深圳中考数学代数专项复习

反比例函数与二次函数的相关知识是中考考试重点，二次函数的考察也是一难点，所以本次专题以这二者的讲解与训练为主。

【典例精析】

●专题一 一元二次方程

考点1： 一元二次方程的根的判别式、韦达定理、根的定义以及整体思想

2【例1】1、方程(k1)x1kx10有两个实数根，则k的取值范围是 ． 4

2、已知a是方程x23x20的根,则代数式a32a25a2013的值为 ．

考点2： 一元二次方程的应用

【例2】“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

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●专题二 反比例函数和二次函数 考点1：反比例函数图像及性质应用

【例3】1、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数k22k1的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为( ) yxA．1 B．－3 C．4 D．1或－3

2、如图，直线l与反比例函数y2的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(mx－1):1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为

.

图1 图2 图3

3、如图，M为双曲线y3上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm于D、C两点，x若直线yxm与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值为 。

考点2：规律探索 【例4】

1、如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为

C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……

如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________． 2、如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数y

1

（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，x

△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是 ；点Pn的坐标是 （用含n的式子表示）．

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考点3：反比列函数与一次函数的综合运用

【例5】如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)。双曲线y经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE。 （1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式。

【例6】如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。 .

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k(x0)的图像xk（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。 xyAEBFOGDCx

考点4：求二次例函数解析式

【例7】§1、（已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式）

已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为x1且最小值为－2，求这个函数的解析式。

§2、（已知图象与x轴两交点间的距离求解析式）

已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为x1且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。

§3、（由二次函数的图象变换求解析式）

把函数yx4x3的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800，求所得抛物线的解析式。

考点2：二次函数图像及性质运用

【例8】1、 对于二次函数yx22mx3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m1；

④如果当x4时的函数值与x2008时的函数值相等，则当x2012时的函数值为3． 其中正确的说法是 。（把你认为正确说法的序号都填上）

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22、小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察 得出了下面五条信息：

①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a3b．

2你认为其中正确信息的有 （填番号）。

考点5：二次例函数的实际应用

【例9】某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

考点6：二次函数的压轴题

【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

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2

【加强训练】

1、如图1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y = x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y =(k≠0)与△ABC的边有交点，则k的取值范围是（ ） A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜4

2、如图，直线 y6x 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数yk x4(x0)图x象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AFBE 。

3、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.

（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？

（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）

4、如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1k的图象上一点，ABx轴的正半轴于B点，C是OB的

x中点；一次函数y2axb的图象经过A、C两点，并将y轴于点D0，若S△AOD4． 2，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1y2时，求x的取值范围．

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5、如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC的顶点O与原点重合，边OC、OA分别在x、y轴上，顶点B在第四象限， OA4，OC8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D 处，AD交OC于E． （1）求OE的长；

（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；

（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀

速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1:3的两部分？

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部分答案:

【例2】（1）27－（3－1）×0.1=26.8.

（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x万元， 若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12 解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去) 若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12

解得x3=5(与x>10舍去，舍去),x4=－24(不合题意，舍去) 公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车. 【例6】解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是

AB的中点，AE=2，OA=2，， k

点E（2，2）在双曲线y= 上，

xk=2×2=4 ,点F在直线BC及双

44

曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,

x4所以点F的坐标为（4，1）.

(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的， ∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上， ∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，

∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED， △EGD∽△DCF；

k

② 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y= 上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）,

x

AE=2b,AB=4,

ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b, DC=DF2-CF2 =(2-b)2-b2 =21-b , △EGD∽△DCF,

DCEG2 1-b23 = , = ,b= , DFED2-b 4-2b4

33

有点F（4， ），k = 4× = 3.

44 考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题． 分析： （1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标； ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N

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在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标． 2解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴， 解得， 2所以，抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3； （2）①∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴OA=OB=3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45°， ∵PF⊥x轴， ∴∠AEF=90°﹣45°=45°， 又∵PD⊥AB， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴PD越大，△PDE的周长越大， 易得直线AB的解析式为y=x+3， 设与AB平行的直线解析式为y=x+m， 联立2， 消掉y得，x+3x+m﹣3=0， 当△=3﹣4×1×（m﹣3）=0， 即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长， =， 2此时x=﹣，y=﹣+∴点P（﹣， ）时，△PDE的周长最大； ②抛物线y=﹣x﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣2=﹣1， （i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q， 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

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∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°， ∴∠APF=∠QPM， ∵在△APF和△MPQ中， ， ∴△APF≌△MPQ（AAS）， ∴PF=PQ， 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n， 即PF=﹣1﹣n， ∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）， ∵点P在抛物线y=﹣x﹣2x+3上， ∴﹣n﹣2n+3=﹣1﹣n， 整理得，n+n﹣4=0， 解得n1=﹣1﹣n=﹣1﹣所以，点P的坐标为（ （ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q， （舍去），n2==， ，）； ， 222 ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°， ∴∠FPA=∠QAN， 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN， ∴△APF≌△NAQ， ∴PF=AQ， 设点P坐标为P（x，﹣x﹣2x+3）， 则有﹣x﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2， 解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，2）． ，），当顶点N恰好﹣1， 此时点P坐标为（﹣22综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣解：（1）三，k＞0；

﹣1，2）． （2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标标为（2，2），

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∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入yy=

kkk得x= ；把x=2代入y得x2xkkk，∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2， ）， 22211kk1k113222k2k2=k22， 222228822∴S阴影当k－2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为

3； 2∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小； （3）设D点坐标为（a，

OD1k2k ），∵，把，∴OD=DC，即D点为OC的中点，∴C点坐标为（2a，）aaOC2y=

1a2k2kkaa2k2 代入y 得x= ，确定A点坐标为（，），∵SOAC2，∴2a×=1，解得k=.

22aax22a3例8（2）

【例9】解：（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。

（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800， 解这个方程得x1=25，x2=43。

∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。 ∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512，

∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。 （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知， 当25≤x≤43时，z≥350。 又由限价32元，得25≤x≤32。

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小， ∴当x=32时，每月制造成本最低。

最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）。 ∴所求每月最低制造成本为648万元。

【例10】 解：（1）设抛物线的函数表达式ya(x1)(x3)

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∵抛物线与y轴交于点E(0,3)，将该点坐标代入上式，得a1． ∴所求函数表达式y(x1)(x3)，即yx2x3． （2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A(3,0)，点B(1,0)， ∴点C的坐标是C(5,0)．

将点C的坐标是C(5,0)代入yxm，得m5． ∴直线CD的函数表达式为yx5．

设K点的坐标为(t,0)，则H点的坐标为(t,t5)，G点的坐标为(t,t2t3)． ∵点K为线段AB上一动点， ∴3t1．

∴HG(t5)(t2t3)t3t8(t)222232241． 431， 2341∴当t时，线段HG长度有最大值．

24∵3（3）∵点F是线段BC的中点，点B(1,0)，点 C(5,0)， ∴点F的坐标为F(3,0)． ∵直线l过点F且与y轴平行， ∴直线l的函数表达式为x3． ∵点M在直线l上，点N在抛物线上 ，

∴设点M的坐标为M(3,m)，点N的坐标为N(n,n2n3)． ∵点A(3,0)，点 C(5,0)，∴AC8． 分情况讨论：

① 若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN∥AC，且MN＝AC＝8． 当点N在点M的左侧时，MN3n． ∴3n8，解得n5． ∴N点的坐标为N(5,12)．

当点N在点M的右侧时，MNn3． ∴n38，解得n11． ∴N点的坐标为N(11,40)．

②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称．取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为P(1,0)．过点P作NP⊥x轴，交抛物线于

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点N．

将x1代入yx2x3，得y4． 过点N，B作直线NB交直线l于点M． 在△BPN和△BFM中，

2NPBMBF∵BFBP BPNBFM90∴△BPN≌△BFM． ∴NB＝MB．

∴四边形点ANCM为平行四边形． ∴坐标为(1,4)的点N符合条件．

∴当点N的坐标为(5,12)，(11,40)，(1,4)时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形． 课后测控6、解：（1）

四边形OABC是矩形，

··············· （1分） CDEAOE90，OABCCD． 又CEDOEA，△CDE≌△AOE． ·············· （2分） OEDE．

OE2OA2(ADDE)2，

即OE4(8OE)，

解之，得OE3． ············· （3分） （2）EC835．如图4，过D作DGEC于G，

222△DGE≌△CDE． ··········· （4分） DEDGDEEG129，．DG，EG． ECCDECDE552412D，． ·············· （5分）

55因O点为坐标原点，故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为yaxbx．

2564a8b0，a，32242 2412解之，得b5.ab.5554y（3）

525xx． 324抛物线的对称轴为x4，其顶点坐标为4，．



52

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1k，8kb0，设直线AC的解析式为ykxb，则解之，得2

b4.b4.y1x4． ···························· （9分） 2设直线FP交直线AC于Hm，1m42，过H作HMOA于M．

△AMH∽△AOC．HM:OCAH:AC．

S△FAH:S△FHC1:3或3:1，

AH:HC1:3或3:1，HM:OCAH:AC1:4或3:4． HM2或6，即m2或6．

H1(2，3)，H2(6，1)． ······················直线FH111的解析式为y4x172．当y4时，x1811． 直线FH的解析式为y74x192．当y4时，x5427．

当t1811秒或547秒时，直线FP把△FAC分成面积之比为1:3的两部分． 说明：只求对一个值的给11分．

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（10分）

（12分）