一、单选题 1．设集合
，则集合的真子集个数为（ ）
A． 8 B． 7 C． 4 D． 3 【答案】B 【解析】
解不等式得到集合，然后根据集合元素的个数得到真子集的个数． 【详解】 由题意得
所以集合的真子集的个数为故选B． 【点睛】
解答本题时要注意结论：含有个元素的集合的子集的个数为个，真子集的个数为
个，非空子集的个数为2．已知集合（ ） A． 【答案】C 【解析】 先求出集合，由【详解】 由题意得∵∴
， ，
．
得
，并由此得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．
B．
C．
D．
，
个，非空真子集的个数为
，若
个．
，则实数的取值范围为
， 个．
∴，解得， ．
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∴实数的取值范围为
故选C． 【点睛】
解得本题时要注意两点：一是根据
得到
；二是由集合的包含关系得到不等
式组时，要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的含义． 3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是 （ ）
A． B．
C． 【答案】C
D．
【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0
时，由两个y值与其对应，故选C
4．函数A．
的定义域是（ ）
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】
根据函数解析式的特点得到不等式（组），然后解不等式（组）可得函数的定义域． 【详解】
要使函数有意义，则有解得
且
，
． ，
所以函数的定义域为故选B．
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【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出关于变量的不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 5．若函数
满足
,，则
的解析式是（ ）
A． f(x)=9x+8 B． f(x)=3x+2
C． f(x)=-3x-4 D． f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4 【答案】B
【解析】试题分析：设【考点】换元法求解析式 6．函数A．
是偶函数 B．
的解只有
，则下列结论错误的是( ) 的值域是
C． 方程【答案】C 【解析】
D． 方程的解只有
根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论． 【详解】
对于A，当为有理数时，有数为偶函数，所以A正确． 对于B，由题意得函数的值域为
，所以B正确．
；当为无理数时，有
，所以函
对于C，若为有理数，则方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)恒成立；若为无理数，则方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x)，此时无满足条件的x，故方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数，所以C不正确．
对于D，若x为有理数，则方程f(f(x))=f(1)=1，此时x=1；若x为无理数，则方程f(f(x))=f(0)=1，此时无满足条件的x，故方程f(f(x))=x的解为x=1，所以D正确． 故选C． 【点睛】
解得本题的关键是正确理解函数理解和运用的能力，属于基础题．
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的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考查
7．函数的图象是（ ）
A． B． C．
D． 【答案】B 【解析】
根据函数的定义域、单调性对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结果． 【详解】
由又可得函数故选B． 【点睛】
得函数的定义域为在
和
，所以可排除C,D；
上为增函数，所以可排除A．
根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般用排除法进行，解题时可根据函数的定义域、函数的单调性、奇偶性（对称性）、特殊点及函数值的变化趋势等进行排除，同时还应熟记常见函数的图象及图象的变换等． 8．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． 【答案】D 【解析】
根据要求对给出的四个选项分别进行判断，进而可得结果． 【详解】 选项A中，函数选项B中，函数
为非奇非偶函数，在定义域上为增函数，所以不合题意； 为非奇非偶函数，在定义域上为增函数，所以不合题意； B．
C．
D．
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选项C中，函数题意； 选项D中，函数故选D． 【点睛】
为偶函数，在上为减函数，在上为增函数，所以不合
为奇函数，在定义域上为增函数，所以符合题意．
解答本题的关键是熟知所给函数的性质，然后再根据要求进行判断，考查对基础知识的掌握情况和判断能力，属于基础题．
9．已知，， ，则a,b,c的大小关系是（ ）
A． a>b>c B． b>c>a C． c>a>b D． c>b>a 【答案】D 【解析】
根据对数、指数的知识先判断出各数所在的范围，然后再比较大小． 【详解】
由题意得所以故选D． 【点睛】
．
，，，
判断数的大小时，若各数都为幂的形式或都为对数的形式，则可根据指数函数、幂函数或对数函数的性质进行判定；若既含有幂的形式又含有对数的形式，则一般先判断出每个数的大体范围，然后再借助中间量（如0或1）进行判断． 10．函数
是幂函数，且当
时
是增函数．则实数m=（ ）
A． 3或﹣2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3或2 【答案】C 【解析】 由函数【详解】 ∵函数∴
，即
是幂函数，
，
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为幂函数可得
，求出的值后再进行验证，最后可得所求的值．
解得当当∴
或时，时，．
． ，在，在
上为减函数，不合题意； 上为增函数，符合题意．
故选C． 【点睛】
本题考查幂函数的定义和性质，以及计算和判断能力，解题时根据幂函数的定义进行求解即可，属于基础题． 11．已知函数A．
B．
在 C．
上递增，则a的取值范围是（ ）
D．
【答案】D 【解析】 分
和
两种情况分别求解，可得所求范围．
【详解】 ①当
时，
，在
上没有单调性，不合题意；
②当∵函数
时，函数在
图象的对称轴为上递增，
,
∴，解得
．
，
∴实数的取值范围为故选D． 【点睛】
解答本题时注意两点：（1）对的取值要进行分类讨论，以确定函数的类型；（2）二次函数在给定区间上的单调性取决于抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，解题时要结合函数的图象求解，以增强解题的直观性．
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12．已知函数的取值范围（ ） A． (1,2018) B． 【答案】C 【解析】 画出函数【详解】 画出函数
的图象，如下图所示．
，若a,b,c互不相等，且，则a+b+c
C． （2,2019） D．
的图象，根据图象确定出所在的关系及范围，然后可得所求．
则当时，函数的图象关于对称．
设∴又∴∴故选C． 【点睛】
，则
， ， ， 的取值范围为
．
，且，
本题考查函数图象的画法和图象的应用，考查动手和理解能力，解题的关键是正确画出函数的图象，并结合图象的对称性得到问题处理．
二、填空题
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，进而将问题转化为求的范围的
13．已知【答案】10 【解析】 先求出【详解】 由题意得∴
故答案为：10． 【点睛】
则__________.
的值，然后再求出的值即可．
， .
本题考查分段函数的求值，解题的关键是分清自变量的取值在定义域的哪一个区间上，考查判断和计算能力，属于简单题． 14．已知
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
时，
__________． 【答案】【解析】 当可． 【详解】 当∴又函数∴∴即故答案为：【点睛】
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为奇函数，
， ． 时，
．
．
时，则有
，
，
时，
，结合题意求出
，然后再根据函数为奇函数求出
即
本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查转化的方法在解题中的应用，解题的关键是根据对称性将问题转化到区间
上去求解，再根据奇偶性得到所求．
15．用二分法研究函数应计算___的值．
的零点时，第一次经计算，，第二次
【答案】【解析】
根据二分法的解题思路可得所求． 【详解】
由二分法的解题步骤可得，第一次经计算得，，得到函数在上存在
零点，第二次应计算区间的中点值，即需要求的值．
故答案为：【点睛】
．
解答本题的关键是正确理解二分法的含义，二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法，其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间内的任一点就是这个函数零点的近似值．
16．若函数的值域为R，则实数k的取值范围为_____。
【答案】【解析】
将问题转化为
合函数的性质求解即可． 【详解】
能取尽所有的正数，然后再分和两种情况，并结
∵函数的值域为R，
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∴能取尽所有的正数．
①当时，，能取尽所有的正数，符合题意；
②当时，要使能取尽所有的正数，
则需满足，解得或，
综上可得或,
∴实数的取值范围为【点睛】
.
解答本题的关键是深刻理解题意，解题中容易出现的错误是将“函数
的值域为R”与“函数
R”误认为相同；另外，解题时还要注意分类讨论思想方法的灵活运用．
三、解答题 17．求值：
的定义域为
（1）（2）
【答案】(1) ；(2)。 【解析】
（1）根据有理数指数幂的运算性质求解；（2）根据对数的运算性质求解． 【详解】
（1）
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. （2）【点睛】
本题考查分数指数幂的运算和对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于基础题．
18．已知全集为R，集合（1）求（2）若【答案】（1）
，
；
，且
，求a的取值范围.
，
.
．
,
(2)
【解析】
（1）先求出集合B，于是可得将【详解】 （1）∵∴∴
(2)由题意知∵∴解得
或或
. ，且，，
，
，
．
和，进而得到；（2）先求出，再
转化为不等式求解，可得所求范围．
， ，
.
故实数的取值范围为【点睛】
.
本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解即可，其中解答（2）的关键是将
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集合间的包含关系转化为不等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立．
19．已知函数
（1）求（2）当
,其中
的值；
时，函数
是否存在最小值？若存在，求出
的最小值，
若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）当【解析】
时，
（1）根据解析式及所求值的特点，先证明出函数的单调性，然后再求出最小值． 【详解】
，进而得到结果；（2）先判断
（1）由∴
定义域
，得．
,
∵，
∴，
∴（2）设
． ，且
，
令，
则，
∴，
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∴又
，
．
∴即∴函数∴函数
在在，
内为减函数， 内为减函数，
，
∴当时，，
∴函数【点睛】
存在最小值，且最小值为．
本题考查函数最小值的求法和函数值的计算，属于基础题，其中利用单调性求最值是常用的方法，解题时可根据定义判断出函数的单调性，然后再根据单调性求出函数的最值即可． 20．已知函数
对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值； （2）求f（x）的解析式；
（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．
2
【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x+x﹣2（3）【解析】 （1）令式中，令
，可得，可得
，再根据，再根据
可得
；（2）在条件中的等
可得所求的解析式；（3）由条件
可得当
时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数
上的值域即可得到的范围．
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【详解】
（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中， 令x=﹣1，y=1，可得又∴
， ．
，
（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中， 令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1） 又∴
，
．
（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．
由当成立．
时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当
时不等式x2﹣x+1＜a恒
设，
则∴∴∴
在上单调递减， ，
．
．
【点睛】
（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．
（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．
21．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.
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（1）把y表示为x的函数；
（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）
【答案】（1）（2）30名员工（3）销售单价定为55或
70元时，该专卖店月利润最大
【解析】
（1）利用待定系数法分别求出当
和
时的解析式，进而可得所求结
果；（2）设该店有职工m名，根据题意得到关于m的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】 （1）当由题意得点
时，设
，
在函数的图象上，
∴∴当
，解得时，
， ．
同理，当时，．
∴所求关系式为
（2）设该店有职工m名， 当x=50时，该店的总收入为又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.
元，
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所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，
则月利润①当
时，
，
所以x=55时，S取最大值15000元；
②当时，，
所以x=70时，S取最大值15000元； 故当x=55或x=70时，S取最大值15000元，
即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】
解决函数应用问题重点解决以下几点：
（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；
（3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 22．已知（1）设（2）若
,
，若函数
存在零点，求a的取值范围；
是偶函数，求的值；
（3）在（2）条件下，设求实数b的取值范围. 【答案】（1）【解析】
（1）由题意得方程
有解，求出函数
，若函数与的图象只有一个公共点，
（2）（3）
的值域即可得到所求的范围；
在R上恒成立，故得
；
（2）根据偶函数的定义得，由此得到第 16 页 共 19 页
（3）将问题转化为方程分布的知识求解即可． 【详解】 （1）令∵函数∴方程
存在零点， 有解.
，得
只有一解求解，整理后结合分类讨论并根据方程根的
．
又易知
在
上是减函数，
，
又所以
，，
，
所以的取值范围是（2）方法1： 由题意得函数∵函数∴
为偶函数，
.
的定义域为R．
∴
∴∴
．
，
检验：当∵∴函数∴
．
时，
为偶函数，
，
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方法2： ∵函数∴∴
为偶函数， ，
，
∴∴∴
．
在R上恒成立，
，
∴（3）∵∴方程
与
的图象只有一个公共点， 只有一解，
．
即又
，
只有一解，
∴方程只有一解.
令∴方程
，则关于t的方程
有一正根，
有一正根，
（ⅰ）当b=1时，解得（ⅱ）当
时，
，不合题意；
①若方程有两相等正根，则解得
，
②若方程有两不等实根且只有一个正根，
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由于函数的图象恒过点，
故只需二次函数图象，即抛物线的开口向上， ∴解得
，
．
综上可得实数的取值范围【点睛】
（1）已知函数的奇偶性求参数的值时，一般的方法是根据奇偶性的定义得到关于自变量和参数的恒等式，然后通过比较系数可得所求．
（2）解题时注意转化思想的运用，即方程解的个数问题可转化为两个函数图象公共点的个数问题，已知方程有解求参数范围问题可转化为求函数的值域问题等．
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