第二章 控制系统的数学模型习题及答案

2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压ur(t)和位移x(t)为输入量；电压uc(t)和位移y(t)为输出量；R（电阻），C（电容），k（弹性系数），和f（阻尼系数），均为

常数。 解：

（a）应用复数阻抗概念可写出

1csI(s)U(s) （1） Ur(s)c1R1csR1I(s)Uc(s) （2） R2联立式（1）、（2），可解得：

Uc(s)R2(1R1Cs) Ur(s)R1R2R1R2Cs微分方程为:

ducR1R2du1ucrur dtCR1R2dtCR1（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 k1(xx1)f(对B点有 f(dx1dy) （1） dtdtdx1dy)k2y （2） dtdt 联立式（1）、（2）可得：

k1k2k1dxdy ydtf(k1k2)k1k2dt2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解：

(a) 取A、B两点分别进行受力分析，

如图解所示。对A点有

y)f1(yy1) (1) k2(xy)f2(x对B点有

y1)k1y1 (2) f1(y 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量y1，整理后得

f1f22ffs(12)s1k1k2k1k2f1f2s2(f1k2f2k1)sk1k2Y(s) = 2fffffX(s)122s(122)s1f1f2s(f1k2f2k1f2k2)sk1k2k1k2k1k2k1(b) 由图可写出

Uc(s) = 1R2C2sUr(s)1R1C1s1R21C1sR1C1s

整理得

Uc(s)R1R2C1C2s2(R1C1R2C2)s1 = 2Ur(s)R1R2C1C2s(R1C1R2C2R1C2)s1比较两系统的传递函数，如果设R11k1,R21k2,C1f1,C2f2,则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

2-3 求下图所示各有源网络的传递函数

Uc(s)。 Ur(s)解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出

Uc(s)R2

Ur(s)R11(b) Uc(s)C2s(1R1C1s)(1R2C2s)

1Ur(s)R1C2sR1C1s1R1C1sR21Cs1R2U(s)R2Cs(c) c Ur(s)R1R1(1R2Cs)R2

2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t)12e2tet，试求系统的单位脉冲响应和传递函数。 解

k(t)dc(t)4e2tet dt(s)L[k(t)]

2-5 系统传递函数

413s2 s2s1(s1)(s2)C(s)2(0)0时系统在输2，试求初始条件为c(0)1、cR(s)s3s2入r(t)1(t)作用下的输出c(t)。

(0)0时，由(t)3c(t)2c(t)2r(t)得 解： c(0)1,cc(0)3sC(s)3c(0)2C(s)2R(s) sC(s)sc(0)c2s23s142 代入初始条件得：C(s) s(s1)(s2)ss1s2 c(t)14et22e2t

2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数Qc(s)Qr(s)。

解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

Qc(s)0.7(s0.6) 3Qr(s)s(0.90.7K)s2(1.180.42K)s0.682-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数

X1(s)G1(s)R(s)G1(s)[G7(s)G8(s)]C(s)X( s)G(s)[X(s)G(s)X(s)]22163 X(s)[X(s)C(s)G(s)]G(s)3253C(s)G4(s)X3(s)C(s)。 R(s)解： 系统结构图如下：

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

G1G2G3G4C(s) R(s)1G2G3G6G3G4G5G1G2G3G4G7G1G2G3G4G82-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数

解： （a）

C(s)。 R(s)

所以： （b）

G1G2G3G4C(s) R(s)1G1G2G3G4G2G3G1G2G3G4

所以：

C(s)G1G2 R(s)1G2H （c）

所以：

G1G2G3C(s) R(s)1G1G2G2G3G1G2G32-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。

解： （a）图中有1条前向通路，4个回路

P1G1G2G3G4，11

L1G2G3H1，L2G1G2G3H3，L3G1G2G3G4H4，L4G3G4H2，1(L1L2L3L4)

G1G2G3G4C(s)P11 R(s)1G2G3H1G1G2G3H3G1G2G3G4H4G3G4H2（b）图中有4条前向通路，5个回路

P1G1，P2G1G2，P3G2，P4G2G1， L1G1，L2G1G2，L3G2，L4G2G1，L5G1G2， 12341，1(L1L2L3L4)，

C(s)P11P22P33P44 R(s)G1G1G2G2G2G12G1G2G1G2 1G1G1G2G2G2G1G1G21G1G23G1G2（c）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

P1G1G2G3，11，P2G4G3，21L1， L1G1G2H1，L2G3H2，L3G2H3， 1(L1L2L3)L1L2，

G1G2G3G4G3(1G1G2H1)C(s)P11P22 R(s)1G1G2H1G3H2G2H3G1G2G3H1H22-10 已知系统的结构图如下，图中R(s)为输入信号，N(s)为干扰信号，试求总输出C(s)。

解：（a）令N(s)0，求

C(s)。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 R(s)

P1G1G2，11，P2G1G3，21L11G2H， L1G2H，L2G1G2，L3G1G3， 1(L1L2L3)L1L3，则有

G1G2G1G3(1G2H)C(s)P11P22 R(s)1G2HG1G2G1G3G1G2G3HC(s)。有3条前向通路，回路不变。 N(s)令R(s)0，求

P11，11L1，P2G4G1G2，21，P3G4G1G3，31L1，1(L1L2L3)L1L3，

C(s)P11P22P331G2HG4G1G2G4G1G3(1G2H)N(s)1G2HG1G2G1G3G1G2G3HC(s)R(s)[G1G2G1G3(1G2H)]N(s)[1G2HG4G1G2G4G1G3(1G2H)]1G2HG1G2G1G3G1G2G3H（b）令N1(s)0，N2(s)0，求

C(s)。图中有1条前向通路，1个回路。 R(s)P1Ks2K(s1)，11，L1，1L1， s2s2则有

C(s)P11Ks R(s)(2K1)s2(K1)C(s)。图中有1条前向通路，回路不变。 N1(s)令R(s)0，N2(s)0，求

P1s，11，则有

C(s)P11s(s2) N1(s)(2K1)s2(K1)C(s)。图中有1条前向通路，回路不变。 N2(s)令R(s)0，N1(s)0，求

P12K，11s2则有

PC(s)2K 11N2(s)(2K1)s2(K1)C(s)ksR(s)s(s2)N1(s)2kN2(s)

(2k1)s2(k1)C(s)。图中有3条前向通路，2个回路。 R(s)（c）令N(s)0，求

P1G2G4，11，P2G3G4，21，P3G1G2G4，31， L1G2G4，L2G3G4，1(L1L2)，则有

C(s)P11P22P33G2G4G3G4G1G2G4 R(s)1G2G4G3G4C(s)。有1条前向通路，回路不变。 N(s)令R(s)0，求

P1G4，11， 则有

G4C(s)P11 N(s)1G2G4G3G4C(s)2-11

R(s)[G2G4G3G4G1G2G4]N(s)G4

1G2G4G3G4Y(s)

G1(1G3H3)G4G3H3H2H1G1R(s)

1G1H1G3H3G1G2G3H1H2H3G1H1G3H3