线天线辐射及散射

程和积分方程均适用，本文以半波振子天线为例，系统的阐述了半波振子天线的海伦积分方程的建立，利用矩量法求解海伦积分方程而得半波振子天线上的电流分布，并进一步根据电流肺部，求解半波振子天线的方向图。

关键字：半波振子天线；海伦积分方程；矩量法

1 引言

电磁辐射和散射问题的分析方法一般可以分为两大类，即解析方法和数值方法，而实际中只有极少数集合形状特别的电磁问题才能通过解析方法求解，大部分只能用数值方法获得近似解。矩量法则是求解微分方程和积分方程的一种重要的数值分析方法，它从函数空间和线性算子的观点来处理问题，具有计算效率高、处理灵活、快速而精准、不限定物体几何形状、理论基础较健全等诸多优点，因而在电磁场数值计算方面得到了广泛的应用。同时，由于线天线在实际中应用广泛，而且是分析其它天线的基础。

在矩量法分析过程中，有多种不同的积分方程可供选择，如双位积分方程、Hallen积分方程、Pocklington积分方程、Schelkunoff积分方程、响应积分方程等等，而前3种应用最为广泛，因此本文采用Hallen积分方程对半波振子天线进行深入的数值分析，并用matlab编程仿真。

2 矩量法的基本原理

2.1 矩量法的概念

矩量法是将一个算子方程化为矩阵方程，然后求解该矩阵方程的方法。在历史上把采用基函数和检验函数离散化的积分方程的数值方法称为矩量法。矩量法是一种基于泛函分析理论的积分形式的数值方法，这种方法具有计算结果准确且误差小、处理过程灵活、分析目标不限定物体几何形状和理论基础健壮等优点。

如果非齐次方程为

L(f)g （2-1）

式中L是线性算子，g为已知函数，f为未知函数。

令：

fannn f （2-2）

式中an是系数。fn被称为展开函数或基函数。用L算子的线性便可以得到:

aL(f)g （2-3）

nnn规定了一个适当的内积，那么在L的值域内定义一个权函数或检验函数

1,2,3…的集合，并对每个m取式(2-3)的内积，则

ann m,Lfnm,g （2-4）

式中m＝1，2，3…。此方程组可以写成如下的矩阵形式

glm m nan （2-5）

式中

,Lf,Lf1112lmn2,Lf12,Lf2,Lf,Lfm1m2a1a2 anan1,Lfn2,Lfn （2-6）

m,Lfn1,g,g2 （2-7） gm,gm如果矩阵l是非奇异性的，于是f可写成：

TT1fafl fnnnmngm （2-8）

2.2 基函数和权函数的选择

矩量法求解算子方程的关键问题是基函数和权函数的选择。在特定的问题中,主要任务是选择基函数和权函数,它们必须是线性无关的。基函数可以分为整域基和分域基;权函数一般有点匹配法,伽略金法,最小二乘法等。应用矩量法需注意:①误差分析;②方程收敛性;③积分奇异点处理等。下面分别介绍基函数和权

函数的选择：

本文的基函数选择的是正弦函数I(z')=nsin[n=1Nn选取这样的基函数(l-z)]，

2l是考虑到它可以满足细导体末端电流为零的边界条件。文中用点匹配法选择权函数。下面将简要介绍点匹配法。

若选取狄拉克函数为权函数，即令

m(rrm) （2-9）式中，狄拉克函数的定义为

0(rrm) (rrm) （2-10）

(rr)m由于f(r)(rr)dvf(r)，因而矩量法方程(2-6)( 2-7)相应矩阵元素的计

v算结果为

lmnm,Lfn gmm,g(rr)LfdvLfvmnmmn(rm) （2-11）

（2-12）

(rr)gdvg(r)

v由此表明lmn和gm的计算归结为只需计算rm所在点处的对应值，因此称这种方法为点匹配法。

3 半波振子天线的矩量法求解

假设半波振子天线放在Z轴线上，原点位于中点。如下图所示：

图1半波振子天线示意图

图1为2l=/2的半波振子天下，可做如下假设：（1）电流沿导线轴流动，体电流密度J可以用线电流I来近似，体电流密度用线电荷密度近似；（2）忽略天线端面的周向电流I和I径向电流；（3）天线上电流仅为长度变量z'的函数，即I=I(z')，与，无关。

当半波振子天线上在加上馈电信号V0时，或在接收电场Ei作用时，其上将产生电流，其电流分布按基函数展开，在此，我们将选用正弦函数作为基函数。

通过以上假设可以知道，半波振子天线的矢量磁位

A只有ez分量，所以A=Azez，而

AZ(,z)=41-1I(z')G(z，z')dz' （3-1）

其中G(z，z')为格林函数，通过麦克劳林级数展开，舍弃高次项，这样其稳定度也较高。G(z，z')的表达式为： G(z，z')=k=2exp[-jka2+(z-z')2]4a+(z-z')22 （3-2）

为波数。

于是z分量的电场表达式为：

2Az2 jEz=2+kAz （3-3）

z由边界条件可知：ezEi=-Ez（由边界条件可知，在导体表面切向电场为零），其中E为电源所产生的场，令ezEV0为电压，(z)为狄拉克函数，（（=V0(z)，iz）iz）将上述条件和（3-1），（3-2）式代入（3-3）于是便得到：

12(z)=( -jV04z22+kI)-ll(，z')G( z z ' ) d z ' （3-4）

对上式进行求解为：

1

4l-lI(z')G，(zVz')dz'=B0coskkzz - j s i n （3-5）

20公式中B为常数，0=120为自由空间的波阻抗。该方程为半波振子天线的海伦积分方程（Hallen）。 海伦积分方程简单变型为：

l-lI(z')G(z，z')dz'=4Bcoskz-jV0sinkz （3-6） 60选择分布电流展开表达式：

I(z')=nsin[n=1NNn (l-z)] （3-7）

2l I(z')nfn （3-8）

n=1n为待定系数，这里为简单起见，只取到N=2。将（3-7）式代入（3-6）式，

并整理，可得：

V0sink|z|601sin[k(l|z'|)]G(z,z')dz'2sin[2k(l|z'|)]G(z,z')dz'Ccoskzjllll （3-9） 式中

ejkrC4B ， G(z,z') ， r[(zz')2a2]2

r1式中l为天线的一般长度，a为导体半径，z为导体表面上场点的坐标，z'为导体表面上源点的坐标，在z轴线上。（3-9）式中有三个未知量1，2，C，因此应选三个加权函数作为三个方程式。课题中我们求解的是l=λ/4，λ为波长，为了求半波振子天线上电流分布I(z')，采用点配法，权函数wm选择狄拉克函数，

即wm=(z-zm)，其中m=1,2……N，其中选择的点为：zm=(2m-1)l变换 2N，可以选择zm的值为z1=0，z2=λ/8，z3=λ/4，即以这三点为观察点，分别对分成99段的天线进行观察。运用选择的zm的值对每一Wm对（3-9）式两边求内积，这样可以将（3-9）式转变成矩阵的形式

A1A2A3B1B2B3(zz1),sink|z|C11jV0C2(zz2),sink|z|260C3C(zz3),sink|z| (4) 根据zm的取值，等号右边的内积计算如下：

gmwm,jV0sinkz 60jV02g1z0,sinz0

60z8g2g3,jV0jV0jV0122 sinzsin()60608602jV0jV02 sinz6060z4,并根据函数的特性，上式可化简为

A1A2A3B1B2B31101jV012 (5)

6022C01式中

Amcoskz'G(zm,z')dz'

llBmsin2k|z'|G(zm,z')dz'

ll其中除了1，2，C三个未知量，其余各个元素都可以通过计算机编程来求解，然后再求解出1，2，C，这样根据公式（2）就可以求得天线上的电流分布。

4应用举例

这里采用半波振子天线为例：波长为=1m，长度为0.5。把天线分成99（奇数）段，基函数采用三角函数，权函数采用函数。

1其他条件为f=300MHz，L=，V01V， a/λ7.022103，则半波

4振子部分电流值，电流分布和方向图分别如图所示：

图2 部分分段点的电流值

图3 电流分布示意图

图4 E面方向性图

图5 H面方向性图

图6 电流分布计算数据比较

本文用的基函数是正弦函数，与基函数为狄拉克函数的程序相比，推算过程有其特殊之处，故不能用普通方法验证。但通过图3与图6相比可以看出，其电流分布，并与king的三项理论及Mack实验数据曲线比较基本符合，仿真结果正确且较好。

附录：

程序如下所示： clear all;close all; clf;

tic; % 计时

N=99;% 分段数 e0=8.8e-012; u0=4*pi*10^(-7); c=3e+008;

w=2*pi*c;%光速,角频率 lamda=1; % 波长

measurement =7.022*(10)^(-3); % 物体电尺寸 v0=1; % 电压常数 point=3; % 待求点数

range=1/4; % 求解的天线归一化长度

D=(N-1)/2+1;% D指中间段 k=(2*pi)/lamda; % 波数

a=measurement*lamda; % 导体半径 l=range*lamda; % 天线长度

len= l /N;% 将线分成奇数段,注意首末两端的电流为0 step=l/(point-1); % 点匹配间距

i_point=1:point; % 测试点赋值 LL(i_point)=step*(i_point-1);

z=linspace(-l,l,N+1); % 积分离散

% 求解A向量 for i_point=1:point;

r=((LL(i_point)-z).^2 + a^2).^(1/2); % 场源距离离散 g=exp(-j*k*r)./r; % 格林函数离散

A(i_point)=trapz(z,cos(k*z).*g); % A元素确定 end

% 求解B向量 for i_point=1:point;

r=((LL(i_point)-z).^2 + a^2).^(1/2); % 场源距离离散 g=exp(-j*k*r)./r; % 格林函数离散

B(i_point)=trapz(z,sin(2*k*abs(z)).*g); % B元素确定 end

% 求解C向量 for i_point=1:point;

C(i_point)=cos(k*LL(i_point)); % B元素确定 end

% 阻抗矩阵确定 ZZ=[A.',B.',C.'];

% 电压矩阵确定 for i_point=1:point;

VV(i_point)=(-j*v0/60)*sin(k*abs(LL(i_point))); % B元素确定 VV=[ 0;-j/(60*sqrt(2));-j/60]; end

% 求解a1,a2,C_contant; current=inv(ZZ)*VV;

% 图形表示

z_distribute=linspace(0,l, N+1);

current_function=current(1,1)*sin(k*(l-abs(z_distribute))) +...

current(2,1)*sin(2*k*(l-abs(z_distribute))); % 离散化电流分布

% 电流实虚部

current_re=real(current_function); current_im=imag(current_function);

% current_value=double(current_function)此处加这句可查看具体电流值

% 绘图 figure(1)

plot(current_re,z_distribute,'r'); hold on;

plot(current_im,z_distribute,'g');

xlabel('current distribution'); ylabel('unitary distance')

title('antenna current distribution plot'); legend('real current','imag current',2);

% E面方向图 figure(2) tt=1;

for theta=0:pi/100:2*pi; for n=1: point

F(n)=current_function(n+1)*len*exp(i*k*len*n*cos(theta))*sin(theta); end;

FF(tt)=sum(F); tt=tt+1; end;

FFmax=max(abs(FF)); for ii=1:tt-1

FF(ii)=FF(ii)/FFmax; end;

theta=0:pi/100:2*pi; polar(theta,abs(FF),'r');

title('E-plane pattern,F({\heta},{\\phi})'); title('E-plane pattern,F({\heta},{\\phi})')

legend('E面方向性图','天线长L=0.25','天线分段N=99','天线半径a= 0.007022') %view(90,78)

view(90,-68)

% H面方向图 figure(3) theta=pi/2; tt=1;

for fai=0:pi/180:2*pi for ii=1: point

FH(ii)=current_function(ii)*len*exp(i*k*len*ii*cos(theta))*sin(theta); end;

FHA(tt)=sum(FH); tt=tt+1; end;

FHAMAX=FHA/max(FHA); fai=0:pi/180:2*pi;

polar(fai,abs(FHAMAX),'r');title('H-plane pattern,F({\heta},{\\phi}),\heta=90');

legend('归一化的H面方向性图','天线长L=0.25','天线分段N=99','天线半径a= 0.007022')

参考文献

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