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〔生〕把四边形划分成两个三角形，四边形的内角和等于2×180°即360°。 〔师〕这位同学把四边形的内角和问题转化为求两个三角形的内角和的问题。即把一个新问题用已掌握的知识来解决，希望大家能学会这种解决问题的办法。 3、新课讲解 〔师〕刚才我们解决了四边形内角和问题，现在我们来探索五边形的内角和。请大家分小组讨论。 〔师〕好。现在我们请同学们来发表自己的见解，交流一下你们是怎么解决这个问题的。 〔生甲〕我把五边形分成一个三角形和一个四边形，从刚才的分析得知三角形内角和为180°，四边形的内角和为360°，这个五边形的内角和就等于一个三角形的内角和与一个四边形的内角和的和，所以就等于180°+360°＝540°。 〔生乙〕我作出经过五边形的一个顶点的所有对角线，发现这个五边形被分成了3个三角形，所以这个五边形的内角和等于三个三角形的内角和的和，就是3×180°＝540°。 〔生丙〕我在五边形内部找一个点，然后连接这个点和五边形的五个顶点，发现有五个三角形，但是这五个三角形的内角和的和比五边形的内角和多了一个周角，所以我觉得五边形的内角和等于5×180°－360°＝540°。 〔生丁〕我在五边形的一条边上找到一个点，连接对面的一个顶点和这个点，把五边形分成了两个四边形但是多出一个平角，所以五边形的内角和等于2×360°－180°＝540°。 〔师〕大家谈论得非常好。这些方法都是正确的。在这么多的方法面前，同学们是否能挑选一个最好的方法呢？ 〔生齐回答〕前面两种方法最好。比较简便，也好计算。 〔师〕是的。那么就前两种方法而言，哪个又更好呢？ 〔生甲〕我觉得第一种方法最好。只要作一条辅助线。 〔生乙〕我觉得第二种方法最好。因为分成的图形都是三角形，比较统一。
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〔师〕现在我们探讨的多边形边数比较少，所以感觉两种方法各有千秋。但如果我们探讨的是一百边形，采用第一种方法来解决的话，这个多边形应该分成几个三角形、几个四边形呢？恐怕就会比较混乱了。但如果采用第二种方法，那么又应该把多边形分成多少个三角形呢？我们还是先从简单的情况说起。就用第二种方法解决六边形的内角和问题，看看大家是否能找出规律。 〔生〕过六边形的一个顶点把六边形分成了四个三角形，四比六少二，所以六边形的内角和等于（6－4）×180°＝720°。 〔师〕这位同学发现了多边形分成的三角形数目和多边形边数的关系，很好，但是是不是所有的多边形中都有这样的规律呢？ 〔生〕是的。四边形可以分成两个三角形，所以三角形数目为（4－2）；五边形可以分成三个三角形，所以三角形数目为（5－2）。 〔生〕我们发现分成的三角形数目都比多边形的边数少2，由此我们猜想ｎ边形的内角和就等于（ｎ-2）·180°。 〔师〕我们把这个猜想进行验证。如十二边形。 〔生〕分成十个三角形，所以十二边形的内角和就等于10×180°＝1800°。用公式验证：（12－2）×180°＝10×180°＝1800°。 〔师〕好，那么我们就把这个式子作为多边形内角和的计算公式。在这个公式中，大家要注意的是：ｎ是否有取值的限制？ 〔生〕边数最少的多边形是三角形，所以ｎ≥3。 〔师〕好，我们把这些内容整理一下：多边形的内角和公式为： （ｎ-2）·180°，其中ｎ表示多边形的边数，且ｎ≥3。下面我们观察图4-33中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 〔生〕我发现这些多边形的边长分别相等，各个内角分别相等。 图4-33 〔师〕在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。 〔师〕下面大家判断一下下面的两句话是否正确： （1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ （2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 〔生〕都不正确。（1）反例：如菱形；（2）反例：如矩形。 〔师〕所以大家要注意一个多边形符合怎样的条件才能判断为是正多边形。那么正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？正ｎ边形呢？
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〔生〕因为正四边形的各个内角大小都相等，所以正多边形的内角就等于正多边形的内角和除以正多边形的内角个数（即边数）： 正三角形的内角＝正四角形的内角＝正五角形的内角＝正六角形的内角＝正八角形的内角＝(32)1803(42)1804(52)1805(62)1806(82)1808＝60°； ＝90°； ＝108°； ＝120°； ＝135°。 4、随堂练习：略。5、布置作业：略。 二、教学反思： 今天这节课，在我准备的阶段，从教材教学内容顺序的安排，到知识点的串联编排，都进行了一些调整，或许这样比较适合学生的学习规律，但是好与坏总是并存的，在个别知识点的具体把握中，还是免不了出现欠缺。下面是我对这节研究课的反思，与大家交流。 1、思得。 在本节课的教学过程中，学生的积极性调动得比较充分，无论在探索问题还是分析结论，他们始终都是占据主体地位的。这或许要归功于新课改、新理念的不断渗透与要求。在“自主探索、合作交流”的教学方法运用下，我将学生分成若干个四人小组，不同小组展开评比。每个小组成员的数学思维水平成高、中、中下、低均匀分布，容易营造互助合作的学习气氛。体现在问题提出后，课堂气氛活跃，学生思维敏捷，并能提出多样化的解决问题方法，有助于培养学生发散性思维；在解决问题的解说过程中，培养学生的思维严谨、严密性和较好的口头表达能力；让学生参与到获得知识的过程中来，并因此培养对数学的兴趣，促进学生自主、自发、自觉的学习状态进入良性循环。在教师引导方面，通过这堂课我有了更深刻的认识。如果教师引导得当，一堂课则活泼不枯燥；反之，则欲速不达、过犹不及，因此我把教师的引导比喻成画龙点睛，需要恰到好处。 2、思失。 本节课中的不足，体现在没有充分让学生经历规律探索的整理过程，如同水到而渠未成。应该说，在备课的时候，我充分准备了这个环节，但是，在多边形内角和公式尚未得出的时候，个别学生先发现了这个规律就
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把它应用在了探索规律的过程中，打乱了教学顺序，后来又因为时间限制，我把这个问题提出时，大多数学生都受到那个学生的影响，直接把公式说了出来，原先编写的表格填空就没有用上了。 附教案片断： 〔师〕为了方便大家找出规律。我们把刚才探讨过的多边形的内角和列表研究： 多边形能分成几个三角形 多边形内角和 四边形 2 2×180°＝360° 五边形 3 3×180°＝540° 六边形 4 4×180°＝720° „„ „„ „„ ｎ边形 ｎ-2 （ｎ-2）·180° 我觉得，当时如果不去考虑那位学生的影响和时间的限制，仍然把探索过程整理出来，对于一些仍处于一知半解的学生来说是更重要的。 3、思效。 总体说来，本节课能贯彻新课标的教改要求，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师知指导下生动地、活泼地、主动地、富有个性地学习，调动学生积极性，体现教师的引导、学生的主体地位。在师与生的互动对话、生与生的合作交流中，我相信每个参与活动的个体都有不同程度的收获。学生的收获就是如何把一个新问题转化为用已学过的知识来解决，这是符合学生的学习规律的。而这种解决问题、获取新知识的方法，不仅仅体现在数学科上，还更广泛的体现在所有的学科当中。因此，本节课也加深了我对数学作为一门工具学科的理解。 4、思改。 新课标中提出教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有的学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。设置具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考，提出具有一定跨度的问题串引学生进行交流。注重知识之间的联系，提高解决问题的能力。我将针对我的不足，对照新课标的要求，不断进行探索与尝试，努力将教学质量提高上去。 5
研 究 课 说 案 学 科 数 学 2003-10-22 说课教师 邱 柠 一、课程 课标 教材分析（地位）： 本节课是第四章四边形性质探索的第6节探索多边形的内角和与外角和的第1课时，主要是探索多边形的内角和公式并要求熟练掌握。在前面5个小节学习了各种特殊四边形――平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质和判别后，对四边形边形有了较深的认识，也为本节课打下基础。另外，在探索多边形的内角和的过程中，学生将经历从简单的感性认识――大胆合理的猜想――积极的验证的过程，从而培养数学学习中的重要的习惯和方法。 二、教学目标： 1、知识点与技能（结果性目标） ①多边形的定义。②多边形的内角和公式。 2、过程与方法（过程性目标） ①经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 ②探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。 3、情感、态度价值观（体验性目标） ①通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神。 ②使学生懂得数学内容普遍存在相互联系，相互转化的特点。 三、教学重点：多边形内角和。 四、教学难点：多边形内角和公式的推导。 五、教学器材（手段、方法）：自主探索、合作交流。 六、教学过程： 1、总体编排。教材一开始就把五边形的内角和问题提出来，让学生探索后才介绍多边形的定义。针对这样的教学内容的编排，我进行了调整。首先介绍多边形的定义，让学生对本节课的研究对象有一个初步的了解。然后介绍多边形的边、顶点、内角、对角线等知识，为后面的学习作铺垫。考虑到现实条件的限制和时间的有效安排，我为学生设计了人手一份《课堂伴你学》（见附件），把相关的知识罗列出来，采取填空题的形式，让学生学习的同时能巩固这些知识。 2、引入部分。考虑到学生的总体程度不高，如果一下子把教材中的引题――五边形的内角和问题向学生提出，恐怕学生难以解决，从而产生
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畏惧心理，并打击学生的积极性。为了适应学生的学习规律，同时符合课改目标提出“改革教材忽视地域与文化差异，脱离社会发展、科技发展与学生身心发展规律的倾向，深化教材多样化的改革，提高教材的科学性和适应性”的要求，我将引题改成边数最少的多边形――即三角形的内角和问题。这个问题对于学生来说是非常熟悉的，在小学就了解了三角形内角和等于180°，并且在七年级下册的数学教材第五章第1小节曾经作过严格的证明，学生马上能回答出来。接着，我再向学生提问：比三角形多一条边的四边形内角和又是多少？这个问题的提出，也符合了教学应该循序渐进的要求。而学生也马上反应出来，作出一条对角线，把四边形分成两个三角形，通过求两个三角形内角和之和得到四边形的内角和。 3、新课讲解部分。经过这两个多边形内角和问题的铺垫，我才正式提出教材中的问题：那五边形的内角和怎么求？你有几种方法？比较这些方法，找出最好的方法。然后让学生分小组讨论。 在小组讨论结束后，针对学生提出的若干种方法，通过比较，引导他们将最简便的一种方法――即作出经过多边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成若干个三角形，通过计算这些三角形的个数，求出多边形的内角和。 在探索、总结多边形内角和公式的过程中，让学生把前面研究过的多边形内角和做出整理，促进学生从中发现规律： 多边形能分成几个三角形 多边形内角和 四边形 2 2×180°＝360° 五边形 3 3×180°＝540° 六边形 4 4×180°＝720° „„ „„ „„ ｎ边形 ｎ-2 （ｎ-2）·180° 整个探索过程中最主要的是让学生自己发现规律，自主总结公式，以达到“改革教学过程中过分注重接受、记忆、模仿学习的倾向，倡导学生主动参与，交流、合作、探究等多种学习活动，改进学习方式，使学生真正成为学习的主人”的要求。 在正多边形这一块知识的学习中，我主要把握好：让学生懂得一个多边形要成为正多边形的条件：每条边都相等、每个内角都相等。通过两个问题（①一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？②一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？）的辨析，加深学生对正多边形的理解。同时为求正多边形的内角打好基础。
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多边形及其内角和
一、多边形：
（1）在平面内，由 的线段 组成的封闭图形叫做多边形。
（2）根据相关定义在右图中填空：
二、多边形的内角和：
（1）三角形的内角和是
（3）五边形的内角和是
2）四边形的内角和是 4）六边形的内角和是 8
（（（5）ｎ边形的内角和是
多边形边数 内角和
三、正多边形：
3 4 5 6 7 „„ „„ „„ n （1）在平面内， ， 的多边形叫做正多边形。
（2）辨析：①一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
②一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
（3）正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？正ｎ边形呢？ 四、快速抢答：
1、（1）8边形内角和是_______。 （2）32边形内角和是________。
（3）如果一个四边形的一组对角互补,那 么另一组对角的关系是______。 （4）一个多边形的内角和是1440°， 它是_____边形。
2、有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？ 3、若一个多边形的每个内角都是１４４度，你知道这个多边形是几边形吗？
4、过某个多边形一个顶点的的所有对角线将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是 边形；它的内角和是 度。
5、福州则徐中学准备在端午节举行游园活动，有三个可供选择的场所，形状分别为三角形、四边形、五边形。为了营造气氛，拟在各个角落划出一块半径为R的扇形区域放蜡烛（如下图）。请你帮忙算出下列各图中划出的区域面积，好确定应买多少蜡烛。 思考：如果是n边形场所，划出的区域面积又是多少呢？
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五、回顾本节课的知识： 六、作业：
研 究 课 评 课 记 录 学科 数学 2003-10-22 集备组长 李增华 教师1：总体不错。就是在多边形内角和公式的归纳过程讲得不够透彻，如能抓紧多边形边数和三角形个数来讲，学生可能理解会深刻些。 教师2：“从特殊问题的研究――一般规律的猜想――通过特殊问题验证一般规律”是数学学习过程中的重要方法。教学中这种思想渗透对学生素质的提高会有极大的好处。 教师3：《课堂伴你学》的设计不错。节约板书时间，又能让学生巩固知识点。 教师4：对教材知识点编排顺序的有效重排，符合学生学习知识的规律；对整堂课的时间把握得比较好。总体素质比较高。 教师5：课堂气氛好，学生能积极参与到问题的探索中来。 教师6：教学安排紧凑，板书规范，语言简洁富有启发性。 10
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