1956年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

数学

1．甲、利用对数性质计算lg2 5+lg2·lg50.

解：原式=lg2 5+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1. 乙、设m是实数，求证方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0的两根必定都是实数 证：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数 由[(4m1)]242(m2m)24m21.

m20,0.故原方程的两根均为实数 丙、设M是△ABC的边AC的中点，过M作直线交AB于E，过B作直线平行于ME交AC于F求证△AEF的面积等于△ABC的面积的一半 证：连MB，

则△AEF的面积=△AEM的面积+△MEF的面积

FC=△AEM的面积+△MEB的面积

1=△ABM的面积=·△ABC的面积（三角形的中线

2AMEBBM二等分△ABC的面积）

丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数 解：该三角形的最大边长为37，所以它所对的角最大，设此角为，由余弦定理可得

3242(37)21cos2342

18060120.1 / 4

word 戊、设tg和tg是方程x26x70的两根 求证：sin()cos() 证：由根与系数关系可知：

tgtg6,tgtg因tg()1 1tgtgtgtg7.sin()cos()2．解方程组

7xyxy12(1)22xy136(2)解:由(1)式可得(xy)7xy120, (xy3)(xy4)0.由此可得xy30,xy9,y9x(3)xy40,xy16,y16x(4)将(3)代入(2)得x2(9x)2136,即2x218x55091919191,y.22将(4)代入(2)得x2(16x)2136,即2x232x1200,xx6,10,y10,6.91919191x,x,x6,x10,213422综上,其解为y9191;y9191;y310;y46.1222

经检验，这四组解均为原方程组的解 ⌒ 3．设P为等边△ABC外接圆的BC上的一点，求证：PA2=AB2+PB·PC

证：在△ABP和△ADB中， ∠BAP=∠DAB为公用角， 又∠APB=∠ACB=∠ABD=600 △ABP∽△ADB，

ABP2 / 4

Cword AB2=PA·AD…………（1） 同理可证△BPD∽△APC，

PBPA,∴PB·PC=PA·PD…………（2） PDPC（1）、（2）式左、右两边分别相加，则得 AB2+PB·PC=PA（AD+PD）=PA2， ∴PA2=AB2+PB·PC 4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD，∠A＇AB=∠A＇AD（如图）

求证：平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD 证：设底面是菱形ABCD的对角线相交于O，联结A＇D，A＇O，A＇B 在△A＇AB与△A＇AD中，

∵A＇A=A＇A，∠A＇AB=∠A＇AD，AB=AD， △A＇AB≌△A＇AD，∴A＇B=A＇D， △A＇BD为等腰三角形

又∵O为DB的中点，∴A＇O⊥DB D'A'B'DOABC'C由菱形性质，DB⊥AC，∴DB垂直于底面A＇ACC＇ 但底面ABCD是经过DB的

故 平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD 5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之 证（1，）设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得 B-A=C-B，∴2B=A+C

但∵A+B+C=1800，即3B=1800，B=600.

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word 证（2），由（1）已知△ABC必有一个角为600，今设∠B=600. ∵△ABC的三边a,b,c成等比级数， ∴b2ac.

又由余弦定理可得b2a2c22accosB,b2a2c22ac,

a2c22ac0,(ac)20ac.B60,BABC,AC60

故△ABC为等边三角形，即其三个内角均为600.

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