《数学之友》 ２０１５年第１６期 浅析“恒成立问题＂的几种常用题型解法 解题探索 Ｖ 汪中义 （安徽省太湖中学，２４６４００） 高中数学的“恒成立问题”在各类考试包括高 结合题意有 得 ＜一２或 ＞１． ｘ＋３ｘ＋２ 考中都屡见不鲜，一直以来都是一个重点、难点． 学生经常问：这类问题有没有一个固定的思想方 法去处理，如何更简单、准确、快速解决这类问题？ 其实题目是千变万化的，法无定法，利用解题模板 来套用是不可能的．下面通过举例说明试图力寻 求解决这类问题的一些常规处理方法． １ 利用分类讨论思想 例Ｉ 已知函数厂（ ）＝ 一２ａｘ＋４在区问 ［一１，３］上都不小于２，求ａ的值． 解：由函数ｆ（ ）＝ 一２ａｘ＋４的对称轴为 ａ， 所以必须考察ａ与一１，３的大小，显然要进行 分类讨论． （１）当ａ≥３时 ）在［一１，３］上是减函数， ３） ｉ ＝９—６ａ＋４≥２，结合ａ≥３，故ａ不 存在． （２）当一１＜ａ＜３时 ａ） ｉ ＝ａ 一２ａ ＋４≥２， 故ａ ≤２，则一 ≤口≤ ， 结合一１＜ａ＜３，得一１＜ａ≤ ． （３）当口≤一ｌ时， 厂（ ）在［一１，３］上是增函数， 厂（一１） ｉ ＝１＋２ａ＋４Ｉ＞２，贝０口≥一 Ｊ－． 结合口≤一１，故一＂－６－≤口≤一１． 厶 综匕所述，满足条件的口的范围为一要≤口 ２构造函数，利用单调性 例２对于满足０≤口≤４的所有实数ａ求使不 等式 ＋ａｘ＞３ｘ＋ａ一２都成立的 的取值范围． 解：不等式变形为 ＋（ 一１）ａ一３ ＋２＞０． 设 口）＝（ 一１）ａ＋ 一３ ＋２， 则其是关于ａ的一个一次函数也是单调函数． ・５８・ ３利用分离参数 例３ 已知二次函数 ）＝Ｕ，Ｘ ＋ ＋１对 ∈ ［０，２］恒有 ）＞０，求ａ的取值范围． 解：对 ∈［０，２］恒有 ）＞０，即ａｘ， ＋ ＋１＞０ 变形为吡 ＞一（ ＋１）． 当 ＝０时，对任意的ａ都满足，（ ）＞０只须考 虑 ≠ｏ的情况Ⅱ＞ ，即口＞一 １１一 ． 要满足题意只要保证ａ大于右边的最大值 即可． 现求一 一 ２在 ∈（０，２］上的最大值 戈 令 ＝ ． ≥ ， ｇｃｔ）．一＿ｔ２一ｔ＝一（ｔ＋÷） ＋÷（ｚ≥ ）， ｇ（ ） ＝ｇ（ ）＝一 ３，所以凸＞一 ３． 又，（ ）＝ａｘ ＋ ＋Ｉ是二次函数， ‘．．ｎ≠ｏ．所以口＞一 ．．且口≠ｏ． ４利用不等式性质 例４若关于 的不等式ｌ 一Ｉ Ｉ＋Ｉ ＋２ Ｉ≥ａ 恒成立，试求ａ的范围． 解：由题意知只需口≤（Ｉ 一１ ｌ＋Ｉ ＋２ １） ｉ ． 由ｌ ＋１ ｌ＋Ｉ ＋２Ｉ≥ｌ 一１一（ ＋２）ｌ＝３， 所以ａ≤３． ５ 利用导数 例５ 已知 ）＝ １ ｌｇ（ ＋１），ｇ（ ）＝ｌｇ（２ ＋ ｔ），若当 Ｅ［０，１］时 ）≤ｇ（ ）恒成立，求实数的 《数学之友＞ ２０１５年第１６期 取值范围． 参考文献： 解 即 即 或等于０． ）≤ （ ）在［Ｏ，１］上恒成立． Ｔ一２ｘ—ｔ≤０在［Ｏ，１］上恒成立， Ｔ一２ｘ—ｔ≤Ｏ在［０，１］上的最大值小于 —［１］ 张伟平．从基本不等式谈中学生对等价 思想的理解［Ｊ］．数学教育学报，２００９，１８（２）：８３ ８５． 令Ｆ（ ）＝￣／ ＋ｌ一２ｘ—ｔ， 所以Ｆ，（ ）：— 一 ［２］ 宁连华，涂荣豹．中国数学基础教育的继 承与发展［Ｊ］．数学教育学报，２０１２，２１（６）：６—９． ［３］罗增儒，罗新兵．作为数学教育任务的数 学解题［Ｊ］．数学教育学报，２００５，１４（１）． 一２： １－４，，／ｘ＋１． ２ ｘ １ ２，／ｘ １ 又 Ｅ［０，１］，所以 （ ）＜０， ［４］连四清，佘岩，王欣．一元二次不等式的 特征对其解法迁移的影响［Ｊ］．数学教育学报， ２０１４，２３（２）：５７—５９＋１００． 从而Ｆ（ｘ）在［０，１］上单调递减． 所以Ｆ（ ）一＝Ｆ（０）． 即ｒ（ｘ）≤Ｆ（０）＝１一ｔ≤０，得ｔ≥１． ［５］吴跃忠，葛鸳鸯，莫雷．不同认知水平的 当然，除了以上几种常见的题型以外，解决 恒成立问题的方法还有很多种，只要注意对基础 知识的总结，就能从中提炼出很多巧妙的解题 方法． 解答编码对数学公式学习的影响［Ｊ］．数学教育学 报，２０１１，２０（３）：３０—３３． ［６］王光明，高效数学教学行为的归因［Ｊ］． 数学教育学报，２０１０，１９（５）：７５—５９． （上接第５７页） 直线ＭＮ的斜率为定值一１． １ １ 在探究过程中可以看出，如果用常规方法解题， 不免会繁琐无比，但只要巧妙的利用数学结论，就会 厶 点评：由ｋｕＢ・ ＝一÷，｜ｊ｝ ・ｋＭＡ＝一÷，利用 － 有意想不到的效果，使一些本来繁杂的思考计算变 得简明轻松．数学作为一门科学，是奥秘无穷的，数 学不仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更是一种 斜率公式表示后，两式相减就可以得出结果．根据已 知条件，借助数学结论２，结合斜率公式，整体代人， 可以把问题变得明朗，解题过程得到了优化，避免大 量繁琐的计算．解析几何综合题一般条件较多，牵涉 到的知识面广，在分析思路时，要注意识别问题的类 型，然后用相应的解法作为解题的方向引导整个解 题的进行．遇到困难时如果能冷静思考，使用一点小 技巧，那么常常可以达到一种曲径通幽的解题效果． 反思：为突破难关，解题时首先要围绕解题目标 选择适当的方法，设计合理的路径，然后深人细致地 进行运算．数学中有一些充满数学思想与美妙想法 的题目会难倒许多学生，如果采用“笨”的方法去解 决它，往往会做得很累很苦．让学生更加“聪明”起 重要的思维模式，需要不断的去探究，只要能合理利 用一些结论，就能解决一些实际问题．每一个新知 识，每一种新方法必然会有他的用武之地．因此改善 课堂教学效果，要充分利用教材中的潜在素材，拓宽 学生的知识面，充分挖掘知识的内涵，从多角度和多 维度去考虑问题，让学生在解题中掌握知识的过程 与真谛，提高数学能力． 参考文献： ［１］汪晓勤，王苗，邹佳晨．ＨＰＭ视角下的数 学教学设计：以椭圆为例［Ｊ］．数学教育学报，２０１１， ２０（４）：２０—２３． 来，要做到这一点必须对结论有深刻准确的理解．让 学生在解题过程中经过成功与失误、体验和反思，不 断积累自己的经验． ［２］ 罗增儒，罗新兵．作为数学教育任务的数 学解题［Ｊ］．数学教育学报，２００５，１４（１）． ・５９・