2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

中考试数学试题

一、单选题

1．设集合Aa,a,0，B2,4，若AB2，则实数a的值为（ ）

2A．2 【答案】D

B．2 C．2 D．2

【解析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可． 【详解】

∵集合Aa,a,0，B2,4，AB2，

2∴a=2或a2=2，即a=2或2，

当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意； 当a=2时，A={2，2，0}，满足题意， 当a=2时，A={2，2，0}，满足题意 故选：D． 【点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是 A．a1b1a2b2 【答案】A 【解析】【详解】

因为0a1a2,0b1b2,a1a2b1b21

B．a1a2b1b2

C．a1b2a2b1

D．

1 2a1a2b1b2(a1a22b1b221)() 222a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)b1(a1a2)b2(a2a1)(b2b1)0 a1b1a2b2(a1b2a2b1)

1(a1a2)(b1b2)a1b1a2b2a1b1a2b12(a1b2a2b2)

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a1b1a2b21，综上可得a1b1a2b2最大，故选A. 2B．fxlgx

C．fxee D．fxx

xx3．下列函数中，是偶函数的是（ ） A．fx【答案】D

【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】

对于A，fx1 x1 fx，所以为奇函数，不满足题意； x对于B，fxlgx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；

ee fx，为奇函数，不满足题意； 对于C，fx xx对于D，fxxfx，为偶函数，满足题意. 故选：D 【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．

4．已知p:xm1,q:x28x120,且q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围为（ ） A．3,5

C．,3U5, 【答案】B

【解析】首先求两个命题表示的集合A,B，由题意可知AB，然后根据集合的包含关系求m的取值范围. 【详解】

B．3,5

D．,3U5,

p:xm11xm1

解得：m1xm1 ，

Axm1xm1，

q:x28x120 ，

解得：2x6，

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Bx2x6， Q q是p的必要不充分条件,

AB  m12 ，解得3m5

m16故选：B 【点睛】

本题考查解不等式和根据命题的必要不充分条件求参数的取值范围，意在考查基本方法和计算，属于基础题型. 5．已知fx1x，则函数fx的大致图像是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用平移变换即可得到函数fx的大致图像. 【详解】 ∵fx1x

∴函数fx的图象是由fx1向右平移一个单位得到， 故选：A 【点睛】

本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题.

6．关于x的方程xm3x7m0的两根都大于3,则m的取值范围是（ ）

2A．,125U1,25,

B．7,125 2第 3 页 共 23 页

7,C．U125,

2D．,125

【答案】B

【解析】由根的分布，列不等式求m的取值范围. 【详解】

设方程的两个实数根分别是x1,x2 ，且x13，x23 设fxxm3x7m

2m3247m00m3m33 ，即3 ，

2293m37m0f30m125或m125 解得：m37m2解得：故选：B 【点睛】

本题考查根据根的分布求参数m的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型.

7．用列举法可以将集合Aaa使方程ax22x1=0有唯一实数解A．A1 【答案】C

【解析】根据题意求当方程ax22x10有唯一实数解时，求a的取值范围，分a0和a0两种情况求a的取值. 【详解】

由题意可知集合A的元素表示能使方程ax22x10有唯一实数解的a的值， 1当a0时，2x10 ，解得x，成立；

27m125. 2 （ ）表示为

B．A0 C．A0,1 D．A0或1

当a0时，方程ax22x10有唯一实数解，

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则44a0， 解得：a1，

A0,1.

故选：C 【点睛】

本题考查根据方程的实数根的个数求参数的取值，属于简单题型.

8．已知集合Mmmab2,a,bQ,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）

1①12;②1162;③;④2323 22A．4 【答案】C

【解析】①②③都可以写成mab2的形式，验证a,b是否是有理数，④计算

B．3

C．2

D．1

2323的平方验证，判断.

【详解】

①当ab212时，可得a1,b，这与a,bQ矛盾， ②116232232

ab232 ，可得a3,b1 ，都是有理数，所以正确，

③1222， 12222ab2112，可得a1,b，都是有理数，所以正确，

22④

23234262

而ab22a22b22ab2 ，

Qa,bQ，

ab22是无理数，

2323不是集合M中的元素，

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只有②③是集合M的元素. 故选：C 【点睛】

本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 9．下列不等式正确的是（ ） A．x2323 B．a2b24ab 2xC．abab 2D．a44 a【答案】A

【解析】根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案. 【详解】 A.Qx0,233332220x，，等号成立的条件是当且仅当x2x23x2x2x2x2时，即x23. B.当a1,b1时，a2b24ab，故不成立； C.当a0,b0时，abD.当a0时，a故选：A 【点睛】

本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型. 10．“x3”是“x25x60”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A

【解析】首先解不等式x25x60，再根据集合的包含关系判断充分必要条件. 【详解】

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

ab，故不成立； 2444不成立，只有当a0时，a4成立，故不成立. aax25x60

解得：x3或x2

“x3”“x3或x2”，但反过来不成立，

 “x3”是“x25x60”的充分不必要条件.

故选：A

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【点睛】

本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

二、填空题

11．已知集合A{x|x1}，B{x|xa}，若AB，则实数a的取值范围是______. 【答案】(,1]

【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用AB可得实数a的取值范围. 【详解】

如图，在数轴表示A,B，因为AB，故a1，填,1.

【点睛】

含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.

k2xx212．关于x的方程的解集中只含有一个元素,k______. x1xx【答案】-1，3，0

【解析】由方程可知x1且x0，得到x22xk0，解得k1，再分别将x1和x0代入x22xk0，得到k，验证是否解集中只有一个元素，得到k. 【详解】

xk2xk2x2 x1xxxx1x1 ，化简为xk2x， xx0，变形为x2k2xx22xk0 ①

44k0，

解得：k1 ，

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验证当k1时，x22x10 ， 解得：x1 成立.

k1.

当x1时，代入①1221k0，解得：k3 代入原式，

x32x2， x1xxx1且x0 ，

化简得：x22x30 ， 解得：x1或x3 ，

Qx1 ，

方程只有一个解，成立，

k3 ，

当x0时，代入①0220k0，解得k0 ， 带代原式

x2x2， x1xxx1且x0 ，

解得：x2 ，成立，

k0

故答案为：-1,3,0 【点睛】

本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将x1和x0代入x22xk0，验证k的值.

x21,x113．已知f(x)＝{，则f[f(1)]＝_________；若f(x)1，则

x1,x1x________．

【答案】－1 0或2

【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时

fx1.

【详解】

f1110，故ff1f01，

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x1x1fx1因为，故2或者，解得x0或x2 .

x11x11综上，填1，0或2. 【点睛】

分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值. 14．若关于x的不等式ax2bx20的解集是{x【答案】－14

【解析】由不等式ax2bx20的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a,b的值，从而可得结果. 【详解】

11x}，则ab_________. 2311x|x不等式axbx20的解集是，

232所以对应方程ax2bx20的实数根为11和，且a0， 23b1123a由根与系数的关系得，解得a12,b2，

11223aab14，故答案为14.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.

x2x415．关于函数fx的性质描述，正确的是__________.①fx的定义域

x11为1,0U0,1；②fx的值域为1,1；③fx的图象关于原点对称；④fx在定义域上是增函数. 【答案】①②③

【解析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f（x）的定义域，可判断①；化简f（x），讨论0＜x≤1，﹣1≤x＜0，分别求得f（x）的范围，求并集可得f（x）的值域，

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可判断②；由f（﹣1）＝f（1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f（x）为奇函数，可判断③． 【详解】

24xx0①，由，解得﹣1≤x≤1且x≠0，

x110x2x4可得函数fx的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；

x11242xx|x|1x②，由①可得f（x）＝，即f（x）＝﹣， xx当0＜x≤1可得f（x）＝﹣1x2∈（﹣1，0]；当﹣1≤x＜0可得f（x）＝1x2∈[0，1）．

可得f（x）的值域为（﹣1，1），故②正确；

2|x|1x③，由f（x）＝﹣的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，

x2|x|1xf（﹣x）＝＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，即有f（x）的图象关于原点对

x称，故③正确．

④，由f（﹣1）＝f（1）＝0，则f（x）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】

本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．

16．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两

种都没买的有 人. 【答案】

【解析】【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有

人.或根据条件画出韦恩图：

(人).

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【考点】元素与集合的关系.

x3a,? x017．已知函数f(x){在R上是增函数，则实数a的取值范围是

x1,? x0________． 【答案】[1,)

【解析】因为fx是分段函数且为增函数，故0103a，故可得实数a的取值范围． 【详解】

因为fx为R上的增函数，故0103a，所以a1，填1,． 【点睛】

如果一个分段函数在R为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．

18．设x5,PP______Q. 【答案】>

【解析】计算PQx4x5,Qx2x3,则P与Q的大小关系是

x4x5x2x3，利用分子有理化化简并

判断P,Q的大小关系. 【详解】

PQx4x5x2x3

x4x2x5x3

22

x4x2x5x3112 ，

x5x3x4x2第 11 页 共 23 页

Qx5 ，

x4x5 ，x2x3 ， x4x2x5x30 ， 01x4x21 ，

x5x3

110，

x4x2x5x3 2110.

x5x3x4x2故答案为：> 【点睛】

本题考查比较两个数的大小，意在考查化简，变形能力，属于计算题型.

19．非空有限数集S满足：若a,bS，则必有abS．请写出一个满足条件的二元．．数集S＝________． 【答案】{0,1}或{－1,1}，

【解析】因S中有两个元素，故可利用S中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】

2222设Sa,bab，根据题意有a,ab,bS，所以a,b,ab必有两个相等元素．

若a2b2，则ab，故aba2，又a2a或a2ba，所以a0（舎）或a1或a1，此时S1,1．

若 a2ab，则a0，此时b2b，故b1 ，此时S0,1． 若b2ab，则b0，此时a2a，故a1，此时S0,1． 综上，S0,1或S1,1，填0,1或1,1． 【点睛】

集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．

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20．已知a,b是正实数,且ab2,则

41的最小值为______. ab【答案】

9 241141ab，展开后利用基本不等式求最值. ab2ab【解析】Q 【详解】

4114114baab5 ab2ab2abQa0,b0,4ba4ba24， abab419 ， ab24ba ，即a2b时等号成立. 当

ab故答案为：【点睛】

本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的变形，属于基础题型.

三、解答题

21．已知集合A{x|x2x0}，B{x|x22xm0}. （1）求ðRA；

（2）若AIB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (,0][1,) (2) (,1]

【解析】（1）求出不等式x2x0的解后可得CRA．

（2）因为AB，故x22xm0对任意的0x1恒成立，参变分离后可得实数m的取值范围． 【详解】

（1）由x2x0得0x1，故A(0,1)，所以CRA(,0][1,)． （2）由题知，当xA时，x22xm0恒成立， 即：当x(0,1)时，mx22x恒成立．

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9 2x22x在区间(0,1)上的值域为(1,0)，

所以m1，即实数m的取值范围是(,1]． 【点睛】

集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．

22．已知函数fx的定义域是(0,)，且满足fxyfxfy，f()1，如果对于0xy，都有fxfy． （1）求f1的值；

（2）解不等式f(x)f(3x)2.

【答案】（1）f10 （2）{x|1x0}．

【解析】（1）根据fxyfxfy，令xy1，即可得出f1的值；（2）由

120xy，都有fxfy知fx为0,上的减函数，根据fx的单调性，

结合函数的定义域，列出不等式解出x的范围即可. 【详解】

（1）令xy1，则f1f1f1，f10.

（2）解法一：由xy，都有fxfy知fx为0,上的减函数，且

x0，即x0. 3x0∵fxyfxfy，x,y0,且f11， 21，即2∴fxf3x2可化为fxf3x2f11fxff3xf0＝

22xf1f23xx3xff1ff1，

222第 14 页 共 23 页

x0则x3x，解得1x0.

122∴不等式fxf3x2的解集为{x|1x0}． 【点睛】

本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：(3) 若已知函数fx的定义域为由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；

a,b，则函数fgx的定义域由不等式agxb求出.

23．已知a,b为正实数,试比较ab与ab的大小. ba【答案】abab baabab，化简为【解析】做差比较ba断其正负，得到大小关系. 【详解】

ababab2，根据条件判

abab 做差baabba baabba11ab babaabababab

2abab

Qa0,b0 ，

ab0，ab0，ab20 ，

abab0， ba第 15 页 共 23 页

abab ba【点睛】

本题考查比较两个数的大小，意在考查计算化简，计算能力，属于基础题型.

24．已知一元二次不等式ax2bxc0的解集为xx,且0,求不等式cx2bxa0的解集. 【答案】{xx1或x1}

【解析】首先根据条件可知a0，

的两个实数根分别是【详解】

bc，c0，，并知cx2bxa0aa1和

1，再比较根的大小，求不等式的解集.

因为不等式ax2bxc0(a0)的解为x,其中0,所以有

,bac且a0,c0.设方程cx2bxa0的两根为m,n,且mn.则ab11a11111mn,mn所以可得n,m且

cc11

又因为c0,

不等式cx2bxa0的解集{xx【点睛】

1或x1}.

本题考查一元二次不等式的解法，意在考查一元二次方程和不等式的关系，以及解集形式和系数的关系，属于基础题型.

x25x425．(1)已知x0,求函数y的最小值;

x(2)已知0x1,求函数yx13x的最大值. 3【答案】（1）9（2）

1 12第 16 页 共 23 页

x25x44【解析】（1）函数变形为yx5，再利用基本不等式求最值；

xx11（2）法一，y3x，利用二次函数求最大值，法二：函数变形为

6121yx13x3x13x，利用基本不等式求最值.

3【详解】

2x25x44(1) yx5，

xxQx>0 ，x442x4 ， xx4 ，即x2时， x等号成立的条件是xx459， xx25x4的最小值是9. yx11(2) 法一：y3x 612当x211时，函数取得最大值， 6122113x13x1法二：yx13x3x13x， 33212当且仅当3x13x ，即x1时等号成立， 6函数的最大值是

【点睛】

1. 12本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型. 26．已知a0,b0,a2b1，求

11的最小值. ab【答案】322 【解析】变换得到【详解】

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11a2ba2b化简利用均值不等式计算得到答案. abab11a2ba2b2ba2ba332322 abababab当

2ba22即a21,b时等号成立. ab211322. abmin【点睛】

本题考查了利用均值不等式求最值，其中变换得到键.

11a2ba2b是解题的关abab51,求y4x2的最大值; 44x511(2)已知0x,求yx12x的最大值.

221【答案】（1）1（2）

1627．(1)已知x【解析】（1）函数变形为y4x5不等式求最值； （2）函数变形为y113354x，再利用基本4x554x11x12x2x12x，利用基本不等式求最大值，法二，24利用二次函数求最大值. 【详解】 (1)y4x5113354x， 4x554xQx5，54x0 4154x2 ，

54x1当54x时，等号成立，

54xy4x5113354x321， 4x554x y4x21的最大值是1. 4x521112x12x1(2)法一：yx12x2x12x, 244216当2x12x时，等号成立，

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即x111时，函数yx12x的最大值是.

2121111111, 法二:yxx2x2xx221611616当x11时，函数取得最大值.

1【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型.

81y028．(1)已知x0,,且满足1.求x2y的最小值.

xy(2)若把(1)中的“

81811”改为“x2y1”,其他条件不变,求的最小值.

xyxy【答案】（1）18（2）18

81x2yx2y【解析】（1），展开变形，利用基本不等求最小值；

xy（2）

8181x2y，展开变形，利用基本不等式求最小值. xyxy【详解】

(1)x2yx2y8116yx16yx8210102418.

xyyxyx当

16yx时，即x4y ，等号成立， xyx2y的最小值是18.

(2)

16y818116yxx2y8210xyxyxyxx102418. y当

16yx时，即x4y ，等号成立， xy81的最小值是18. xy【点睛】

本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.

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29．求下列不等式的解集. (1)4123xx; 2222(2)x312x. (3)

5x23 2x1【答案】（1）x16x16（2）x21x4（3）x5x 32【解析】（1）变形为x22x50，解不等式； （2）变形为3x210x80，解不等式； （3）变形为【详解】

（1）不等式变形为：x22x50

方程x22x50的两个实数根是x116，x216，

5x2x5300，等价于x52x10解不等式. 2x12x116x16 ，

不等式的解集是x16x16.

（2）不等式变形为：3x210x80

x43x20 ，

解得2x4 ， 3不等式的解集是x2x4. 3（3）

5x25x26x3300 2x12x1x5x500 ， 2x12x1即x52x10 ， 解得：5x1 ， 2不等式的解集是x5x.

12【点睛】

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本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，意在考查计算能力，本题第三问是分式不等式，再求解时，需注意步骤是移项，通分，再转化为一元二次不等式求解. 30．若x,y为正实数,且2x8yxy0,求xy的最小值. 【答案】18

82821xyxy，利用基本【解析】首先已知条件变形为，再化简xyxy不等式求最小值. 【详解】

2x8yxy0821 xy828y2x8y2xxyxy8210102418

xyyxyx8y2x(当时取“=”) xy所以xy的最小值是18. 【点睛】

本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 31．已知ax22ax1≥0恒成立. (1)求a的取值范围;

(2)解关于x的不等式x2xa2a0. 【答案】（1）0,1（2）详见解析

【解析】（1）当a0时，验证成立，当a0时，只需满足a0成立； 24a4a0（2）原不等式可化为xax1a0，对应方程两根为x1a，x21a，在分

0a111，a1，a三种情况讨论不等式的解集. 222【详解】

（1）当a0时,10恒成立，

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当a0时,要使不等式ax22ax1≥0对一切xR恒成立,则a0,解得24a4a00a1综上,a的取值范围是0,1

(2)原不等式可化为xax1a0,当0a1时,不等式的解为:xa,或2111时,不等式的解为:x，当a1时,不等式的解为:x1a,或

22211xa综上,当0a时,不等式的解集为:xxa或x1a};当a时,不等式

22x1a当a的解集为:xx11;当a1时,不等式的解集为:{xx1a或xa}. 22【点睛】

本题考查含参不等式的解法和根据函数恒成立求参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，属于基础题型.

32．已知x1,x2是一元二次方程a6x2axa0的两个实数根.

2(1)是否存在实数a,使x1x1x24x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;

(2)求使x11x21为负整数的实数a的整数值. 【答案】（1）存在，a24 （2）a7,8,9或12.

【解析】（1）由条件可知x1x2得到a，并验证；

a2a,x1x2，代入方程x1x24x1x2，a6a6（2）代入根与系数的关系求x11x21为负整数时，求a. 【详解】

（1）方程a6x2axa0有两个实数根,则判别式

24a24aa624a0,得:a0因为二次项系数a60,即a6

x1x2得:

a2a,x1x2由x1x1x24x2,得:x1x24x1x2，代入a6a6a2a4 a4a242a，a24,故当a24时,有x1x1x24x2a6a62aa61要使上式为负整数,a6a6a6成立

(2)x11x21x1x2x1x21第 22 页 共 23 页

则有a61,2,3或6所以a7,8,9或12. 【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.

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