高一数学三角函数章节期末复习

一、任意角

(1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． (3)弧度制

①1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

l

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为

r圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

l

③用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有

r关．

④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l＝|α|r，

11

扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2，

22

二、任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数定义

yxy

设P(x，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以rrx角为自变量，以比值为函数值的函数．

(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．

三．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 两个规律 (1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

π

(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合β|β ＝2＋kπ，k∈Z；





kπ

β＝，k∈Z. 终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为β2





一个命题规律

近几年主要考查运用三角函数概念解题，判断角的象限及三角函数值的符号，运用同角三角函数关系式、诱导公式进行化简、求值，是三角函数化简、求值、证明的必要前提． 实战检验

2π2π

sin，cos，则α＝________. 1．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P33π

2．若－＜α＜0，则点P(cos α，sin α)位于第________象限．

2

y

3．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．

x

4．下列命题：①第二象限角为钝角；②锐角是第一象限角；③若α是第二象限角，则α＋180°是第四象限角；④角α与π＋α终边在一条直线上．其中正确的是________． 5．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． ππ

6．已知角α的终边与的终边关于角的终边对称，则α的取值集合为________．

7．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

8．已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. aπ

9．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan＝________.

6

10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－

25

，则y＝________. 5

11．已知sin αtan α<0且cos α·tan α<0，则角α是第________象限角．

3π3π

sin，cos落在角α的终边上，且α∈[0,2π)，则α的值为________． 12．已知点P44

13．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R＝10 cm，则扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.

14．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且 cos α＝

3

x，求sin α，tan α的值． 6

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1. sin α

(2)商数关系：＝tan_α.

cos α

2．下列各角的终边与角α的终边的关系

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 图示 与α角终边的关系

角 π－α π－α 2π＋α 2相同 关于原点对称 关于x轴对称 图示 与α角 终边的 关系

关于y轴 对称 关于直线y＝x 对称 3.六组诱导公式

组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 两个理解 kπ

(1)三角函数诱导公式＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．

2

π

(2)对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为·k＋α(k∈Z)的

2正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角π

或小于锐角还有可能是任意角)，然后分析·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函

2数(原函数)是正还是负，也就是公式右边的符号． 实战

23π

1．计算sin等于________．

6

π1

2．已知sin α＝，且α∈2，π，则tan α＝________. 33．已知sin(2π－α)－2cos(2 013π＋α)＝0，则cos α＝________. π3

－，0，sin α＝－，则cos(π－α)＝________. 4．已知α∈25π10，，sin α－cos α＝. 5． 已知α∈25(1)求sin α＋cos α的值； 2sin2α＋sin 2α

(2)求的值．

1－tan α

一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 －α －sin_α cos_α －tan_α 三 π－α sin_α －cos_α －tan_α 四 π＋α －sin_α －cos_α tan α 五 π－α 2cos_α sin_α 六 π＋α 2cos_α －sin α 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 ππ1，，sin α·练习 已知α∈cos α＝. 428(1)求cos α－sin α的值； π

sin2－αtanα－π(2)求·的值．

sinα＋πcos3π－α

sinkπ－αcos[k－1π－α]

6．(1)化简：(k∈Z)．

sin[k＋1π＋α]coskπ＋α

3π－α＋tanπ－αcos2π－αsin2

(2)已知α是第三象限角，且f(α)＝.

cos－α－πtan－π－α ①化简f(α)；

3π1

α－＝，求f(α)的值． ②若cos25

3π

α－tanπ＋αcos2π＋αsin2

练习 (1)化简；

cos－α－3πsin－3π－α

sinπ－xcos2π－xtan－x＋π31π

－的值． (2) 已知f(x)＝，求f3π

－＋xcos2

1111＋7． (1)求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ＝＋tan θsin θcos θ.

(2)已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.

tan2π－αsin－2π－αcos6π－α

(3)＝－tan α.

cosα－πsin5π－α

8．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 1

9．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.

23π3

π，，则tan α＝________. 10．若cos α＝－，且α∈2511

－π＝________. 11．计算cos3

3

12．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________.

5

sinα－3π＋cosπ－α

13．设tan(5π＋α)＝m，则的值为________．

sin－α－cosπ＋απ22π

－α＝，则sinα－＝________. 14．已知cos363

2sin αcos α－cos α＋1π5

15．已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－，试求的值．

251－tan α

三角函数的图象与性质

1．“五点法”作图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π3π

，1，(π，0)，，－1，(2π，0)． (0,0)，22(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π3π

，0，(π，－1)，，0，(2π，1)． (0,1)，22

2．正弦、余弦和正切函数的图象和性质(下表格中的k∈Z)

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 对称中心 对称轴 R (kπ，0) πx＝kπ＋ 2R πx|x≠kπ＋ 2 kπ＋π，0 2x＝kπ kπ，0 2无 2kπ－π，2kπ 2 单调性 π＋为增； 2[2kπ－π，2kπ]为增； [2kπ，2kπ＋π]为减 2kπ＋π，2kπ 2kπ－π，kπ＋2 π2为增 奇偶性 3.函数的周期性 3π＋为减 2奇 偶 奇 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋2ππ

φ)(ω＞0且为常数)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0且为常数)的周期T＝.

ωω 两条规律

2ππ

(1)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

|ω||ω|

(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或 y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 一个命题规律

主要考查三角函数的图象、周期性、单调性、对称性、有界性、奇偶性、函数的解析式与图象的关系以及三角函数图象的平移，题型以填空题为主，难度以容易、中档题为主，在对三角函数其他知识的考查中，直接或间接考查本讲的基本方法与技能．

1

πx＋的最小正周期是________． 1．函数f(x)＝2sin4

x

2．已知函数f(x)＝3sin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1

2－x2|的最小值为________．

3．函数y＝sin x－cos x的定义域为________； 4．函数y＝2cos2x－sin x的值域为________．

5．写出下列函数的单调区间及周期： π

－2x＋；②y＝|tan x|. ①y＝sin3

练习 求下列函数的单调区间： π2x1

(1) y＝sin 4－3 2

ππ

0<φ<与y轴的交点为(0，3)，则下列结论：①图象关于点，0对称；6..设函数f(x)＝2sin(2x＋φ)24πππ

0，上是增函数；④f(x)图象向左平移个单位所得函数为偶函数，②图象关于直线x＝对称；③在61212其中所有正确的结论序号是________．

π对x∈R恒成立，且fπ＞f(π)，则f(x)7．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤f62的单调递增区间为________．

π

8．设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，

3则ω的最小值等于________．

π

0，上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂9．设定义在区间2线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________． ππωx－＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为. 10．函数f(x)＝Asin62(1)求函数f(x)的解析式；

πα

0，，f＝2，求α的值． (2)设α∈22

π

2x－，x∈R，则f(x)的最小正周期为________． 11．设函数f(x)＝sin2π

x－的图象的对称中心为________． 12．函数y＝sin4πππππ

ωx＋ (ω>0)，若f＝f，且f(x)在区间，内13．(2012·苏北五市期末联考)已知函数f(x)＝sin36262有最大值，无最小值，则ω＝________.

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示

x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2A π－φ ωπ 0 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ)

2.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤

2π

3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做ω1

周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

T确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)中参数的方法

M－mM＋m

在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，

222π

即由＝T求出，φ由特殊点确定．

ω一个复习指导

抓住正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点法”作图和图象的变换以及应用正弦型函数解析式解决三角函数的性质问题．通过适量的训练，掌握解决问题的通性通法．

例题讲解与练习

1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，π))的图象如图所示，则φ＝________. π

A>0，ω>0，|φ|<的最小值为－2，其图象上相 2．若函数y＝Asin(ωx＋φ)2

π

邻最高点与最低点的横坐标之差为，且图象过点(0，3)，则其解析式是________．

2

ππ

5x－的图象向右平移个单位，3．把函数y＝sin再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的241

，所得的函数解析式为________． 2

π4π

ωx＋＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是4．设ω＞0，函数y＝sin33________．

π2x＋， 5． 已知函数y＝2sin3(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

π

2x＋的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． (3)说明y＝2sin3

ππ3

ω>0，－<φ<0的最小正周期为π，且f＝. 6． 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)242(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象； (3)若f(x)>2

，求x的取值范围． 2

7． 如图为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一段． (1)求其解析式；

π

(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位后得y＝f(x)，

6求f(x)的对称轴方程．

π

8． 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的周期为π，且图象上一个最低

22π

，－2. 点为M3(1)求f(x)的解析式；

π

0，时，求f(x)的最值． (2)当x∈12

9．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移________个单位． π

10．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到

10原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________．

π

11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示．

2(1)求函数f(x)的解析式；