１２８ ２０１０，４６（３） Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎ ｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 种迭代加权 １范数的信号优化恢复方法 杨 扬，刘 哲，吕方园 ＹＡＮＧ Ｙａｎｇ，ＬＩＵ Ｚｈｅ，ＬＶ Ｆａｎｇ－ｙｕａｎ 西北工业大学理学院，西安７１０１２９ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１０１２９，Ｃｈｉｎａ Ｅ—ｍａｉｌ：ｙａｎｇｙａｎｇ１９８６０６１０＠１６３．ｃｏｍ ＹＡＮＧ Ｙａｎｇ，ＬＩＵ Ｚｈｅ，ＬＶ Ｆａｎｇ—ｙｕａｎ．Ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｔｅｒａｆｉｖｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｆｌ ｎｏｒｍ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ。２０１０．４６（３）：１２８—１３０． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒａｐｉｄ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌｓ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｓｓｕｅ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅ—－ ｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｖｉａ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｌｌ ｎｏｌＴｎ．Ａ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｌｌ ｎｏＦｎｌ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｓｅｖｅｒａｌ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｔｏ ｅｖａｌｕａｔｅ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ；ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｇｙ；ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ 摘要：稀疏信号的快速优化恢复是压缩感知理论（Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ Ｓｅｎｓｉｎｇ，ｃｓ）ｚ￣热点。讨论了参数选取对迭代加权Ｚ 范数优化 算法恢复效果的影响，并将参数规则化过程引入到算法中，提出了带有参数规则化过程的迭代加权ｚ 范数优化算法。最后通过数 值实验，表明改进的算法较大程度地提升了对稀疏信号的恢复能力。 关键词：压缩感知；稀疏信号；参数规则化；信号恢复 ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２—８３３１．２０１０．０３．０３８ 文章编号：１００２—８３３１（２０１０）０３—０１２８—０３ 文献标识码：Ａ 中图分类号：ＴＰ３９１ １引言 近两年提出了一种可以同时实现采样和压缩的新型信号 处理理沦——压缩感知（Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ Ｓｅｎｓｉｎｇ）￣１－２］，简称ｃｓ理 论，其核心思想是：稀疏或者可压缩信号可以利用少量的线性 问题的求解数值计算极不稳定，而且是一个ＮＰ难问题［８１。然 而，Ｃｈｅｎ，Ｄｏｎｏｈｏ和Ｓａｕｎｄｅｒｓ Ｅ 指出，在满足变换矩阵与观测矩 阵不相关的前提下，求解一个更加简单的ｌ。范数优化问题会产 生同等的解，这就使得问题转化为一个可以方便求解的线性规 划问题。 观测通过求解范数优化问题以高概率得到恢复。ｃｓ理论表明 准确恢复稀疏信号所需要的采样数量可以远远低于奈奎斯特 采样定律的，这在信号处理领域具有划时代的意义。虽然 ｃｓ理论在天文、地质、计算机、遥感、雷达、通信、医疗成像等重 主要讨论参数选取对信号恢复效果的影响，引入了参数规 则化过程，并进行对比实验，实验结果表明，改进的算法较大程 度地提升了对稀疏信号的恢复能力。 要领域的应用研究还处在起步阶段，但已取得了一些不俗的成 果【 。 ２信号优化恢复 设离散时间信号 Ｒ ， 是一个ＭｘＮ的观测矩阵，并且 ＜＜Ⅳ，观测值Ｊ，： 是—个 维向量。显然，如果利用观测值 在ｃｓ理论中，由于观测值的个数远远小于信号的长度， 因此必须面临求解欠定方程组的问题。初看，求解欠定方程组 是无望的，然而文献【２】和［７】指出：如果信号在某组基下具有稀 Ｙ恢复原信号 ，将会面临求解欠定方程组的问题。众所周知， 疏表示，上述问题便可以得到解决。此外，观测矩阵具有有限等 距特性（Ｒｅｓｔｉｒｃｔｅｄ Ｉｓｏｍｅｔｒｙ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ，ＲＩＰ）也为从少量观测值 中精确恢复原信号提供了理论保证［８１。 从数学意义上讲，基于ｃｓ理论的信号恢复问题就是寻找 欠定方程组的最简单解（即如范数最小的解）的问题，但是这类 这样的方程组有无穷多的解，因此在不附加其他条件的前提下 很难准确恢复原信号。 但是，如果信号 是稀疏的，并且观测矩阵 满足ＲＩＰ条 件，那么，原信号 就可以通过求解如下的组合优化问题得到 恢复： 基金项日：国家自然科学基金（ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．６０７７６７９５）；国家教育部新世纪人才支持计￣ｌｊ（ｔｈｅ Ｎｅｗ Ｃｅｎｔｕｒｙ Ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ Ｔａｌｅｎｔ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ＭＯＥ ｏｆ Ｃｈｉｎａ）；西北工业大学科技创新基金（ｔｈｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ）。 作者简介：杨扬（１９８６一），男，硕士研究生，主要研究方向：信号处理、计算机图形学；刘哲（１９７０一），女，博士，教授，硕士生导师，主要研究方向：图像 处理、信息融合与计算智能等；吕方园（１９８５一），女，硕士研究生，主要研究方向：图像处理、计算机图形学。 收稿日期：２００９—０９—１７ 修回日期：２００９—１１—２７ 杨 扬，刘 哲，吕方园：一种迭代加权ｌ 范数的信号优化恢复方法 ２０１０，４６（３）ｔ２９ 证∞ （ｉ）的存在性。 其中ｌｌ·ｌ１０表示向量中非零元素的个数，也称为１。范数。式（１） 可以看出，这种固定ｓ的算法具有较大的局限性，因此提 直观地表达了信号恢复的数学意义，然而，它的求解不仅数值 出了一种自适应选择ｓ的方法㈣（以下简记为自适应 法），即 计算极不稳定，而且是ＮＰ一难的，属于非凸优化问题，很难利用 在每一步迭代完成后，增加自适应确定ｓ的步骤：将（ ）按照 现有的优化方法有效求解。 降序进行重新排列，得到向量（ ），令ｅ＝ｍａｘ｛Ｉｘ ，ｏｒＪ，其中 ｃｈｅｎ，Ｄｏｎｏｈｏ和Ｓａｕｎｄｅｒｓ｛９１指出，在满足变换矩阵与观测 ｉｏ＝Ｍ／［４１ｏｇ（Ｎ／Ｍ）１，ｒｏ是—个初始时自主设置的较小常数。 矩阵不相关的前提下，用一个更加简单的ｌ。范数代替式（１）中 但是，自适应 法在选取比较值ｏｒ时仍然具有较大的主 的ｆｎ范数会产生同等的解，即： 观性。为此，弓Ｉ入参数规则化过程，提出了带有参数规则化过程 ａｒｉｎ Ｉ １ｌ ｓ．ｔ．Ｏｘ＝ｙ （２） 的ＩＲ一１ 算法（简记为ｓ—ＩＲ—ｚ 算法，其中 为参数），实验证明 这样的改变将一个难以解决的非凸优化问题转化成了一 这样的改进大大减少了准确恢复原信号所需要的观测数量。 ｓ—ＩＲ—ｆ１算法具体的实现过程如下： 个凸优化问题，使问题的性质发生了改变，于是可以方便地简 步骤１设定初值。设定校正参数ｓ，参数控制阈值Ｃ，迭代 化为线性规划，典型的实现算法有基追踪［９１（Ｂａｓｉｓ Ｐｕｒｓｕｉｔ）、内 控制阈值。以及迭代初值； 点法和梯度投影法等。 步骤２优化求解。求解式（３）的迭代加权ｚ。范数优化问 近年来，ｌ 范数优化应用十分广泛，一些学者称其为“现代 的最小二乘法”。但是，这同时也引出了一个研究的热点，就是 题，当相邻两次迭代结果之差的２一范数小于、／ｓ 时终止迭 期望进一步提升基于１ 范数优化算法的性能，或者说对现有ｚ 代，记录迭代结果为 （ ＝１，２，…）； 范数优化算法进一步改进，以期通过更少的观测而达到更加优 步骤３参数规则化。减小参数ｓ，若ｓ≥Ｃ，则更新权系数 越的恢复效果。正是基于此目的，提出了新的参数选取方法，即 计算式（４），并将迭代结果瓤作为第ｋ＋１次的迭代初值继续进 对参数进行规则化处理，这一改进大大提高了算法的性能。 行步骤２的迭代计算；否则，若ｅ＜Ｃ，终止整个计算过程，式（２） 的最优解即为此时步骤２中所得的迭代结果。 ３￡一规则化的迭代加权Ｚ 范数优化算法（ｓ＿ＩＲ 算 下面将通过数值实验表明：对算法的改进不仅有效地克服 法） 了固定 法的局限性和自适应ｓ法的主观性，而且大大减少了 在 范数优化问题中，大系数对算法的恢复效果影响较 准确恢复原信号所需要的观测数量，较大程度地提高了算法恢 大。因此，为了平衡所有系数对最优解的影响，采用迭代加权ｌ。 复稀疏信号的能力。 范数优化算法㈣（简记为ＩＲ—ｚ。算法），用加权ｚ 范数代替式（２） 中的ｚ，范数，即： ４数值实验 下面将通过一系列数值实验给出上述三种不同的参数选 ｍｉｎ ｔｏ（ｉ）Ｉｘ（ｉ）ｌ ｓ．ｔ． （３） 取方法对稀疏信号的恢复结果。 其中权系数依据前一步的迭代结果计算出来， （ｉ）＝Ｉｘ （ ） 第一个实验的目的是比较固定ｓ法、自适应 法和 —ＩＲ— 因此，式（３）的目标函数是对原来目标的一阶近似。通过这样的 ｌ 三种算法恢复稀疏信号的能力。选择一个长度为２５６，稀疏度 加权，可以平衡各个系数对最优解的影响，因此将会获得更加 为１６的高斯随机稀疏信号Ｘ０；观测矩阵 是一个６０￣２５６的 近似原信号的恢复信号。 同分布高斯随机矩阵；观测向量ｙｏ＝ＣＩ￣ｘ。。为了更加表明算 然而，如果在某一步迭代后Ｘ （ ）＝０，下一步迭代的权系数 法的优越性，在固定 法中选取较优参数值ｓ＝ｌ０ ；在自适应 （ｉ）就会变得没有意义。对于上述问题，通常是在权系数计 法中，设置较优比较参数Ｏｒ＝１０ 。图１给出了三种算法恢复稀 算式中添加一个较小的校正参数 ，即： 疏信号的实验结果。 从图１可以看出，固定ｓ法和自适应ｓ法两种算法的恢 丽 （４） 复效果较差，恢复信号与原信号偏差较大，其最大偏差分别为 由于校正参数的变化直接影响着权系数的大小，因此对它 ｌ１．Ｔｆｌｍ 。ｌ Ｉ＝１．８６４ ８和 Ｘ ２－ 。ｌｌ ＝１．８６４ ９（其中 和互：分别表 的处理是否得当将直接影响算法恢复效果的好坏。 示前述两种算法恢复所得信号），相对误差分别为０．８０５ ４和 对于式（４）中的校正参数 ，一种很自然的处理方法就是 ０．８２４ ６；然而，提出的ｇ—ＩＲ—ｌ 算法在几乎所有非零点上的恢复 设置 为某一固定的较小正常数（以下简记为固定 法），以保 值都是近似准确的，同时在零点匕仅有微小偏差，其最大偏差仅为 ｒ丽 ＿＿ ， 宴 堕！ ！！！竺鲨 １ ０ ０ ５０ ｌ００ １５Ｏ ２【ｘ】 ２５０ ５０ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００ ０ ５０ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００ 图１ 三种算法恢复效果图 １３０ ２０１０，４６（３） Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 ｌＩ互一训 ．８１￣１０４，相对误差也仅为１．７６ｘ１０￣。因此，提出算法 是相对较优的。 碍鞋罨镬 程，提出了ｓ—ＩＲ—ｚ 算法，并通过实验证明该算法对稀疏信号具 有较优的恢复效果。但是，在实验过程中作者发现该算法具有 不稳定性这一弱点，值得进行进一步的研究和改进。 第二个实验的目的是给出三种算法的成功恢复原信号的 概率随观测数量的变化情况。信号源仍然选为 观测数量依 次为Ｍ＝４０，４８，…，９６，对每一种算法和每一个观测值 ，重复 进行次实验，计算其成功恢复原信号的概率（这里当恢复信号互 满足ｌｌ互 。ｌＩ。《ｌＯ一。时，视为恢复成功），三种算法中的参数设 置同实验１。实验结果如图２所示。 参考文献： ［１】Ｃａｎｄ￣ｓ Ｅ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ［Ｃ］／／Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｆ Ｍａｔｈ— ｅｍａｔｉｃｓ．Ｍａｄｒｉｄ，Ｓｐａｉｎ，２００６，３：１４３３—１４５２． ［２］Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏ— ｒｙ，２００６，５２（４）：１２８９—１３０６． 【３］Ｔａｋｈａｒ Ｄ，Ｌａｓｋａ Ｊ，Ｗａｋｉｎ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ａ ｎｅｗ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｉｍａｇｉｎｇ ｃａｍｅｒａ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ ｕｓｉｎｇ ｏｐｔｉｃａｌ——ｄｏｍａｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄ—— ｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｆｏｒ Ｏｐｔｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＳＰＩＥ）． Ｂｅｌｌｉｎｇｈａｌｎ ＷＡ：Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｆｏｒ Ｏｐｔｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ２００６，６０６５． ［４】Ｌｕｓｔｉｇ Ｍ，Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ Ｌ，Ｐａｕｌｙ Ｊ Ｍ．Ｒａｐｉｄ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ ｗｉｔｈ ｃｏｍ— ｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍｌｙ ｕｎｄｅｒ—ｓａｍｐｌｅｄ ３ＤＦＴ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓ［Ｃ］／／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ １４ｔｈ Ａｎｎｕａｌ Ｍｅｅｔｉｎｇ ｏｆ ＩＳＭＲＭ，Ｓｅａｔｔｌｅ，ＷＡ， ２０ｏ６． ３５ ４０ ５０ ６０ ７Ｏ ８０ ９０ １００ 观测数量 ［５ Ｐｏｔ５］ｔｅｒ Ｌ Ｃ，Ｓｃｈｎｉｔｅｒ Ｐ，Ｚｉｎｉｅｌ Ｊ．Ｓｐａｒｓｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ＲＡＤＡＲ［Ｃｙ／ ＳＰＩＥ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ Ｓｙｎｔｈｅｔｉｃ Ａｐｅｒｔｕｒｅ Ｒａｄａｒ Ｉｍａｇｅｒｙ ＸＶ，２００８图２三种算法恢复成功概率图 ［６］Ｂａｊｗａ Ｗ Ｕ，Ｓａｙｅｅｄ Ａ，Ｎｏｗａｋ Ｒ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｏｆ ｗｉｒｅｌｅｓｓ ｃｈａｎｎｅｌｓ ｉｎ ｔｉｍｅ，ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｎｄ ｓｐａｃｅ［Ｃ］／／Ａｓｉｌｏｍａｒ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌｓ， Ｓｙｓｔｅｍｓ，ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｍ，Ｐａｃｉｆｉｃ Ｇｒｏｖｅ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，Ｏｃｔｏｂｅｒ ２００８． 由图２容易看出，提出的 —ＩＲ—ｆｌ算法可以明显减少准确 恢复原稀疏信号所需要的观测数量。在相同数量的观测下，该 算法具有最高的恢复成功概率，同样在相同恢复成功概率的要 求下，算法所需的观测数量也是最少的。因此，该算法是较优的。 在算法中引入参数规则化过程，提出了一种带有参数规则 化过程的ｓ—ＩＲ—ｆｌ算法，较大程度地提升了算法恢复稀疏信号 的能力，是一种有效的改进措施。 『７ Ｃａｎｄ￣ｓ７］ Ｅ，Ｔａｏ Ｔ．Ｎｅａｒ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｉｎａｌｇ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｆｒｏｍ ｒａｎｄｏｍ ｐｍｊｅｃ— ｔｉｏｎｓ：ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｅｎｃｏｄｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆ Ｔｈｅｏｒｙ，２００６， ５２：５４０６－５４２５． 【８］Ｂａｒａｎｉｕｋ Ｒ．Ａ ｌｅｃｔｕｒｅ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ［￣．ＩＥＥＥ Ｓｉｎａｌｇ Ｐｒｏ— ｃｅｓｓｉｎｇ Ｍａｇａｚｉｎｅ，２００７－０７． 【９】Ｃｈｅｎ Ｓ，Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ，Ｓａｎｎｄｅｒｓ Ｍ．Ａｔｏｍｉｃ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｂｙ ｂａｓｉｓ ｐｕ ｓｕｉｔ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ Ｓｃｉ Ｃｏｍｐｕｔ，１９９８，２０（１）：３３—６１． 【１０］Ｃａｎｄ￣ｓ Ｅ Ｊ，Ｗａｋｉｎ Ｍ Ｂ，Ｂｏｙｄ Ｓ Ｐ．Ｅｎｈａｎｃｉｎｇ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｂｙ ｒｅｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｚ１ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒａｌ ｏｆ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐ— ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，１４（５－６）． ５总结和展望 ｆ１范数优化理论和快速算法的研究一直以来都是一个相 当活跃的课题。综合迭代加权ｚ 范数优化算法和参数规则化过 （上接１２１页） ［５】Ｊｏｈｎｓｏｎ Ｓ Ｊ，Ｗｅｌｌｅｒ Ｓ Ｒ．Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｌｅａｖｅｓ ｆｏｒ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｒｅ— ｐｅａｔ—ａｃｃｕｍｕｌａｔｅ ｃ０ｄｅｓ［Ｃ】，，Ｖｅｈｉｃｕｌａｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，ＶＴＣ ２００６一ｓｐｒｉｎｇ，ＩＥＥＥ ６３ｒｄ，２００６：１３５８—１３６２． ２ｏ０７（７）． ［１０］胡琳，姚庆栋，刘云海．传感器网络中的分布式信息编码ｆＪ１．信息与 控制，２００６，３５（２）． ［１１］Ｅｃｋｆｏｒｄ Ａ，Ｃｈｕ Ｊ，Ａｄｖｅ Ｒ ｓ．Ａ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｒｅｌａｙｉｎｇ ｉｎ ｓｅｎｓｏｒ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｃ］／／２００６ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ（ＣＩＳＳ ２００６）．Ｍａｒｃｈ ２００６． ［６］Ｌｉｖｅｒｉｓ Ａ Ｄ，Ｘｉｏｎｇ Ｚｉｘｉａｎｇ，Ｇｅｏｒｇｈｉａｄｅｓ Ｃ Ｎ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｓｏｕｒｃｅｓ ｗｉｔｈ ｓｉｄｅ ｉｆｏｒｎｍａｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｄｅｃｏｄｅｒ ｕｓｉｎｇ ＬＤＰＣ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００２，６（１０）． ［１２］Ｄｉｖｓａｌａｒ Ｄ，Ｊｉｎ Ｈ，ＭｃＥｌｉｅｃｅ Ｒ．Ｃｏｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｏｒ Ｔｕｒｂｏ—ｌｉｋｅ ［７】张鸿玉，辛刚，张水莲．ＡＷＧＮ信道下ＲＡ码译码算法研究ｆＪ］．现代 电子技术，２００４（１７）． ｃｏｄｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ １９９８ Ａｌｌｅｒｔｏｎ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，１９９８：２０１— ２ｌＯ． ｆ８高宏峰，８１许宗泽．ＲＡ码译码简化算法的研究叨．Ｉ￣ｔｌｔｌ大学学报：工程 科学版，２００４（４）． ［１３】Ｌｉｖｅｒｉｓ Ａ，Ｘｉｏｎｇ Ｚ，Ｇｅｏｒｇｈｉａｄｅ Ｃ．Ｄｅｓｉｎ ｏｆ ｓｌｇｅｐｉａｎ—ｗ０１ｆ ｃｏｄｅｓ ｂｙ ｃｈａｎｎｅｌ ｃｏｄｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｄａｔａ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．ＩＥＥＥ，２００４． ［９］朱南，史治平，周亮．一种改进ＡＲＡ码的设计及优化［Ｊ】．通信技术， （上接１２７页） 计算机应用，２００５，２５（９）． 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