自然数平方数列和立方数列求和公式之欧阳歌谷创编

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

欧阳歌谷（2021.02.01）

即：

(1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

(2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

推导过程如下：

一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

欧阳歌谷创编 2021年2月1

欧阳歌谷创编 2021年2月1

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

证明如下：

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

欧阳歌谷创编 2021年2月1

欧阳歌谷创编 2021年2月1

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

......

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

欧阳歌谷创编 2021年2月1