz。

解：

由模拟低通→数字带通

11T

1fs30235002515023500522T2fs

取归一化原型，c1，则有：

6)1.0649225 9cos()cos[(12)/2]251.1682E226cos[(21)/2]cos()25Dcctg()ctg(￥

21

查表得三阶归一化巴特沃思低通滤波器

的系统函数为：

HLp(s)1s32s22s11Ez1z2sD1z2

H(z)HLp(s)|

1 32A2B21.0649C1其中ABC

11.1682Z1Z2

1.06491Z2代入后整理可得：

—

13z2H(z)HIz1Jz2Kz33z4z6 Lz4Mz5Nz6其中HD32D22D1 6.60535,I3ED34ED22ED 12.01872J(3E23)D32(E21)D22D3 8.79956

K(6EE3)D34ED 5.41307L(3E23)D32(E21)D22D3 4.07370M3ED4ED2ED 1.42114 ND32D22D1 0.06938将分母中z0的系数归一化，可得： H(z)0.1513932

11.81954z11.33219z20.81950z3

(13z23z4z6) 0.61673z40.21515z50.01050z6

10. 要设计一个二阶巴特沃思带阻数字滤波器，其阻带3dB的边带频率分别为40kHz，20kHz，抽样频率fs200kHz。 解：

由于设计的是 二阶数字带阻滤波器，故原型低通应是一阶的，一节巴特沃思归一化原型低通滤波器的系统函数可以查表求得：#

HLP(s)11s

其3dB截止频率1rad/s,则低通变到带阻的变换中所需常数分别为：

D1ctan(

)240201tan(1032)

22001030.324919721212cos22cos0.31.236068 E1cos0.121cos2根据变换公式，将HLP(s)的表达式代入，并代入D1、E1,可得数字带阻滤波器系统函数H(z)为：

H(z)HLP(s)|sD1(1z2)1E1z1z2

1(1E1z1z2)1D1 E11D12 11zz1D11D1

\\

0.7547627(11.236068z1z2) 10.9329381z10.5095255z2

11. 用双线性变换法设计一个六阶切贝雪夫数字高通滤波器，抽样频率为

fs8kHz，截止频率为fc2kHz。(不计4kHz以上的频率分量)

解：

不妨用13dB的三阶切比雪夫低通 系统函数，查表得：

HLp(s)0.25059430.25059430.92834805s0.5972404s2s3fc又 c20.5fs c1ctgc21 (c1rad/s)1

1z1z1故可得到数字高通滤波器的系统 而由变换关系式 s函数H(z)为：0.2505943 H(z)1z11z121z13

0.25059430.92834800.5972404()()1z11z11z1（

化简可得：

0.0902658(13z13z2z3)H(z)

10.6905560z10.8018905z20.3892083z3

12. 试导出从低通数字滤波器变为高通数字滤波器的设计公式。 解：

低通变成高通，只需将频率响应旋转 180度， 即将Z变换成--Z即可， 所以我们只需将 低通---低通变换公式 中得Z1用Z1代替, 就完成了低通到高通的变换，由此可得：

z'

1Z1Z1G(Z) 111Z1Z1

由于此时得对应关系为cc,故所需值为:

ejcejc ===> 1ejccosc coscc2c2 

13. 试导出从低通数字滤波器变为带通数字滤波器的设计公式。 解：

低通与带通间的关系可以查看《数字信号处理教程》,其中2,1分别为带通滤波器通带的上、下截止频率，0为带通中心频率。

所以当低通数字频率  由 0 时，带通数字频率由 0;当低通数字频率  由 -0时，带通数字频率由00，因而当由0变化到  则相应的必须变化 2，因而全通函数的阶数应为 N2，则有：。

z1G(Z1)Z1Z1  1Z11Z1Z2D1Z1D2

D2Z2D1Z11由于0（或)对应于,故有Z11时，z1G(1)1,代入上式，并由1,2都是实数，则

z1G(Z1) Z2D1Z1D2D2Z2D1Z11......(*)

将低通的频率 0，c，c及分别与其对应的 0，1，2代入(*)式得： z1G(Z1)2k1k1Zk1k1) (k122k1ZZ1k1k1Z2)2其中 cos02，1为要求的上、下截止频率，0为21cos()

通带中心频率 , c 为低通的截止频率21 kcot(2)tan(c)22cos(

21

14. 试导出从低通数字滤波器变为带阻数字滤波器的设计公式。

解： 低通 与带通滤波器之间的变换关系见 《数字信号处理教程》，由表可知：  变化量为 时， 变化量为 2 ，故 全通函数阶数N2,则有： Z1GZ1Z1Z1 11Z1Z1 又由Z1（对应带阻的10）时， Z1G(1)1 (对应低通的0） 可得 Z1GZ1

Z1Z1 1Z11Z1Z2D1Z1D2 D2Z2D1Z11—

把低通的频率c，c， 及分别对应的带阻的频率2，1，0代入上式，则有： Z1G(Z1)211kZ1k1k 1k221ZZ11k1k2cos12其中cos01cos221 ktan(2)tan(c)22

(2,1为要求的上，下截止频率，Z2 0为阻带中心频率）

15. 令ha(t),sa(t)和Ha(s)分别表示一个时域连续的线性时不变滤波器的单位冲激响应,单位阶跃响应和系统函数。令h(n),s(n)和 H(z)分别表示时域离散线性移不变数字滤波器的单位抽样响应，单位阶跃响应和系统函数。

(1) 如果h(n)ha(nT)，是否s(n)kh(kT)

an(2) 如果s(n)sa(nT)，是否h(n)ha(nT) 解：(1)

因为 s(n)u(n)h(n)其中 u(n)故nk(k)n s(n)[k(k)]h(n)h(k)

kn又 h(n)ha(nT)所以有 s(n)khna(kT)解:（2） …

由s(n)[(k)]*h(n)kn

n

kh(k) , 有：s(n)s(n1)h(n) 若 s(n)sa(nT)

则 sa(nT)sa[(n1)T]h(n) （ 1）nT(n1)T

又 sa(nT)sa[(n1)T]ha(t)dt

 （2）由（1）,(2)两式可得：h(n)

nT(n1)Tha(t)dtha(nT)

16. 假设Ha(s)在ss0处有一个 r阶极点，则 Ha( s )可以表示成

】

r

AkGa(s) Ha(s)kk1(ss0) 式中 Ga(s) 只有一阶极点 。(1) 写出由 Ha(s) 计算常数 A k 的公式(2) 求出用 s0 及 ga(t) [ Ga(s) 的拉普拉斯反变换 ] 表示的

冲激响应 ha(t) 的表示式。(3) 假设我们定义 h(n)ha(nT) 为某一数字滤波器的单位冲激响应 试利用（ 2） 的结果写出系统函数 H(z) 的表示式。(4) 导出直接从 Ha(s) 得到 H(z) 的方法。

解：(1)

由Ha(s)(ssk1rAk0)kGa(s)故由拉氏变换两边乘 (ss0)r ， 再求导数得： 1drkAkrk(ss0)rHa(s)(rk)!ds(2)可利用本章第1题的结论得： ha(t)L1Ha(s)es0t(k1) tAku(t)ga(t)

(k1)!k1r（3） 第一题是 Ha(s)A/(ss0)k 这里A 是一个常数。此题是

Ha(s)(ssk1rAk ， 是求和表示式 ， 0)k且 对 k1, 2, ..... ， r ， Ak 是不同的常数。、

(a)由Ha(s)计算各常数Ak的方法为：

Ha(s)(ssk1rAk0)kGa(s)A1A2Ar.....Ga(s)2rss0(ss0)(ss0)

则有：

(ss0)rHa(s)A(sskk1r0)rk(ss0)rGa(s)

A1(ss0)r1A2(ss0)r2..... Ar(ss0)rGa(s)  ()由于(ss0)rHa(s)在ss0处没有极点， 因而可在s0周围展成台劳级数，即：

1dp(ss0)Ha(s){p[(ss0)rp0p !dsr

Ha(s)]}ss0(ss0)p  ()*

(II)式与()相比较，看出

ss0P0 时 Ar[(ss0)rHa(s)]P1 时 Ar1P2 时 Ar2PP 时 Arpd[(ss0)Ha(s)]dsss01d2[(ss0)Ha(s)]22dsss1dp[(ss0)Ha(s)]pp !dsss ┇

00令 rpk , 即 prk可得 AkArp1drkr即 Ak[(ss)Ha(s)]0(rk)!dsrkssr0(b)与第1题的讨论相似，可得：

0estha(t)tk1Aku(t)ga(t)u(t)

k1(k1)!(c)求H(z),先求

h(n)ha(nT) es0nTk1Tk1nAku(n)ga(nT)u(n)k1(k1)!r则 H(z) n0Tha(nT)znn0Th(n)znr0TesTnk1k1TnAkznn0k1(k1)! Tga(nT)znn0

TkAkk1sT1nn(ez)G(z)k1(k1)!n1r0k1TkAk1k1k1d(1)z[]k1sT1dz1ezk1(k1)! G(z)按第1题讨论知： `

A1TH(z)1esTz1(3) Ha(s) 和 H(z) 的对应关系：sT1krTAk(k1)!ez

s0T1kk G(z) （a） (ss0)(1ez)sT1kz)k2(k1)!(1er0000rA1TAkTkesTz1G(z)sT1sT1k1ezz)k2(1e000

即 ss0 的 k 阶极点变成 zes0T的 k 阶极点(b)系数：A1A1T(c) Ga(s)G(z) 的方法与一阶极

AkAkTkes0Tz1 ， (k2 , 3 ,  , r)点的变换方法一样。

17. 图P5-17表示一个数字滤波器的频率响应。

(1) 用冲激响应不变法，试求原型模拟频率响应。 (2) 当采用双线性变换法时，试求原型模拟频率响应。 解: (1) 冲激响应不变法：

|

因为  大于折叠频率时 H(ej) 为零，故用此法无失真。1Ha(j)Ha(j) ,TT由图P617可得：故 H(ej)T522,333522H(ej),333 0，[,]之间的其他又由

， 则有 T522T, 33T3T252 Ha(j)H(ej) T,33T3T 0，其他  (2) 双线性变换法

根据双线性变换公式可得：

Ha(j)Ha(jctg)2

ctg(2) arctg（）c 故

453,3ccarctgc33 453Ha(j)arctg，c3cc330 , 其它

18. … 19. 需设计一个数字低通滤波器,通带内幅度特性在低于

0.3的频率衰减在内，阻带在0.5

到  之间的频率上 衰减至少为25dB。采用冲 激响应不变法及双线性变换法,试确定模拟系统函数 及其极点，请指出如何得到数字滤波器的系统函数。 (设抽样周期T=1)。

解: (1) 以巴特沃思滤波器为原型

(a) 冲激响应不变法

~

根据体意有： 20logH(ej0.3)0.75 20logH(ej0.5)25又 Ha(j)211()2Nc

则有临界条件为(注意T1,Ω/T)： 则有临界条件为：

0.31c0.51c2N100.0752N

102.5 以上两式联解得： N8 , c1.047 根据极点公式

Skce12k1j[]22N,k1,2,.....,8

可以求得此系统函数的极点为：

s1,80.204j1.027 s2,70.582j0.871s3,60.871j0.582 s4,51.027j0.204)

由此可以得出系统函数的表示式为：

1.2(s21.742s1.047)(s20.408s1.047)

1 2(s1.164s1.047)(s22.054s1.047)Ha(s) 将此系统函数展成部分分式：

**(若Sk极点的留数为Ak,则Sk极点的留数为Ak）

Ha(s)k18Ak  H(z)ssk1ek18AkskT

z1(b) 双线性变换法 2tg T2 由题目所给指标可得：

0.320log10Ha(j2tg20.520log10Ha(j2tg2)0.75)25

/

由此可得临界条件为：

tg(0.15)12ctg(0.25)12c2N100..0752N(1)

102.5可取(2)N6

以上两式联解得：N5.524

(i)将N6代入(2)式中，使阻带边沿

满足要求， 可得：c1.23812k1j[]22N根据极点公式 Skce、

,(k1,2,.....,6)可得：

s1,60.32j1.196

s2,50.875j0.875

s3,41.196j0.32

(ii)将N6代入(1)式中，使通带边沿满

足要求， 可得：c1.171 此时极点应为：

s1,60.303j1.131

s2,50.828j0.828

s3,41.131j0.303

查表得归一化原型巴特沃思滤波器的系

统函数为：

Ha6(s)1/(13.8637033s7.4641016s2 9.1416202s3 7.4641016s4 3.8637033s5s6)

则 Ha(s)Ha6(s)| 则可求得

ssc (取c1.171)

H(z)Ha(s)|1z1s21z1

1Az1Bz2G（1z1)6 3456CzDzEzFz

其中：A3.0932801 C8.3580917 E1.286456G4.55775103B6.8156311D5.2010734F0.0128198

(2) 以切贝雪夫滤波器为原型 (a) 冲激响应不变法

根据题目所给条件有：

c0.3 cc0.3T,,st0.5 stst0.5T20logH(ej0.3)0.7520logH(e１j0.5 由题目所给指标可得：

)25

 １＝0.75dB101010.4342

12 Ha(jst)2 Ha(j)max1

A 则log10A225 101ch1A21ch140.8905Nch11.66671st chc4.4039 4.00861.0986 取 N5 则可以求得：11214.81391115 a50.3195

21115b51.04982 极点skkjk

2N2N casin(2k1)jcbcos(2k1)

 取左半平面极点即k1,2,3,4,5可得：

s1,20.09305j0.9410 s3,40.2436j0.5816

s50.3011 由此可以得出系统函数的表示式为：

Ha(s)Ki1N1

(ssi) K 22(s0.1861s0.8941)(s0.4872s0.3976)(s0.3011) 根据 H(j0)K1 可以解得K0.1070

0.1070Ak

k1(ssk)N 将Ha(s)展成部分分式为：Ha(s) 则可得系统函数为： H(z)

Ak skT11ezk1N