维普资讯 http://www.cqvip.com 第２０卷第３期 海南师范大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．２０ Ｎｏ．３ ２００７年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｓｅｐ．２００７ 一个新混沌系统的自适应同步 赵德勤，熊莲花 （合肥工业大学理学院，安徽合肥２３０００９） 摘 要：利用自适应控制的方法，给出了一个新混沌系统的同步控制器和参数自适应律。使 两个恒等系统达到了自适应同步同时识别未知参数．该控制器设计简单，易于实现，数值仿真表 明所提方法具有效性． 关键词：新型混沌系统；自适应同步；控制 中图分类号：０ ５４５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—８７４７（２００７）０３—０２３４—０４ 自从１９９０年ＰＣ混沌同步方法…被提出后，十多年来，混沌同步研究不断深入．研究发现。混沌同步 在保密通信等领域中有着广阔的应用前景，同步控制已成为混沌研究中的一个热点．近年人们还提出了激 活控制 ］、非线性耦合同步 、线性耦合同步 ］、自适应同步 等多种同步方法． １９６３年，Ｌｏｒｅｎｚ在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子 ］．１９９９年，陈关荣在研究混沌反控制的 过程中发现了一个类似但不拓扑等价的混沌吸引子，称为Ｃｈｅｎ系统 ．２００２年。吕金虎等发现了在这两 个对偶系统之间存在一个新的混沌系统，称为¨系统 ］．陈关荣等分析了它们的动力学行为．最近，刘凌 等 提出了一个新的混沌系统ｕ ，其数学模型为 圣＝ａ（ｚ— ），夕＝ｂｘ—ｄｘ ，三＝ｋｘｙ—ｃｙ一 ， （１） 其中口、ｂ、ｃ、ｄ、ｇ、 均为正的实参数．运用非线性分析方法已经证明这是一个和前面所提三种系统不拓扑等 价的混沌系统． 通常已有的自适应控制方法仅能够指引一个混沌轨道趋于稳定的平衡点，而不能够趋于不稳定的周期 轨道．本文将反馈方法和自适应控制相结合，对于新发现的这个混沌系统提出了一个自适应控制律，弥补 了自适应控制的不足．实现了混沌系统轨道之间的同步．数值仿真试验表明本文所提方法具有效性． １ 混沌同步问题的数学描述 考虑Ⅳ维自治动力学系统 圣＝ ），ｘ（ｔ０）＝ ， （２） 式中：戈： ， ，……， 】 为ｎ维状态变量， ）是ｎ维向量函数， 为初始值．系统（２）的解为 ＝ （￡， ）． 方程（２）所示系统的同构系统为 ＝ ｙ），ｙ（ｔ０）＝Ｙｏ． （３） 系统（３）的解为Ｙ： （￡，Ｙｏ）． 定义１ 对于系统（２）和系统（３），如果它们的解 ＝ （￡， ）和Ｙ＝ （￡，Ｙｏ）满足ｌｉｍ ｌＪ （￡， ）一 收稿日期：２００７～０７—１０ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 赵德勤等：一个新混沌系统的自适应同步 ２３５ （ ，Ｙｏ）ｌｌ＝０，则称系统（２）和（３）的轨道达到完全同步． ∞ ∞ 加 ０ 铷如 ２新系统的自适应同步 对于如下系统： ＝／（ ，Ｐ。）， （４．１） （４．２） Ｙ＝ ｙ，Ｐ）， 其中系统（４．１）在参数取Ｐ。时处于混沌状态，系统（４．２）中的参数Ｐ部分或者全部未知，用作自适应的可调 函数．给系统（４．２）右侧加一个反馈项 ｅ，ｅ：Ｙ— ，ｋ为反馈增益．若能找到一个合适的控制律 ｂ＝ｇ（ｘ，Ｙ）， （４．３） 使得当 ∞时，满足ｌｉｍ ｌ ｌｘ（ｔ）一ｙ（ｔ）ｌｌ＝０，则系统（４．１）和（４．２）在自适应控制律（４．３）的控制下达到了 同步．下面我们通过一个例子说明． 对于系统（１），我们令。＝８，ｂ＝４０，ｃ＝１０／３，ｄ＝１，ｇ＝４，ｋ＝１，则系统（１）的混沌吸引子的三维 图像如图１所示，此混沌吸引子在 一 平面上的相图如图２所示，在相图中其特定吸引域内具有遍历性． ０ 我们构造响应系统如下： 互１＝８（ｚ１一 １），夕１＝４０ｘ１一 ，三１＝ １Ｙ１一，），１一 １＋ｋ１（ 一 １）， 其中反馈增益ｋ，取为１００． （５） 图１系统的三维混沌吸引子 图２ —ｚ平面混沌吸引子 定理１ 对于系统（１）和（５），当控制律取作 ＝ｋ （ ～ 。）ｓｉｇｎ［ｚｌ Ｅｔ￣，系统（１）和（５）的轨道达到同步，＇ 其中自适应增益常数 取作ｌＯ． ３数值仿真实验 为了验证上述结论，下面给出了系统（１）和（５）的同步仿真实验结果，如图３．我们令系统（１）的初始值 为『ｌ，２，３】，系统（５）的初始值为［７，８，９】，自适应控制律的初始值为ｌＯ，系统（１）和（５）的误差在很短的时间 内收敛到零．两系统达到了同步，同时未知参数趋向于１０／３．为了比较反馈增益对同步速度和同步效果的 影响．我们分别取ｋ ＝３０、１００和２００，图４（ａ）、图４（ｂ）、图４（ｅ）分别显示了在三种反馈增益下系统（１）和 （５）的（ — ）一ｔ的示意图．为了节省篇幅，（Ｙ～Ｙ ）一ｔ示意图和（ 一 ）一ｔ示意图在此不再赘述．文中 所有的仿真均采用Ｒｕｎｇｅ～Ｋｕｔｔａ ４，５阶算法． 维普资讯 http://www.cqvip.com ２３６ 海南师范大学学报（自然科学版） ２００７焦 ｔ／ｓ ｔ／ｓ （ａ）（ — 。）一ｔ的示意图 ５ （ｂ）（ｙ—Ｙ。）一ｔ的示意图 ０ ６ －５ ４ ～１０ １０ｏ 一 一 １ ０ —１０ｏ ０ ｓ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ｔ ＿ 一～ （ｂ） ］●ｆ１｛１ ●●ｌｌ１Ｉ ｌｌＪ１●ｆ１ＩＩ ｌｌｊ （ａ） ＿ 一 — １ ｔ，ｓ （ｃ） 图４ 反馈增益分别取３０，１００，２００时（Ｉ—ｌ１）一Ｉ的示意图 ４ 结论 本文运用线性反馈和自适应控制相结合的方法，对于一个新发现的混沌系统提出了一个同步控制器和 参数自适应律，从而实现了混沌系统轨道之间的同步．数值仿真试验结果证明了所提方法的有效性． 维普资讯 http://www.cqvip.com
第３期 参考文献： 赵德勤等：一个新混沌系统的自适应同步 ２３７ ［１］Ｐｅｃｏｒａ Ｌ Ｍ，Ｃａｒｒｏｌ Ｔ Ｌ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ】．Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ｌｅｔｔ，１９９０，６４（８）：８２１—８２４． ［２］Ａｇｉ＝Ｈ Ａ，Ｙａｓｓｅｎ Ｍ Ｔ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆＲｏｓｓｌｅｒ ａｎｄ Ｃｈｅｎ ｃｈａｏｔｉｃ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｓｎｇ ｉａｃｉｔｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ】．Ｐｈｙｓ Ｌｅｔｔ Ａ，２００１，２７８：１９１—１９７． ［３］ 于洪基，彭建华．非线性耦合超混沌Ｒｏｓｓｌｅｒ系统和网络的同步［Ｊ】．计算物理，２００６，２３（５）：６２６—６３０． ［４］ 刘振泽，田彦涛，宋彦．基于线性耦合下混沌系统的同步条件［Ｊ】．物理学报，２００６，５５（８）：３９４５－３９４９． ［５］ Ｚｈａｏ Ｄ，Ｌｉｕ ｚ．Ｌａｇ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ】．Ｊ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ ｕＩｌｉｖｅｒｓｉｃ），，２００４，８（１） ２４－２７． ［６］ Ｌｏｒｅｎｚ Ｅ Ｎ．Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｉｔｃ ｎｏｎｐｅｒｉｏｄｉｃ ｌｆｏｗ【Ｊ】．Ｊ Ａｔｍｏｓ Ｓｃｉ，１９６３，２０：１３０—１４１． ［７］ Ｃｈｅｎ Ｇ，Ｕｅｔａ Ｔ．Ｙｅｔ ａｎｏｔｈｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔｒａｃｔｏｒ［Ｊ】．Ｉｎｔ Ｊ Ｂｉｆｕｒｃ Ｃｈａｏｓ，１９９９，９：１４６５—１４６６． ［８］ Ｌｄ Ｊ，Ｃｈｅｎ Ｇ．Ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔａｃｔｏｒ ｃｏｉｎｅｄ［Ｊ】．ＩｎｔＪ Ｂｉｆｕｒ Ｃｈａｏｓ，２００２，１２（３）：６５９—６６１． ［９］ 陈关荣，吕金虎．Ｌｏｒｅｎｚ系统族的动力学分析、控制与同步『Ｍ１．北京：科学出版社，２００３． ［１Ｏ］ 刘凌，苏燕辰，５，１崇新．一个新混沌系统及其电路仿真实现【Ｊ】．物理学报，２００６，５５（８）：３９３３～３９３７． Ａｄａｐｔｉｖｅ ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉ０ｎ ｆｏｒ ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｓ ｓｙｓｔｅｍ Ｚｈａｏ Ｄｅｑｉｎ，Ｘｉｏｎｇ Ｌｉａｎｇｈｕａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆ ｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０００９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ａｎｄ ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｌａｗ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｓ ｓｙｓｔｅｍ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ，ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｔｗｏ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｒｅａｃｈ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｄｅｎｔｉｉｆｅｓ ｔｈｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｉｎ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｅａｓｙ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ａｎｄ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｅｗ ｃｈａｏｓ ｓｙｓｔｅｍ；ａｄａｐｔｉｖｅ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ；ｃｏｎｔｏｌｒ （上接第２３３页） Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｂｏｏｋ－ｂｏｒｒｏｗｉｎｇ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｌｉｂｒａｒｉｅｓ Ｈｏｎｇ Ｓｈａｏｃｈｕｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｕａｎｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｕａｎｚｈｏｕ ３６２３１１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｍａｎｙ ｄｏｍａｉｎｓ，ｉｎ ｂｏｔｈ ｎａｔｕｒａｌ ｓｃｉｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｓｏｃｉａｌ ｓｃｉｅｎｃｅｓ．Ｂｙ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｎｅｔｗ。ｒｋ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄａｔａ ｇａｔｈｅｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｂｒａｒｙ。ｆ Ｑｕａｎｚｈ。ｕ Ｎｏｒｍａ１ Ｃｏ￣ｅｇｅ，ｗｅ。ｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｒｅｓａｈｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅ－ ｇｒｅｅ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｔｗｏｒｋ ｆｏｒ ｂｏｏｋ—ｂｏｒｒｏｗｉｎｇ ｉｓ ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ｉ．ｅ．，Ｎ ｏｃ ｅｘｐ（一ｃｋ）．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｉｔ ｉｓ ｄｉｓｃｏＶｅｒｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｌａｒｇｅ，ｗｈｉｃｈ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｖｉｚｉｎｇ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｒｅａｄｅｒｓ ｉｓ ｈｉｇｈ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｂｏｏｋ－ｂｏｒｒｏｗｉｎｇ；ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ；ｂｉｐａｒｔｉｔｅ ｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｄｕａｌ ｎｅｔ