2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁UA＝（ ） A．{﹣2，1}
B．{1，﹣2}
C．{﹣2，﹣1，1，2}
D．{﹣2，2}
2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ）
A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍
C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元
D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍
4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ） A．乙分8两，丙分8两，丁分8两
第1页（共25页）
B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D．乙分9两，丙分8两，丁分7两
5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（ ）
A．45
B．35
C．147
D．75
7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（ ）
第2页（共25页）
A．128
B．104
C．80
D．56
8．（5分）已知函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B．（0，1） C． D．
9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，
A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若
的最大值为，则E的焦距的取值范围是（ ） A．
B．[2，3]
C．（1，2]
D．（1，3]
10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移则下列说法正确的是（ ） ①函数y'＝f（x）的图象关于直线②函数y'＝f（x）的图象关于点③函数y'＝f（x）的图象在区间④函数y'＝f（x）的图象在区间
个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，
对称； 对称；
上单调递减； 上单调递增．
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A．①④ B．②③ C．①③ D．②（④
11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若A．4
最小，则|AK|+|BK|＝（ ） B．8
C．
D．
12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有实数m的取值范围是（ ） A．[1，e]
B．
C．
，若f（x）≥lnx恒成立，则
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝ ． 14．（5分）若sin（α+15．（5分）函数
）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣
）＝ ．
的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得
弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，an2an+1+anan+12＝2nan+2nan+1，则an
＝ ；{an}的前10项和S10＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD； （Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为
，求PB的长．
第4页（共25页）
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若△ABC的周长为
，求△ABC的面积．
．
19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由； （Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”． ①请将下面的2×2列联表补充完整：
男生 女生 合计
合格 26
不合格 6
合计
②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由； （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率． 附：
P（K2≥k0）
k0
K2＝
0.100 2.706
0.050 3.841
•n＝a+b+c+d．
0.010 6.635
0.001 10.828
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20．（12分）已知椭圆的一个焦点F．
（Ⅰ）求E的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且+
＝2
，
+
＝2
，若直线AC的倾斜角的余弦值为
•
＝0，
，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E
，求直线MN与x轴
交点的坐标． 21．（12分）已知函数
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设a＝4，且
，求证：
．
．
(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
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（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集； （Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．
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2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁UA＝（ ） A．{﹣2，1}
B．{1，﹣2}
C．{﹣2，﹣1，1，2}
D．{﹣2，2}
【解答】解：∵U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{﹣1，2}， ∴∁UA＝{﹣2，1}． 故选：A．
2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：由题意得z＝4﹣3i， 所以＝
，
）位于第一象限，
＝
，
因此在复平面内对应的点（故选：A．
3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ）
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A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍
C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元
D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍 【解答】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；
对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确；
对于C，2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25 （元），所以选项C正确； 对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误， 故选：D．
4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ） A．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D．乙分9两，丙分8两，丁分7两
第9页（共25页）
【解答】解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{an}，设公差为d，则a1＝10.4，a5＝5.6，
所以a5＝a1+4d＝5.6，即10.4+4d＝5.6， 解得d＝﹣1.2，可得a2＝a1+d＝10.4﹣1.2＝9.2； a3＝a1+2d＝10.4﹣1.2×2＝8； a4＝a1+3d＝10.4﹣1.2×3＝6.8，
所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱， 故选：C．
5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形． 设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S， 所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率P＝故选：A．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（ ）
＝，
第10页（共25页）
A．45
【解答】解：由题得
B．35
C．147
D．75
所以f（3）+f（6）＝f（7）+f（6）＝72﹣5+62﹣5＝44+31＝75， 故选：D．
7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（ ）
A．128
B．104
C．80
D．56
【解答】解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，
第11页（共25页）
其体积可看作三个长方体的体积之和，
则该吊柜的体积V＝4×4×2+4×2×3+4×4×3＝104， 故选：B．
8．（5分）已知函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B．（0，1） C． D．
【解答】解：因为函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）＝logax．因为
在（﹣∞，+∞）上是减函数，
所以解得，
故选：C． 9．（5分）已知双曲线
分别为E的左，右焦点，
A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若
的最大值为，则E的焦距的取值范围是（ ） A．
B．[2，3]
C．（1，2]
D．（1，3]
【解答】解：设双曲线E的焦距为2c，
因为点M在双曲线右支上，所以|MF1|﹣|MF2|＝2a，|MF1|＝|MF2|+2a，
第12页（共25页）
则＝＝＝＝
≤＝，
当且仅当|MF2|＝，即|MF2|＝2a 时取等号，所以＝，解得a＝．
因为|AA1|≥|A2F2|，所以2a≥c﹣a 可得3a≥c， 所以1所以1＜
≤3，
≤3，即1＜2c≤3，
即双曲线E的焦距的取值范围为（1，3]， 故选：D．
10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移则下列说法正确的是（ ） ①函数y'＝f（x）的图象关于直线②函数y'＝f（x）的图象关于点③函数y'＝f（x）的图象在区间④函数y'＝f（x）的图象在区间A．①④ 【
解
答
B．②③
】
解
：对称； 对称；
上单调递减； 上单调递增． C．①③
由
题
D．②（④ 意
可
，
令2x+线令2x+
＝kπ+
＝kπ，k∈Z，求得
，故①正确； ，k∈Z，求得x＝，k∈Z，②不正确；
第13页（共25页）
个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，
知
，可得 函数f（x）的图象的对称轴为直
+，可得 函数f（x）的图象的对称中心为点
在区间在区间故选：C．
上，2x+上，2x+
∈（0，∈（
，
），函数f（x）单调性递减，故③正确；
），函数f（x）没有单调性，故④错误，
11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若A．4
最小，则|AK|+|BK|＝（ ） B．8
C．
D．
【解答】解：根据题意，不妨设点A 在第一象限，过点A 作准线的垂线，垂足为A1． 由题意可得F（1，0），K（﹣1，0）．因为|AF|＝|AA1|，所以若
最小，则sin∠AKA1 最小，即∠AKA1 最小，
＝sin∠AKA1，
由题知当AK 与抛物线y2＝4x 相切时，∠AKA1 最小． 设直线AK的方程为y＝k（x+1），则k＞0． 与抛物线方程联立，得
消去x得ky2﹣4y+4k＝0，
由△＝16﹣16k2＝0，得k＝1，所以∠AKA1＝
，A点坐标为（1，2），
所以|AF|＝|AA1|＝|A1K|＝|KF|＝2，此时四边形AFKA1 是正方形， AB⊥x 轴，所以|AK|＝|BK|＝2故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有实数m的取值范围是（ ） A．[1，e]
B．
C．
D．．
，若f（x）≥lnx恒成立，则
，|AK|+|BK|＝4
，
【解答】解：根据题意，将﹣x代入x，得
由得f（x）＝﹣mx﹣，
函数f（x）＝﹣mx﹣的图象恒过点（0，﹣）．
设g（x）＝lnx，当函数f（x）＝﹣mx﹣的图象和g（x）＝lnx的图象相切时，设切点
第14页（共25页）
坐标为（x0，y0），
由g′（x）＝，得切线斜率k＝g′（x0）＝解得x0＝
．此时k＝
＝
＝，
，则要使f（x）≥lnx，只需﹣m≥，解得m≤﹣
，
所以实数m的取值范围是故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝ ±3 ． 【解答】解：由•＝9得﹣12+2t2+3＝9，解得t＝±3． 故答案为：±3． 14．（5分）若sin（α+
）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣
）＝cos（α+
﹣
）＝ ﹣ ．
）＝﹣，
，
【解答】解：因为cos（所以cos（2α﹣故答案为：﹣． 15．（5分）函数
）＝sin（α+
）＝2cos2（
）﹣1＝2×﹣1＝﹣．
的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得
弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是 [﹣6，2] ． 【解答】解：根据题意，函数（1）＝1；
即切线的斜率k＝f′（1）＝1；
又由f（1）＝a，即切点的坐标为（1，a）， 所以函数f（x）在x＝1处切线方程为y＝x+a﹣1，
圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，变形可得（x﹣1）2+（y+2）2＝9，则C的圆心为（1，﹣2），半径r＝3，
则圆心到切线的距离d＝
，
第15页（共25页）
，其导数f′（x）＝lnx+，则f′
则切线被圆截得的弦长为，
则有2≤≤6，解可得：﹣6≤a≤2，
即a的取值范围为[﹣6，2]； 故答案为：[﹣6，2]．
16．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，an2an+1+anan+12＝2nan+2nan+1，则an＝
；{an}的前10项和S10＝ 93 ．
【解答】解：依题意，由an2an+1+anan+12＝2nan+2nan+1，可得 （anan+1﹣2n）（an+an+1）＝0． ∵数列{an}的各项均为正数， ∴anan+1﹣2n＝0，即anan+1＝2n． ∵a1＝1，∴a2＝2．
∵当n≥2时，有an﹣1an＝2n1，则
﹣
＝2．
∴数列{an}的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列； 偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列． ∴a2k﹣1＝1•2k1＝2k1，令2k﹣1＝n，得k＝
﹣
﹣
，则当n为奇数时，an＝；
a2k＝2•2k1＝2k，令2k＝n，得k＝，则当n为偶数时，an＝
﹣
．
综上所述，可得an＝．
∴S10＝a1+a2+…+a10
＝（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a10） ＝（1+2+…+24）+（2+22+…+25）
第16页（共25页）
＝＝93．
+
故答案为：；93．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD； （Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为
，求PB的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E． 因为CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4， 所以四边形ABCD是等腰梯形， 可得AE＝1，BE＝3，DE＝所以AB2＝AD2+BD2， 所以DB⊥AD．
又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以DB⊥PD．
因为AD∩PD＝D，PD、AD⊂平面PAD， 所以BD⊥平面PAD．
第17页（共25页）
，BD＝2，
因为BD⊂平面PBD， 所以平面PAD⊥平面PDB． （Ⅱ）S△ECD＝
＝
． ，
＝
，
因为三棱锥C﹣PDB的体积为所以VC﹣PED＝VP﹣ECD＝解得PD＝3． 在R△PDB中，BD＝2所以PB＝
＝
，PD＝3，
．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若△ABC的周长为【解答】解：（Ⅰ）由
在△ABC中，由余弦定理得cosB＝又因为B∈（0，π）， 所以B＝
．
， ，
，求△ABC的面积．
得a2+c2＝1﹣ac，
＝
＝﹣
．
（Ⅱ）因为△ABC的周长为1+2所以a+b+c＝1+2
，即a+c＝2
所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝24． 又因为a2+c2＝1﹣ac，
第18页（共25页）
所以c＝23，由（Ⅰ）知sinB＝所以△ABC的面积S△ABC＝
， ＝
．
19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由； （Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”． ①请将下面的2×2列联表补充完整：
男生 女生 合计
合格 26
不合格 6
合计
②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由； （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率． 附：
P（K2≥k0）
k0
K2＝
0.100 2.706
0.050 3.841
•n＝a+b+c+d．
0.010 6.635
0.001 10.828
第19页（共25页）
【解答】解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）． 理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y． 则
×（2+8+10）+（y﹣70）×
＝，
解得y＝76≈74.17，
显然74.17＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）； 考生的理由如下亦可： 平均成绩＝
×（2×45+8×55+10×65+12×75+10×85+8×95）＝73.8，
（或＝45×0.04+55×0.16+65×0.2+75×0.24+85×0.2+95×0.16＝73.8） 显然73.8＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）． （Ⅱ）①填表如下：
男生 女生 合计
②K2＝
合格 26 14 40 ＝
不合格 4 6 10
合计 30 20 50
≈2.08＜2.7.6，
故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关． （Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为从合格的40名学生中抽取40×
＝，
＝4（人），记为a、b、c、d；
第20页（共25页）
从不合格的10名学生中抽取10×＝1（人），记为x，
则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下： ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx， 共有10种情况，
其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为 ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况， 故恰好2人都合格的概率P＝
＝．
20．（12分）已知椭圆的一个焦点F．
（Ⅰ）求E的标准方程；
，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E
（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且+
＝2
，
+
＝2
，若直线AC的倾斜角的余弦值为
•＝0，
，求直线MN与x轴
交点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，mx+y﹣m＝0可化为m（x﹣1）+y＝0， 所以直线mx+y﹣m＝0恒过点（1，0）， 所以点F（1，0），可得c＝1． 因为离心率为，所以由b2＝a2﹣c2＝3得所以E的标准方程为
，解得a＝2， ，
．
（Ⅱ）因为由
+
＝2
•，
＝0，所以AC⊥BD． +
＝2
，得M，N分别是AC，BD的中点．
，得直线AC的斜率为2， ，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AC的倾斜角的余弦值为所以AC的方程：y＝2（x﹣1），直线BD的方程：
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联立
，消去y，得19x2﹣32x+4＝0．
显然，△＞0，且，
，
y1+y2＝2（x1﹣1）+2（x2﹣1）＝2（x1+x2）﹣4＝
所以，，
可得，同理可得，所以．
，
所以，直线MN的方程：令y＝0，得
，
所以直线MN与x轴交点的坐标为21．（12分）已知函数
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设a＝4，且【解答】解：（Ⅰ）
，求证：
．
．
．
﹣x＝
，
的定义域为（0，+∞），f′（x）＝
当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当a＞0时，由
解得0＜x＜
，
由，解得x＞，
所以f（x）在（0，在（
）上单调递增，
，+∞）上单调递减．
当a＝0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当a＞0时，f（x）在（0，
）上单调递增，
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在（，+∞）上单调递减．
，
（Ⅱ）证明：当a＝4时，f（x）＝lnx﹣x2，f′（x）＝则f（x）＝lnx﹣x2在（0，1）上单调递增． 设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）， 即lnx1﹣
＜lnx2﹣
，
所以ln＜，可得＜．
因为x∈（0，），所以0＜sinx＜cosx＜1，
所以＜，
即tanx＜因为x∈（0，
．
），所以2x∈（0，
），
所以cos2x∈（，1），﹣cos2x∈（﹣，﹣），
所以＜．
＜．
，且tanx＞0，
综上可得tanx＜即
(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．
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【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数），得x≠1．
消去参数t，得l的普通方程为x﹣2y+1＝0（x≠1）； 将
去分母得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，
将y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2代入， 得
，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设曲线C的参数方程为（α为参数），
则曲线C上的点到l的距离当
，即
时，
，
，
此时，，
所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．
，该点坐标为．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集； （Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝
当x＜﹣1时，解得x＜﹣3； 当﹣1≤x≤1时，解得当x＞1时，解得x＞1，
第24页（共25页）
；
综上，原不等式的解集为．
（Ⅱ）当a≤﹣1时，
∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣a﹣1＝3，解得a＝﹣4；
当a＞﹣1时，
∴f（x）max＝f（﹣1）＝a+1＝3，解得a＝2， ∴a的值为﹣4或2．
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