2021年中考数学开放探索性专题测试题

（满分：100分；考试时间：100分钟）

题号 得分 一 二 三 16 17 18 19 20 21 22 总分 一、填空题（每小题3分；共24分）

1. 在四边形ABCD中；已知AB//CD；请补充条件 （写一个即可）；使得四边形ABCD为平行四边形；若ABCD是平行四边形；请补充条件 (写一个即可)；使四边形ABCD为菱形。

2. 如图1；某校为扩大高中招生；正在施工增盖教学楼；一推土机沿北偏东54°方向的OP工地线来回推土；它的噪声对位于O点正东方向200米处的一教室A已造成影响；当推土机的距O点 米处时；推土机的噪声对教室A影响最大。

北P54AD12OA东

BEC

（1） （2） （3）

3. 在△ABC和△ADC中；下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC=DC将其中的两个论断作为条件；另一个论断作为结论写出一个真命题是 。

4. 如图2；已知∠1=∠2；若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立；则这个条件可以是 。

5. 如图3；这是一个滚珠轴承的平面示意图；若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6；则在该轴承内最多能放 颗半径均为2的滚珠。 6. 观察下列算式并填空：32-12=8×1；52-32=8×2。

①72-52=8× ；②92- 2=8×4;③ 2-92=8×5；④132- 2=8×6； ……

通过观察归纳；写出反映这种规律的一般结论： _____________ （用文字语言表述）。

7. 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：

1；2；-3；2；5；-6；7……；如果从1开始依次连续选取若干个数；使它们的和大于5；那么至少要选 个数。 8. 根据指令[S；A]（S≥0；0°＜A＜180°）；机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A；再朝其面对的方向沿直线行走距离S；现机器人在直角坐标系的坐标原点；且面对y轴正方向。（1）若给机器人下了一个指令[4；60°]；则机器人应移

动到点 ；（2）请你给机器人下一个指令 ；使其移动到点（-5；5）。 二、选择题（每小题3分；共21分；每小题只有一个答案正确；请把正确答案的代号填入题后的括号内）。

9. 用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等边三角形；⑤等腰直角三角形；其中一定能拼成的图形是（ ）

A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①③⑤ D. ①③④⑤

10. 在Rt△ABC的直角边AC上有一点P（点P与点A、C不重合）；过点P作直线截△ABC；使截得的三角形与△ABC相似；则满足条件的直线共有（ ）

A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条

11. 若二次函数y=ax2+c；当x取x1；x2(x1≠x2)时；函数值相等；那么当x取x1+x2时；函数值是（ ）

A. a+c B. a-c C. –c D. c

12. 圆内接四边形ABCD中；由AB//DC不一定能推出（ ）

A. AD=BC B. AC=BD C.ADCBCD D. AD//BC

13. 在共有15人参加的“我爱祖国——争做五小公民”演讲比赛中；参赛选手成绩各不相等；因此选手要想知道自己是否进入前8名；只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ）

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

y14. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示；则a、b、c、a+b+c这四个式子中；值为正数的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

-1012x15. 如图4；⊙O的直径为10cm；弦AB为6cm；P是弦AB上一点；

若OP的长为整数；则满足条件的点P有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

1OAPB212112121

（4） （5）

三、解答题。（共55分）

16. （6分）如图5；观察由梯形拼成的图形和所给表样中的数据后回答问题。

梯形个数 图形周长 1 5 2 8 3 11 4 14 5 17 …… …… （1）当梯形的个数为10个时；图形的周长是 ； （2）当梯形的个数为n时；求图形的周长（用含n的代数式表示）；并求当图形的周长为80时；梯形的个数。

17. （6分）△ABC是等边三角形；找一点P使△PAB、△PAC、△PBC都是等腰三角形；请分别在下列三个图形中画出点P的位置；并分别注明哪些线段相等。

AAABCBCBC

18. （7分）在平面直角坐标系中；已知点A（1；6）；B（2；3）；C（3；2）。

（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C；

（2）根据你学过的函数类型；推测这三个点会同时在哪种函数的图象上；

（3）求出（2）中你推测的函数图象的解析式；并说明该函数的图象一定过这三个点。 19. （8分）如图；点P在圆上；依据圆周角定理可知：∠BPC等于BmC度数的一半；分

别考察图（2）、（3）两种情形；当点P在圆外（或圆内）时；BP、CP （或它们的延长线）分别交圆于A、D；设BmC的度数是x；AnD的度数是y；试用x、y表示∠BPC的大小；并说明你的结论。

PPBm(1)

20. (8分)已知：如图；在△ABC中；AC=14；BC=62 ；∠ACB=45°；点O在AC边上移动；以O为圆心作⊙O；使⊙O与AB相切；切点为D；⊙O与AC边交于E、F两点（点E在点F左边）。设⊙O的半径为r；四边形BDOC的面积为S。求：S与r的函数关系式。

AnDDnPACCBm(3)C

Bm(2)BDA

21. （8分）如图所示；AB是⊙O的直径；直线EF与⊙O相交于C、D；AE⊥EF于E；BF⊥EF于F；在线段EF上是否存在点P；使得以P、A、E为顶点的三角形和以P、B、F为

EOFC

顶点的三角形相似？若不存在；说明理由；若存在；这样的点P共有几个？并指出点P在图形中的位置。

BOAEC

22. （12分）已知反比例函数y=

DF

k和一次函数y=2x-1；其中一次函数的图象经过（a；2xb）；(a+1；b+k)两点。

（1）求反比例函数的解析式； （2）如图；已知点A在第一象限；且同时在上述两个函数的图象上；求A点坐标；

（3）利用（2）的结果；请问：在x轴上是否存在点P；使△AOP为等腰三角形？若存在；把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在；请说明理由。

y A

Ox

答案

一、填空题

1. AB=CD等 AB=BC等。 2. 162。

3. ①② →③。

4.∠B=∠D 或者∠AED=∠C等。 5. 6。

6. 3；7；11；11；两个连续奇数的平方差能被8整除（或是8的倍数）。 7. 7。

8. (-23；2)；[52；45°]

二、选择题

9. C；10. B；11. D；12. D；13. C；14. A；15. B。 16. （1）32；（2）5+3（n-1）或2+3n；n=26。 17.

PA=PB=PCBP=BC=BAPA=PCAB=AC=APPB=PC

18. （1）略；

（2）反比例函数图象上；

（3）y6 x=

19. 图②中；连结BD可得∠BPC=∠BDC-∠ABD

111xy(xy) 222111 图③中；连结BD；可得∠BPC=∠BDC+∠ABD=xy(xy)

2222220. 过B作BH⊥AC于H；可求得S=-y42

321. 连结AD、BC、AC、BD则△ACE△CBF；△AED∽△DFB；由此可知满足条件的点P有C、D两个。 22. （1）y=

1； x （2）A（1；1）；

（3）①当OA为腰时；由OA=OP得

P1=（2；0）；P2（-2；0）（如图①） ②当OA=AP；得P3（2；0）（如图②） ③当OA为底时；得P4（1；0）（如图③）

故符合条件的点有4个；分别是（2；0）；（-2；0）；（2；0）（1；0）

AP2OP1(1)

AOP3(2)AP4(3)