新余四中20122013九年级元旦杯竞赛 (2)

新余四中2012—2013九年级元旦杯竞赛

一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.）

1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2|ab|(ca)2|bc|可以化简为（ ）．

（A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a

b2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么

x另一个交点的坐标为（ ）．

（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）

3．如果a，b为给定的实数，且1ab，那么1，a1， 2ab，ab1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）

2a111 （C） （D） 4244．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，

△ABC是等边三角形．ADC30，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）．

（A）32 （B）4 （C）25 （D）4.5

5．如果关于x的方程 x2pxq0． （p，q是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）

（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8

6．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）． （A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3

二、填空题（共9小题，每小题6分，共54分）

7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一

为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取8.如果a，b，c是正数，且满足abc9，那么

个值x”到“结果是否>487？”值范围是 .

11110，abbcca9abc的值为 ． bccaab9．如图，正方形ABCD的边长为215， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 10. 如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对

O于D、E两点，若OC12，则线段CE、BD的长度差

ECA角线作矩形OBAC，设直线BC交圆

OBD是 。

x3911. 如果关于x的方程x+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为x1，x2，那么12012 的值为 ．

24x22

201112. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比

赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

（a，b，c）13．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，（x，y，z）（，，）则

111abca的取值范围是 . c14．如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的 长为 .

22（a，b）15．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对使得abn成立，则这样的n的个数为 ．

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

2（m3）xm20的两个实16．已知二次函数yx（m3）xm2，当1x3时，恒有y0；关于x的方程x2数根的倒数和小于

9．求m的取值范围． 1017. 如图，⊙O的直径为AB，⊙O1 过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O1 交于点D，且ODCD．点

E在OD上，且DCDE，BE的延长线与⊙O1 交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．

18．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.

19．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由．

参考解答

一、选择题

1 .C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

ba0c，且bc，

所以

a2|ab|(ca)2|bc|a(ab)(ca)(bc)a．

2．D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 3．D

解：由题设知，1a1ab12ab，所以这四个数据的平均数为

1(a1)(ab1)(2ab)34a2b， 44(a1)(ab1)44a2b中位数为 ， 2444a2b34a2b1于是 .

4444．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE.

又因为ADC30，所以ADE90. 在Rt△ADE中，AE5，AD3， 于是DE=5．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为q0，故方程的根为一正一负．由二次函数yxpxq的图象知，

2当x3时，y0，所以33pq0，即 3pq9. 由于p，q都是正整数，所以p1，1≤q≤5；或 p2，1≤q≤2，此

22AE2AD24，所以CD = DE = 4.

时都有p4q0. 于是共有7组符合题意． （p，q）5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

p098910，p1，p2，p3，因此p3最大． 363636365（乙）．C

解：因为abab1(a1)(b1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则

111x1(11)(1)(1)(1)，

23100解得 x1101，x100．

二、填空题

7．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得 27x－26≤487，

81x－80＞487. 解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，3x2≤487 9x8≤487，故x的取值范围是7＜x≤19． 8．7

解：在1ab1110bcca9两边乘以abc9得 3cababcbca10即cababcbca7

9．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN

ADBFANNFDN2BN1， 由此得AN2NF，所以AN23AF.

在Rt△ABF中，因为AB2a，BFa，所以

AFAB2BF25a，

于是 cosBAFABAF255. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 AEDAFB，

AME1800BAFAED1800BAFAFB90. 于是 AMAEcosBAF255a， MNANAM2453AFAM15a，

SMNDSMN4. AFDAF15又SAFD12(2a)(2a)2a2，所以S48MND15SAFD15a2. 因为a15，所以SMND8. 10．.

285 解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OMDE．

因为OB20212216，所以

OMOBOC161248BC205， CMOC2OM236645，BM5．

CEBD（EMCM）（DMBM）BMCM643655285． 11．23 解：根据题意，关于x的方程有

=k2－4(3k2943k2)≥0，

由此得 (k－3)2≤0．

DAN，所以∽△

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+

93=0，解得x1=x2=.

24故

x1x220112012=

21=．

3x212．8

解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知2a3b130，由此得0≤b≤43.

(m1)(m2)，所以2a2b(m1)(m2). 于是

2 0≤b130(m1)(m2)≤43，

又 ab87≤(m1)(m2)≤130，

由此得 m8，或m9.

当m8时，b40，a5；当m9时，b20，a35，a故m8． 13.

ab55，不合题设. 2235a1 2cabc(1)解：依题意得：111，所以bca，代入（2）得

(2)bca11111，两边乘以a得 abccac1aacaa22即化简得a3acc0，两边除以c2得 cac，cca，

235a35aa 所以 3()102c2cc另一方面：a≤b≤c，所以

a35a1 综合得1 c2c另解：可令

ak，由（1）得b(1k)c，代入（2）化简得k23k10，解得 c353535另一方面：a≤b≤c，所以k1， 综合得kk1．

22，214．

32 2解：如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此

BCBA. CFAD因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

于是

DEOE2. 因此 DCOBDE2CD2AD，CE3AD.

由△AED∽△CEB，知DEECAEBE．因为AE所以 2AD3ADBA3，BEBA， 22BA3BA，BA=22AD ，故 22CFADBC32BC. BA22215.12

解：依题意得na2b2abab

由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n4k，

（a，b）当1≤n≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：

kp或kp2，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有

12个。

三、解答题

16．解： 因为当1x3时，恒有y0，所以

2（m3）（4m2）0，

（m1）0，所以m1． 即

…………（3分）

当x1时，y≤0；当x3时，y≤0，即

2(1)2(m3)(1)m2≤0，

且 33(m3)m2≤0，

解得m≤5． …………（8分） 设方程xm3x2m220的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得

x1x2m3，x1x2m2．

因为

xx119m39，所以12， x1x210x1x2m210解得m12，或m2．

因此m12． …………（15分）

17． 证明：连接BD，因为OB为⊙O1 的直径，所以ODB90．又△CBE是等腰三角形．

…………（5分） 设BC与⊙O1 交于点M，连接OM，则OMB90．又因为

因为DCDE，所以

OCOB，所以

BOC2DOM2DBC2DBFDO1F．

…………（10分）

又因为BOC，DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶

△BOC∽△DO1F． …………（15分）

角，所以

18.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：CIDIADIDA， CDICDBBDIBACIDAIADIDA． 所以CIDCDI， CI = CD． 同理，CI = CB ．

故点C是△IBD的外心．

连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．

故OI是△IBD外接圆的切线．

（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．

CD，知OC⊥BD． 由BC因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE．所以BF = AE． 又因为I是△ABD的内心，所以ABADBD2AEBDBD2BFBD． 故ABAD2BD．

19.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角都等于30°， 而凸n边形的n个外角和为360°，所以k36012，只有当n12时， 30k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论n12时的情况： （1）当n12时，显然，k的值是11；

（2）当n3,4,5,6,7时，k的值分别为1，2，3，4，5；

（3）当n8,9,10,11时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分）

综上所述，当3n7时，凸n边形最多有n2个内角等于150°；当8n11时，凸n边形最多有n1个内角等于150°；当n12时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当n12时，凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分）