勒贝格可测函数

作业(3)

第4章 勒贝格可测函数

一、单项选择题

xEx,f(x)x,x[0,1]\\E，则在[0,1]上，1.设E是[0,1]中的不可测子集，令（ ）．

(A) f(x)可测 (B) f(x)可测

(C) f(x)可测 (D) f(x)是简单函数 2.设f(x)是E上的可测函数，则（ ）． (A) f(x)是E上的连续函数 (B) f(x)是E上的勒贝格可积函数 (C) f(x)是E上的简单函数

(D) f(x)可表为一列简单函数的极限

3.设mE，f(x),f1(x),f2(x),,fn(x),是E上几乎处处有限的可测函数列，则

{fn(x)}依测度收敛于f(x)是{fn(x)}几乎处处收敛于f(x)的（ ）．

1

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充分必要条件 (D) 无关条件

4.设mE0，f(x)是E上的任一函数，则f(x)是E上的（ ）．

(A) 连续函数 (B) 简单函数

(C) 不可测函数 (D) 可测函数

二、填空题

1.设f(x)是E上的可测函数，mA0，则f(x)是EA上的 函数．

n2.设f1(x),f2(x),,fm(x),是ER上一列几乎处处有限的可测函数，如果对任意

0，有 ，则称{fm(x)}在E上依测度收敛于f(x)．

{f(x)}3.设在E上，{fn(x)}依测度收敛于f(x)，则存在{fn(x)}的子列n，使得在E上，

k{fnk(x)} 收敛于f(x)．

4.鲁金定理是说：设mE，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意0，存在闭集FE，使得m(E\\F)，且f(x)是F上的 ．

三、证明题

1.设f(x)是E上的可测函数，并且f(x)g(x) a.e.于E，证明g(x)也是E上的可测函数．

2

2.设f(x)是测度有限的可测集E上的几乎处处有限的可测函数，证明对任意0，存在E上的有界可测函数g(x)，使得

mE[f(x)g(x)]

3.设在可测集E上，fn(x)f(x)，且fn(x)g(x) a.e.于E(n1,2,)，证明f(x)g(x) a.e.于E．

4.设在可测集E上，fn(x)f(x)，且fn(x)fn1(x) a.e.于E(n1,2,)，证明

limfn(x)f(x)n a.e.于E．

{fn(x)}5.证明叶果洛夫定理的逆定理：设mE，是E上几乎处处有限的可测函数列，

f(x)是E上几乎处处有限的可测函数．如果对任意0，存在子集EE，使得在E上{fn(x)}一致收敛于f(x)，且m(E\\E)，则nlimfn(x)f(x) a.e.于E．

6.证明鲁金定理的逆定理：设mE，f(x)是E上几乎处处有限的函数，如果对任意

0，恒有闭集FE，使得m(E\\F)，且f(x)是F上的连续函数，则f(x)是E上的可测

函数．

1

7.设E是R上的有界可测集，f(x)是E上几乎处处有限的函数，证明f(x)在E上可测

limfn(x)1{fn(x)}R的充分必要条件是存在上的连续函数列，使得n

f(x)a.e.于E．

8.设f(x)是[a,b]上几乎处处有限的函数，并且对任何[,](a,b)，f(x)是[,]上的

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可测函数，试证：f(x)是[a,b]上的可测函数．

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