荆州市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

荆州市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

xy01． 已知不等式组xy1表示的平面区域为D，若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则a的取值

x2y1范围为（ ）

A．(,2) B．(,1) C．(2,) D．(1,)

2． 设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，m⊥β，则m∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②④

D．①③

3． 如图甲所示， 三棱锥PABC 的高PO8,ACBC3,ACB30 ，M,N分别在BC 和PO上，且CMx,PN2xx（0，3，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积y与 的变化关系，其中正确的是（ ）

A． B． C. D．1111] 4． 图

1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）

A． B． C． D． 5． 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

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A．15 B．21 C．24 D．35

6． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

7． 下列关系式中正确的是（ ） A．sin11°＜cos10°＜sin168°

B．sin168°＜sin11°＜cos10°

C．sin11°＜sin168°＜cos10° D．sin168°＜cos10°＜sin11°

8． 已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当

x[2,3]时，f(x)2x212x18.若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则

实数的取值范围是（ ）111] A．(0,2356) B．(0,) C．(0,) D．(0,)

35629． 设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x）的性质叙述正确的是（ ）

A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间

C．m=±1 D．最小值为﹣3

10．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 2 D． ﹣2

11．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（ ）

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A． B． C． D．

12．在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)， 且m?n0，则

2Sn+16的最小值为（ ）

an+3A．4 B．3 C．23-2 D．

9 2【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．

二、填空题

13．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是 ．

14．已知a、b、c分别是ABC三内角A、B、C的对应的三边，若csinAacosC，则

3sinA转化思想．

coBs(3的取值范围是___________． )4【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、15．如图，在矩形ABCD中，AB 则ED的长=____________

16．已知正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3， 则该正四棱锥的外接球的半径为_________

17．复数z=

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3，

BC3， E在AC上，若BEAC，

（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．

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18．记等比数列{an}的前n项积为Πn，若a4•a5=2，则Π8= ．

三、解答题

19．设点P的坐标为（x﹣3，y﹣2）．

（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第二象限的概率；

（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第三象限的概率．

20．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=所示的几何体

（Ⅰ）求几何体的表面积

（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由．

，DC=2AB=2BC=2

，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图

21．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

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22．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax+（Ⅰ）求f（x）的最小值；

+b（a＞0）

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

23．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足（1）求点P的轨迹方程；

，求a，b的值．

=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．

，求直线l的方程．

（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=

24．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD， 平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点． （Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；

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（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．

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荆州市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D如图所示，先求zaxy的最小值，当a时，a1211111（1,0），zaxy在点A取得最小值a；当a时，a，zaxy在点B取（,）222331a11得最小值a．若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则有zaxy的最小值小于1，∴2或

33a11a2，∴a2，选A． 1a1133y11B(,)33A(1,0)Ox 2． 【答案】B

【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： 在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确； 在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，

∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；

在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确； 在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误． 故选：B．

3． 【答案】A 【解析】

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考

点：几何体的体积与函数的图象.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.

4． 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.

考点：旋转体的概念. 5． 【答案】C

【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】否，

则输出S=24． 故答案为：C 6． 【答案】 D

否，

否，

是，

，乙射中的概率为，

【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为故两人都击不中的概率为（1﹣故目标被击中的概率为1﹣故选：D． 属于基础题．

=

）（1﹣）=，

，

【点评】本题主要考查相互事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，7． 【答案】C

【解析】解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°， cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．

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又∵y=sinx在x∈[0，故选：C．

]上是增函数，

∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．

【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．

8． 【答案】B 【解析】

试题分析：f(x2)fxf1，令x1，则f1f1f1，fx是定义在R上的偶函数,f10fxfx2．则函数fx是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当x2,3时，

yfxlogax1在0,上至少有三个零点可化为fx与gx的图象在0,上至少有三个交点，

fx2x212x18，令gxlogax1，则fx与gx在0,的部分图象如下图，

0a13gx在0,上单调递减，则，解得：0a故选A．

3loga32考点：根的存在性及根的个数判断.

【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得图象与函数ylogax1的图象在0,上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.

9． 【答案】B

【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数， 则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，

当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，

fx是周期函数,其周期为,要使函数yfxlogax1在0,上至少有三个零点,等价于函数fx的

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当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f（x）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B， 故选：B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．

10．【答案】D

【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D．

11．【答案】C

【解析】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1＜﹣x4＜﹣x2，

故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数是（x5+1）． 故选：C．

【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．

12．【答案】A

【解析

】

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二、填空题

13．【答案】 6 ．

【解析】解：第一次循环：S=0+第二次循环：S=+第三次循环：S=+第四次循环：S=+第五次循环：S=+故答案为：6．

=，i=1+1=2；

=，i=2+1=3； =，i=3+1=4； =，i=4+1=5；

=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；

∴判断框中的条件为i＜6？

【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题

14．【答案】(1, 【

62) 2解

析

】

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15．【答案】

21 2

【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.

3

，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD22

3332121

－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.

42242因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝16．【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，所以锥高为2，设外接球的半径为R，依轴截面的图形可知：R2(R2)2(17．【答案】

．

=﹣i（1+i）=1﹣i，

．

6211)R 28【解析】解：复数z=复数z=故答案为：

（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

18．【答案】 16 ．

【解析】解：∵等比数列{an}的前n项积为Πn，

44

∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）=2=16．

故答案为：16．

【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）

设“点P在第二象限”为事件A，事件A有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种 则P（A）=

…6（分）

（2）设“点P在第三象限”为事件B，则事件B满足∴

，作出不等式组对应的平面区域如图： 则P（B）=

=

…12（分）

20．【答案】

【解析】解：（1）根据题意，得； 该旋转体的下半部分是一个圆锥，

上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体， 其表面积为S=×4π×2×2=8

π， 或S=×4π×2

+×（4π×2

﹣2π×

）+×2π×

=8

π；

（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC， ∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角， 设∠CAM=θ，∴ EM=2sinθ，EF=，

∵tan∠MFE=1，∴

，∴tan

=

，∴

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…8（分）

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∴CM=2．

【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．

21．【答案】

【解析】解：∴z1=2﹣i 设z2=a+2i（a∈R） ∵z1z2是实数 ∴4﹣a=0解得a=4 所以z2=4+2i

∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=ax+

+b≥2

+b=b+2

当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2

（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=f（1）=，∴a++b=①

，可得：

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f'（x）=a﹣，∴f′（1）=a﹣=②

由①②得：a=2，b=﹣1

23．【答案】

【解析】解：（1）由题意，

22

可化为4x+3y=12，即：

=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3， ； ；

∴点P的轨迹方程为

（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；

②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

22

代入椭圆方程可得：（4+3k）x+6kx﹣9=0，

∴x1+x2=∴|AB|=∴k=±

，

，x1x2=•|x1﹣x2|=

，

=

，

∴直线l的方程y=±x+1．

【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．

24．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点， 所以AG⊥EF．

又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…

因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， AG⊂平面ADEF， 所以AG⊥平面ABCD．…

（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直． 以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），

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设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t）， 所以

=（﹣4，﹣1，t），

=（4，4，0），

=（0，1，t）．…

设平面ACE的法向量为=（x，y，z）， 由

=0，

=0，得

，

令z=1，得=（t，﹣t，1）． 因为BF与平面ACE所成角的正弦值为所以|cos＜即

所以AG=1或AG=

＞|=

=

=

，

，…

．

2

，解得t=1或

．…

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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