2017-2018学年江西省南昌二中高二(上)第一次月考数学试卷

2017-2018学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题. 1．（3分）直线A．

B．

C．

的倾斜角是（ ） D．

2．（3分）焦点在x轴上的椭圆A．11 B．33 C．

D．

的焦距为，则长轴长是（ ）

3．（3分）直线（k+1）x﹣ky+1=0（k∈R）与圆（x+2）2+（y﹣1）2=3的位置关系为（ ） A．相交

B．相切

C．相离

D．与k的值有关

4．（3分）已知直线l1：mx﹣y+3=0与l2关于直线y=x对称，l2与l3：y=﹣x+垂直，则m=（ ） A．

B． C．﹣2 D．2

5．（3分）点k（0，2）为圆C：x2+y2﹣8x+2y﹣8=0上一点，过点K作圆切线为l，l与l′：4x﹣ay+2=0平行，则l′与l之间的距离是（ ） A． B． C．6．（3分）曲线y=1+

D．

（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实

数k的取值范围是（ ） A．

B．（

，+∞） C．

D．

7．（3分）若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25上有四个不同的点到直线的距离为2，则a的取值范围是（ ） A．（﹣12，8） B．（﹣8，12） C．（﹣13，17）

D．（﹣17，13）

8．（3分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则A． B． C．1

D．3

的最小值为（ ）

第1页（共21页）

9．（3分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点A，B，D，E，则四边形ABDE面积的最大值为（ ） A．4

B．7

C．4

D．4

10．（3分）一束光线从点P（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0上的最短路程是（ ） A．4

B．5

C．

D．

11．（3分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2

的内切圆面积为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（ ） A．

B．

C．

D．

12．（3分）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个圆与所有直线不相交 ②存在一个圆与所有直线相切 ③M中所有直线均经过一个定点 ④存在定点P不在M中的任一条直线上

⑤M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．1

二、填空题.

13．（3分）经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 ． 14．（3分）椭圆的大小为 ．

15．（3分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．

的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2

B．2

C．3

D．4

第2页（共21页）

16．（3分）已知椭圆C的方程为，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为

椭圆C上不同于A、B的动点，直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点，若D（7，0），则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为 ．

三、解答题.

17．已知△MNQ的三个顶点分别为M（2，3），N（﹣1，﹣2），Q（﹣3，4），求

（1）NQ边上的中线MD所在的直线方程的一般式； （2）求△MNQ的面积．

18．已知直线l过点（2，1）且与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，∠AOB=120°．求直线AB方程的一般式．

19．求与圆M：x2+y2=2x外切，并且与直线x+圆的方程的标准式．

20．已知直线l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x﹣2y+1=0上． （1）求圆C的方程的一般式；

（2）已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

21．已知过原点的动直线l与圆

（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 22

．

已

知

椭

圆

y=0相切于点Q（3，﹣）的

相交于不同的两点A，B．

，四点

中恰有三点在椭圆C上

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（1）求椭圆C的方程．

（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且（

﹣）•（+）=0，求证：B，D，E三点共线．

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2017-2018学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数

学试卷

参与试题解析

一、选择题. 1．（3分）直线A．

B．

C．

的倾斜角是（ ） D．

【分析】根据直线的方程，写出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，表示出倾斜角，在倾斜角的取值范围中，得到要求的角． 【解答】解：∵直线∴k=﹣tan且

=﹣tan（π﹣

）=tan，

∈[0，π），

，

∴直线的倾斜角是故选：D．

【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查倾斜角的取值范围，考查三角函数的诱导公式，本题是一个基础题．

2．（3分）焦点在x轴上的椭圆A．11 B．33 C．

D．

的焦距为，则长轴长是（ ）

【分析】根据题意，由椭圆的焦点位置可得3m＞1，由其焦距可得c的值，由椭圆的几何性质可得3m的值，即可得a的值，由长轴定义即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆又由其焦距为8

，则c=4

，

的焦点在x轴上，则3m＞1，

则有c2=a2﹣b2=3m﹣1=32， 解可得3m=33，即a=则其长轴长2a=2

=，

，

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故选：C．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的焦距为2c．

3．（3分）直线（k+1）x﹣ky+1=0（k∈R）与圆（x+2）2+（y﹣1）2=3的位置关系为（ ） A．相交

B．相切

C．相离

D．与k的值有关

【分析】求出直线恒过定点（﹣1，﹣1），再判断定点与圆的位置关系，由此得到结果．

【解答】解：∵直线l：（k+1）x﹣ky+1=0可化为：x+1+k（x﹣y）=0， ∴对于任意实数k，直线l过定点（﹣1，﹣1）． ∵12+（﹣1﹣1）2=5＞3， ∴点（1，1）在圆C外， ∴位置关系与k的值有关 故选：D．

【点评】本题考查直线系方程与圆的位置关系，考查计算能力转化思想的应用，确定直线l过定点是关键．

4．（3分）已知直线l1：mx﹣y+3=0与l2关于直线y=x对称，l2与l3：y=﹣x+垂直，则m=（ ） A．

B． C．﹣2 D．2

，把x与y互换可得：

【分析】由题意可得：m≠0．由mx﹣y+3=0解得x=

y=（x﹣3）．即为直线l2的方程．根据相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

【解答】解：由题意可得：m≠0． 由mx﹣y+3=0解得x=程．

又l2与l3：y=﹣x+垂直，∴×（﹣）=﹣1，解得m=．

，把x与y互换可得：y=（x﹣3）．即为直线l2的方

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故选：B．

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、互为反函数的图象性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．（3分）点k（0，2）为圆C：x2+y2﹣8x+2y﹣8=0上一点，过点K作圆切线为l，l与l′：4x﹣ay+2=0平行，则l′与l之间的距离是（ ） A． B． C．

D．

【分析】由切线与过切点的半径所在直线垂直求出切线的斜率，即可求出两直线方程，再用距离公式即可

【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣8x+2y﹣8=0， 即（x﹣4）2+（y+1）2=25， 由题意，kCM=

=﹣，

∴过M的圆的切线的斜率为kl=， ∴直线l的方程为4x﹣3y+6=0， ∵l与l′：4x﹣ay+2=0平行，∴a=3， ∴l与l′之间的距离是=故选：B．

【点评】本题考查了圆的切线，距离公式，属于基础题．

6．（3分）曲线y=1+

（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实=

数k的取值范围是（ ） A．

B．（

，+∞） C．

D．

【分析】如图，求出 BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤KBC，从而得到实数k的取值范围． 【解答】解：曲线

即 x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）

为圆心，以2为半径的圆位于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和 D），是一个半圆，如图：

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直线y=k（x﹣2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 KBC=

=．

设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为 y﹣4=k′（x﹣2），根据圆心A到线BE距离等于半径得 2=

，k′=

，

＜k≤，

由题意可得 k′＜k≤KBC，∴故选：A．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断 k′＜k≤KBC，是解题的关键．

7．（3分）若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25上有四个不同的点到直线的距离为2，则a的取值范围是（ ） A．（﹣12，8） B．（﹣8，12） C．（﹣13，17） 【分析】由于圆上有四个不同的点到直线到直线l的距离d＜2，解出即可得出．

【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25，圆心是（1，﹣2）， ∵圆上有四个不同的点到直线∴圆心到直线l的距离d=

D．（﹣17，13）

的距离为2，可得：圆心

即4x+3y+a=0的距离为2，

＜3，

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解得：﹣13＜a＜17， 故选：C．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（3分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则A． B． C．1

D．3

的最小值为（ ）

【分析】由题意可得 两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由

=3，得到 =

最小值．

【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y2=4，x2+（y﹣2b）2=1，

圆心分别为（﹣a，0）（0，，2b），半径分别为 2和1，故有 ∴

=1，∴

=

+

=

+

+

=3，∴a2+4b2=9， ≥+2

=1，

+

=1， =

+

+

，使用基本不等式求得

的

当且仅当 故选：C．

= 时，等号成立，

【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到 是解题的关键和难点．

9．（3分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点A，B，D，E，则四边形ABDE面积的最大值为（ ） A．4

=1，

B．7 C．4 D．4

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【分析】设圆心到l1，l2的距离分别为d1，d2，根据垂径定理求出距离的平方和及勾股定理得到AB2+DE2=28≥2AB•DE，而因为四边形的对角线互相垂直得四边形的面积S=AB•DE，代入即可求出面积的最大值． 【解答】解：设过原点且互相垂直的两直线为l1，l2， 圆心C（1，0），设圆心到l1，l2的距离分别为d1，d2， 则d12+d22=OC2=1， 又（（

）2+d12=R2=4， ）2+d22=R2=4，

两式相加，得：AB2+DE2=28≥2AB•DE， ∴S=AB•DE≤7， 即（S四边形ABDE）max=7， 故选：B．

【点评】考查学生会根据条件求圆的一般方程，灵活运用垂径定理及勾股定理解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．掌握四边形对角线垂直时面积等于对角线乘积的一半．以及会利用基本不等式求函数的最值．

10．（3分）一束光线从点P（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0上的最短路程是（ ） A．4

B．5

C．

D．

【分析】设点P（﹣1，1）关于x轴的对称点为P′（﹣1，﹣1），由题意利用直线和圆的位置关系，反射定理，可得光线从点P（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0上的最短路程是|P′C|﹣1，计算求得结果．

【解答】解：如图：圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，即圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2 =1， 表示以C（2，3）为圆心，半径等于1的圆．

点P（﹣1，1）关于x轴的对称点为P′（﹣1，﹣1），设光线与x轴的反射点为M，

则由反射定律可得|MP|=|MP′|，

故光线从点P（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0上的最

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短路程是|P′C|﹣1， 由于|P′C|=故选：A．

=5，故最短路程是|P′C|﹣1=4，

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，反射定理，属于中档题．

11．（3分）椭圆

的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2

的内切圆面积为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|． 【解答】解：∵椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，a=5，b=3，c=4，

过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， △ABF2的内切圆的面积为π， ∴△ABF2内切圆半径r=1．

△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=10， ∴ABF2面积=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×4=10， ∴|y1﹣y2|=．

第11页（共21页）

故选：D．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于中档题．

12．（3分）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个圆与所有直线不相交 ②存在一个圆与所有直线相切 ③M中所有直线均经过一个定点 ④存在定点P不在M中的任一条直线上

⑤M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以①对；②显然对；③错；④对，存在可取一点（0，2）即可验证，可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑤错误．

【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）， 得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线； 可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②正确； 所有的直线与一个圆相切，没有过定点，③错； 存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以④对；

M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等， 如图中：

第12页（共21页）

等边三角形ABC和 ADE面积不相等，故⑤不正确． 所以真命题的个数为3个 故选：C．

【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域．

二、填空题.

13．（3分）经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 x+3y﹣10=0或x﹣2y=0 ．

【分析】直线l可以经过原点，此时方程为：y=x．直线l不经过原点时，设此时方程为：

=1，把点（4，2）代入即可得出．

【解答】解：直线l可以经过原点，此时方程为：y=x，即x﹣2y=0． 直线l不经过原点时，设此时方程为：把点（4，2）代入可得：

=1，解得a=

=1， ．

∴直线l的方程为：x+3y﹣10=0． 故答案为：x+3y﹣10=0或x﹣2y=0．

【点评】本题考查了直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．（3分）椭圆的大小为 120° ．

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的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2

【分析】由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．

【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4， ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2． 在△F1PF2中，cos∠F1PF2=∴∠F1PF2=120°． 故答案为：120°

【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

15．（3分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 2 ．

【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即

=

=cos45°，由此求得a2+b2的值．

=﹣，

【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的， ∴

=

=cos45°=

，∴a2+b2=2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到

=

16．（3分）已知椭圆C的方程为

，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为

=cos45°是解题的关键，属于基础题．

椭圆C上不同于A、B的动点，直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点，若D（7，0），则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为 （1，0） ．

【分析】设A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0），由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得到定点坐标．

第14页（共21页）

【解答】解：设A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）， 则

+

=1，即有y02=3（1﹣

），

设PA，PB的斜率为k1，k2， 则k1•k2=

•

=

=﹣，

设PA：y=k1（x+2）， 则M（4，6k1），

PB：y=k2（x﹣2），则N（4，2k2）， 又kDM=﹣

=﹣2k1，kDN=﹣k2，kDM•kDN=﹣1，

•

=﹣1，

设圆过定点F（m，0），则解得m=1或m=7（舍去），

故过点D，M，N三点的圆是以MN为直径的圆过F（1，0）． 故答案为：（1，0）．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题．

三、解答题.

17．已知△MNQ的三个顶点分别为M（2，3），N（﹣1，﹣2），Q（﹣3，4），求

（1）NQ边上的中线MD所在的直线方程的一般式； （2）求△MNQ的面积．

【分析】（1）求得NQ中点D的坐标，利用两点式写出中线MD的方程； （2）计算边长|NQ|，写出NQ的直线方程， 求出点M到直线NQ的距离d，计算△ABC的面积．

【解答】解：（1）由已知得NQ中点D的坐标为D（﹣2，1）， ∴中线MD所在直线的方程是

=

，

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化为一般式为x﹣2y+4=0； （2）计算边长|NQ|=且直线NQ的方程是

=

，

=2

，

化为一般式是3x+y+5=0；

又点M（2，3）到直线NQ的距离是 d=

=

，

∴△ABC的面积是 S=|NQ|•d=×2

×

=14．

【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了点到直线的距离计算问题，是中档题．

18．已知直线l过点（2，1）且与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，∠AOB=120°．求直线AB方程的一般式．

【分析】由已知求出圆心到直线的距离，设出直线斜率，利用圆心到直线的距离列出关于k的方程解之．

【解答】解：由r=2，∠AOB=120°，得圆心到直线距离为1⇒设AB所在直线方程为y=k（x﹣2）+1即kx﹣y﹣2k+1=0，故所求直线方程：y=1或4x﹣3y﹣5=0．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系；关键是将问题转化为圆心到直线的距离求直线斜率．

19．求与圆M：x2+y2=2x外切，并且与直线x+圆的方程的标准式．

【分析】设所求圆的方程为C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆心为C（a，b），由圆C与圆x2+y2=2x外切，并且与直线x+

y=0相切于点Q（3，﹣

），可以构造关

y=0相切于点Q（3，﹣

）的， 或

，

第16页（共21页）

于a，b的方程，解方程求出a，b，r，即可得到圆C的方程．

【解答】解：设所求圆的方程为C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆心为C（a，b）， ∵圆C与直线x+∴CQ与直线x+∵直线x+∴KCQ=

y=0相切于点Q（3，﹣y=0垂直，

，

，则r=|CQ|=

=2|a﹣3|，

），

y=0的斜率为=

，即b=

圆M：x2+y2=2x化为（x﹣1）2+y2=1，圆心M（1，0），半径为1， 由于圆C与圆M外切，则有|CM|=即

，

=1+r=1+2|a﹣3|，

（1）当a≥3时，得a=4，b=0，r=2．圆的方程为（x﹣4）2+y2=4； （2）当a＜3时，可得a=0，b=﹣4

，r=6，圆的方程为x2+（y+4

）2=36．

）2=36．

∴所求圆的方程为（x﹣4）2+y2=4或 x2+（y+4

【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，直线与圆的位置关系，其中由已知构造关于圆心坐标a，b的方程是解答本题的关键，是中档题．

20．已知直线l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x﹣2y+1=0上． （1）求圆C的方程的一般式；

（2）已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设圆的方程，由题意列方程组，即可求圆的标准方程；

（2）由（1）可知：求得直线CP的斜率，根据对称性求得Q点坐标，由M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得m的值． 【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由条件得，解得．

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所以圆C的方程为x2+y2﹣14x﹣8y+40=0．

（2）圆C的标准方程为（x﹣7）2+（y﹣4）2=25，

设点P（3，1）关于圆心（7，4）的对称点为（x0，y0），则有解得x0=11，y0=7，故点Q的坐标为（11，7）．

因为M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点， 若点P为直角三角形的顶点，则有若点Q是直角三角形的顶点，则有综上，m=5或

．

，m=5， ，

，

，

，

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于中档题．

21．已知过原点的动直线l与圆

（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

【分析】（1）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；

（2）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）圆∴圆心坐标为（3，0），

设M（x，y），则可知C1M⊥AB， ∴

，整理可得：

， ，

相交于不同的两点A，B．

当动直线与圆相切时，设直线方程：y=kx，

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则∴

，

，

∴切点的横坐标为，

，

由圆的性质可得：M横坐标的取值范围为所以轨迹方程为

+y2=，x∈（，3]．

（2）由（1）可得曲线C为圆包括E，F）， 其中

，

的一部分圆弧EF（不

直线L：y=k（x﹣4）过定点（4，0）， ①当直线与圆相切时：

，

②当直线与圆不相切时，可得，，

数形结合可得：当综上所述：

时，直线与圆有一个交点，

时，直线L与曲线C只有一个交点．

【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．

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22．已知椭圆

，四点

中恰有三点在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程．

（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且（

﹣

）•（

+

）=0，求证：B，D，E三点共线．

【分析】（1）根据椭圆的对称性P1，P2必在椭圆上，故P3不在椭圆上，可得

，得即可．

（2）证明：设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），D（x1，0）．可得

，

即．又=

，得kAB•kAE=﹣1，

又三点共线．

=，可得kBE=kBD，即可得B，D，E

【解答】解：（1）根据椭圆的对称性P1，P2必在椭圆上，∴P3不在椭圆上，

可得，解得

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），D（x1，0）． 因为点A，E都在椭圆C上，所以

所以（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

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即又

所以kAB•kAE=﹣1， 即

，

=

．

，

所以

所以

又

所以kBE=kBD，

=，

所以B，D，E三点共线．

【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．

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