考试周刊２叭５年第１３期 关于全概率公式和贝叶斯公式的教学设计 万祥兰 （湖北工业大学理学院，湖北武汉４３００６８） 摘 要：全概率公式和贝叶斯公式是概率教学中的重难点．本文利用启发式、总结式等方法。对全概率公式和贝叶斯公式进 行教学设计，并结合实例，给出相关的应用． 关键词：全概率公式 贝叶斯公式 完备事件组 １．目Ｉ例 率，而在贝叶斯公式中Ｐ（Ａ： ）叫后验概率，这是知道结果再追 溯原因出在何处。并由此作出贝叶斯决策，这种决策方法在随 机信号处理、投资决策和风险管理等方面有广泛应用． ３．应用举例 例２：某人到外地开会，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的 概率分别为０．２，Ｏ．１，Ｏ－３和０．４，他乘火车、轮船、汽车迟到的概 １ １ １ 某厂使用甲、乙、丙三个产地的同型号电子元件用于生产 电脑，其来自三地的元件数量各占Ｏ．２５，０３０，０．４５，且它们的合 格率分别为０．９５，０．９６，０．９７， （１）若任取一元件，问取到的是合格品的概率是多少？ （２）若查出某一元件不合格，问该元件最有可能来自何地？ 在第（１）问中，虽不知元件产自何地，但知道必是甲、乙、 丙三地之一，合格率的大小与产地有关，而第（２）问则是已知 结果追溯原因，并作出决策．为此引出解决这两类问题的方 法，即全概率公式、贝叶斯公式及贝叶斯决策． ２．全概率公式和贝叶斯公式 定理：设事件Ａ．，Ａ，…Ａ 两两互不相容，Ｐ（Ａ；）＞０（Ｉ＝１，２， …率分别为 ， ， ，乘飞机不会迟到，求他开会迟到的概率． ３ １０ ４ 分析：引起目标事件Ｐ（Ｂ）“迟到”的所有原因为乘火车、轮 船、汽车或飞机，它们构成了完备事件组，￣．Ｐ（ＢＩＡ：）已知，因此 可以直接用全概率公式求解． 解：设Ｂ表示事件“开会迟到”，Ａ ，Ａ，，Ａ，，Ａ 分别表示“某 ，Ｎ），且∑Ａ Ｑ，则对任一事件Ｂ，有 全概率公式：Ｐ（Ｂ）： Ｐ（Ａ；）Ｐ（ＢＩＡ；） 人乘火车、轮船、汽车或飞机”，由全概率公式 ４－， １ １ １ Ｐ（Ｂ）＝二Ｐ（ｌ＝Ｉ Ａｉ）Ｐ（ＢＩＡｉ）＝０．２×÷＋０＿．） 】 １Ｕ ０．３ｘ÷ ｏ．叶 ４ｘ ０—０．１５２ 贝叶斯公式：若Ｐ（Ｂ）＞０，则Ｐ（ＡｉＩＢ）： ！！ 里！ ！ （ｉ： ２ ｊＰ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ） ＝ｌ １，２，…ｎ） 证明参见教材． 由这个定理可得例２的解如下： 设Ａ ，Ａ ，Ａ 分别表示“电子元件来自甲、乙、丙三地”，￣ｌｔＪＡ 。，例３：考试时选择题有４个答案，其中只有一个是正确的， 当学生不会做时可以随机猜测．假设一个学生会做题与不会 做题的概率相等．现在从卷面上看该题答对了，求该学生确实 会做此题的概率． 分析：现在是知道结果“卷面上看该题答对了”，追溯原因 “学生确实会做此题”，显然是用贝叶斯公式． 解：设事件Ｂ表示“学生答对该题”，Ａ表示“学生会做该 题”。Ａ与百构成了一个完备事件组．从而Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ ）＝０．５，Ｐ（ＢＩ Ａ）＝１。Ｐ（ＢＩＡ）＝０．２５，由贝叶斯公式，可得所求概率为： Ａ ，Ａ 构成Ｑ的一个划分，又设Ｂ表示“取得的元件为合格 Ｐ（Ａ１）＝Ｏ．２５，Ｐ（Ａ２）＝０．３０，Ｐ（Ａ３）＝０．４５，Ｐ（ＢＩＡ１）＝０．９５，Ｐ（ＢＩ 品”．易知 Ａ２）＝Ｏ．９６，Ｐ（ＢＩＡ３）＝０．９７ 于是 Ｐ（ＡＩＢ）＝ ！垒 里 ！——： ： Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ＪＡ）＋Ｐ（ ）Ｐ（Ｂ Ｊ ）０．５ｘｌ＋Ｏ．５ｘ０．２５ ＝０．８ 在应用全概率及贝叶斯公式时，有时常使用某事件Ａ与其 逆事件 作为一个划分． 例４：某地区居民的肝癌发病率为０．０００４，采用甲胎蛋白 法进行普查。医学研究表明．化验结果是存在错误的．已知患 有肝癌的人其化验结果０．９９呈阳性（有病），而没有患肝癌的 人其化验结果０．９９９呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳 性．问他真的患肝癌的概率是多少？ 解：设Ｂ表示事件“检验结果呈阳性”，Ａ表示“被检查者患 有肝癌”，显然，Ａ与百构成了一个完备事件组．Ｐ（Ａ）＝Ｏ．０００４，Ｐ （ＢＩＡ）＝０．９９，Ｐ（ ）＝Ｏ．９９９６，Ｐ（ＢＩＡ）＝Ｏ．００１，由贝叶斯公式，可得 （１）Ｐ（Ｂ）：∑Ｐ（Ａ．）Ｐ（ＢＩＡｉ）：０．２５ｘ０．９５＋ｏ．３０ｘ０．９６＋ｏ．４５× ０．９７＝０．９６２０ （２）Ｐ（Ａ，岳）：坠 Ｐ（ ＝： 曼 ０．２５）（ｏＤ５＋０．３ｘ０．０４＋０．４５×ｏ－０３ ） Ｏ．３２８９ 同理，Ｐ（Ａ，ｌ百）： ‘Ｑ： ： ０．２５ｘ０．０５＋０．３ｘＯ．Ｏ４＋Ｏ．４５ｘ０．０３ ：０３１５７ ．Ｐ（ＡｌＢ）： ＝里 ！ 一： 旦 ９＋ｏ－９９９６）ｄＤ＿００１ Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ、ＯＤＯ０ ０．２８４ Ｐ（Ａ ）： ：箜 ： ０．２５ｘ０．０５＋０．３ｘＯ．Ｏ４＋０．４５ｘ０．０３ ：０３５５２ ．由计算结果知Ｐ（Ａ３ＩＢ）＞Ｐ（ＡｌＩＢ）＞Ｐ（Ａ２Ｉ百）． 从这个例子可以看到，全概率公式和贝叶斯公式的条件 完全相同，是一个问题的两个方面．在全概率公式中，构成划 分的事件Ａ。，Ａ：…Ａ 是导致试验结果的原因，ｉ￣Ｐ（Ａ ）叫先验概 检查结果呈阳性真的患肝癌的概率只有０．２８４，如何确保 诊断无误呢？临床上通常的办法就是复诊．复诊时患肝癌的概 率不再是Ｏ．０００４。而是０．２８４，第一次检查呈阳性，对其患病的 概率进行了修正． 假若第二次检查仍然呈阳性，则患肝癌的概率为 Ｒ ２０１５年第１３期是 试周刊 数学教学应加强对学生应用意识的培养 曾黄淑芳 （福建省漳州市第三中学，福建漳州 ３６３０００） 摘要：数学在现实世界中有着广泛应用，教师在平时的数学教学中应教给学生“有用的数学”，这样不仅可以激发学生学习 的积极性，而且有利于培养学生的数学应用意识。本文主要从四个方面谈谈如何培养学生的应用意识：揭示数学知识来源于生 活，体会数学知识的实用价值；创设实际的问题情境，渗透学生的数学应用意识；加强应用，提高学生应用数学知识解决实际问题 的能力；注意开展实践活动，学以致用。 关键词：数学教学应用意识培养方法 数学作为一门基础学科，它的实用性几乎渗透到科技与 生活的各个领域。从近几年的中考看，试卷进一步加强了对学 生应用所学知识解决实际问题能力的考查．试题更具有实用 性和时代气息。因此，教师在平时的数学教学中应教给学生 “有用的数学”，注意培养学生的应用意识。《新的课程标准》对 学生的应用意识提出如下要求：“让学生认识到现实生活中蕴 含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用：面 对实际问题时．能主动试着从数学的角度运用所学的知识和 方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻 找其实际背景，并探索其应用价值。”下面我结合平时的教学 谈谈如何培养学生的数学应用意识。 揭示数学知识来源于生活。体会数学知识的实用价值 现实世界是产生数学知识的“源泉”，丰富的生活实践经过 一Ｅ 银幕 图２ 、积累、归纳、筛选、提炼，最后上升为数学理论知识。事实上，数 学知识都是因应用而产生。为应用而发展起来的，所以当我们 传授数学知识时．就该把知识再一次还原、回归，融人丰富的实 际生活之中，仿佛它就在自己的身边，亲切之感就会油然而生。 例如：在学习黄金分割时，老师应向学生介绍黄金分割被 广泛用于建筑设计、美术、文艺等领域。主持人站在舞台的一 个黄金分割点，给人一种美的感受：文艺复兴时期的著名画家 达・芬奇把绘画艺术与黄金分割理论结合起来．使他创作出了 许多稀世珍品：我国国旗上的五角星也应用了黄金分割的知 识，体现了一种和谐的美。如图１，点Ｎ和点Ｐ都是五角星上的黄 金分割点。 实例２：照相机是大家熟悉的东西，它能够把大家美好的 瞬间及时拍下来，它的工作原理也是利用了位似知识。图３是 它的工作原理：两条光线与相机透镜的交点Ａ就是位似中心， 底片上的点Ｂ、Ｃ和对应大树上的点Ｅ、Ｆ．以及Ａ点组成两个位 似三角形ａＡＢＣ和ａＡＥＦ。 图３ 图１ 又如，在学习《位似图形》时，我们应该让学生充分感受到 位似就在我们的身边。 实例１：幻灯机是老师常用的教具之一，它把精致的图片 投到银幕上，幻灯机的工作原理如图２，光源Ａ就是位似中心， 它发出的两条光线与幻灯片上图形的两点Ｂ、Ｃ和银幕上图形 的对应两点Ｄ、Ｅ组成了两个位似三角形△ＡＢＣ和ａＡＤＥ。 二、创设实际的问题情境．渗透学生的数学应用意识 “人的思维活动是由客观存在所引起的，是从具体的感性 认识开始的”。所以在数学教学中教师应创设一些贴近学生实 际生活的数学问题，这些问题重视情境的应用，需要学生通过 动手实验、独立探索及合作交流完成。这样不仅可以激发学生 学习的积极性，而且有利于培养学生的数学应用意识。 例如，在学习“线段的垂直平分线”这个定理时．由于比较 抽象难以理解，在新课导人时，我们可以设计如下生活情景： “在Ａ、Ｂ两个村庄之间要建一所小学，要使该小学到两村的距 离相等，应将小学建在何处？”从这个实际问题引出学习这个 定理的必要性。这不仅激发了学生的求知欲．而且进一步让学 生体会到了用数学知识解决实际问题的重要性 又如在认识《证明的必要性》时．我们可以创设这样的实 ５．课堂小结 Ｐ（ＡＩＢ）：一 ＝垒）Ｐ（ ： ：三璺 ： Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（ＢＩＡ）０．２８４ｘ０．９９＋０．７１６ｘ０￣０１ Ｏ．９９７ 全概率公式——由因求果，贝叶斯公式——执果寻因 参考文献： 该例题表明复查可以提高医生诊断的准确性． ４．应用公式的一般步骤 （１）找出样本空间ｎ的完备事件组； （２）求Ｐ（Ａ），Ｐ（ＢＩＡ．）； ．［１］李子强．概率论与数理统计．科学出版社，２０１１：ｌ８— １９． ［２］符方健．全概率公式及其应用技巧［Ｊ］．高等数学研究， ２０１ １，１４（２）：５２—５４． （３）求Ｐ（Ｂ）．Ｐ（Ａ．ＩＢ）．