正三棱锥相邻两侧面所成的角为,则的取值范围是()

正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）

小题小做

湖州中学 蒋一莉

本文所谓“小题小做”是指用特殊方法解答选择题，。若每一道题都从正面着手、直接求解，将会“小题大做”，所以“小题小做”则是高考中赢得时间的关键。本文就近二年的部分高考选择题谈谈“小题小做”的策略。

一、用特殊情形处理小题

1,x，1,3例1、不等式的解集为( )

(A)() (B)() 0,2,(2,4),2,0

(C)() (D)() ,4,,2,(0,2),4,0

分析 由题意，和满足不等式，故排除选项A、B、C。 x,1x,,3

合理利用特殊值排除选项，策略之一) (

例2、如图，在棱柱的侧棱AD和BE上各一动点P，Q满足PD=BQ，过P，Q，C

三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A 3:1 B 2:1 C 4:1 D:1 3

分析:将P,Q置于特殊位置:P?D,Q?B,此时仍满足条件PD=BQ=0

V,V 则有 故选B C,ABD3

(合理利用特殊位置得到选项，策略之二)

例3、正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是( ) ,,

0000(A)() (B)() 0,1800,60

0000(C)() (D)() 60,9060,180

分析 正棱锥的底面为正多边形，且顶点在底面上的射影为底面上正多边形的中心。

本题若用常规方法余弦定理求解，运算繁琐，设点O为正三角形ABC中心，我们可以设想面OAB、面OBC、面OAC为有弹性可伸缩的等腰三角形，将点O沿垂直于面ABC的方向提起，即可以得到一个正三棱锥，此时相邻两侧面所成的角随着点O的无限提起而连续变化。当点O未提起时，面OAB与面OBC所成的角可看成是180度，当点O提至无穷远处时，则侧面无限接近垂直底面，此时相邻两侧面所成的角越来越接近底面正三角形的内角60度，故正三棱锥相

00邻两侧面所成的角取值范围是() 60,180

(合理利用极端情形得到选项，策略之三)

二、通过对四个选支的逻辑分析来处理小题

例4、设是满足的实数,那么 ( ) ab,0a,b

a，b,a,ba，b,a,b B A

a，b,a，ba，b,a,bC D

分析 因为A,B是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除C,D.又,可令 ab,0

,代入知B为真. a,1,b,,1

(借助逻辑分析法, 策略之四)

三、用数形结合处理小题

1,x，1,3例5、不等式的解集为( )

(A)() (B)() 0,2,(2,4),2,0

(C)() (D)() ,4,,2,(0,2),4,0

y,x，1,y,1,y,3分析 作出函数的图象，结合图象应选D。 123

2,(x，1),x,1,f(x),例6、设函数则使得的自变量的取值范围是f(x),1x,,4,x,1,x,1,,

( )

A.(,,,,2],[0,10]B(,,,,2],[0,1]

C(,,,,2],[1,10]D[,2,0],[1,10]

分析:如图，

与交点横坐标分别为，则的取值范围选A。 y,f(x)y,1,2,0,10f(x),1

(使数形有机结合, 策略之五)

四、用估算来处理小题

例7、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF

3平行于AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( ) 2

915A B 5 C 6 D 22

分析 本题为非典型多面体的体积计算问题，分割计算是求解的常规方法，但计算较繁，现分割并运用估算法求解。连接BE、CE，则四棱锥E-ABCD 的体积

1V,，3，3，2,6，又整个几何体的体积大于部分的体积，所求的几何体E,ABCD3

的体积大于。 VE,ABCD

(估算法, 策略之六)

五、构造法

例8、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面2

积为( )

A B C D 3,4,6,33,

分析 如图，将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球

的球心共一点。因为四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，从而外接

3R,球的半径 。故球的表面积为，选A 3,2

(构造规则、特殊几何体，策略之七)

222222例9、已知，则ab，bc，ca的最小值为 ( ) a，b,1,b，c,2,c，a,2

1111,，3,3,,3，3A B C D 2222

13222,a,b,c,解法1(构造一次函数)由题设得 22

66记 f(x),(a，b)x，ab,x,[,,],22

6f(,)当a，b,0时，f(x)在R上是增函数，所以f(x)的最小值为 2

61f(,),3= 22

1f(x),a,b,,当时，; a，b,02

6f() 当时，在R上是减函数，所以的最小值为 a，b,0f(x)f(x)2

61f(),3= 22

(构造函数，策略之八)

13222,a,b,c, 解法2 由题设得 22

P(a,b),P(b,c),P(c,a)P如图，设，点在以原点O为圆心，以1为半径的圆121

上，点在以原点O为圆心，以2为半径的圆上， P,P23

所以, OP,(a,b),OP,(b,c),OP,(c,a)123

1(OP,OP，OP,OP，OP,OP)则= ab，bc，ca1223312

1,当异号时，则= a,bab，bc，ca2

当a,b同号时，三点在如图所示位置，即是等腰直角三角形时P,P,P,PPP123123

226226P(,,,)P(,,)ab，bc，ca取最小值，此时，， P(,,)132222222

1,3所以的最小值为。 ab，bc，ca2

(综合数、形、向量，策略之九)

综上所述，选择题是数学标准化命题考试的重要题型之一，选择题由于题干和选择支组成。选择题具有题小，量大，知识覆盖面宽，基础，灵活，有一定综合性和深度等特点。在取材上重基本概念和基本运算，加强算法、算理的考察，同时也兼顾死亡能力(主要是逻辑思维与直觉思维)和空间想象能力的考查。从这个意义上讲，选择题与综合题一样，同样是考能力。选择题针对考生弱点设置迷惑支，又适当设置提示项，选择题的巧解，说到底就是要充分利用选项提供的信息，能力稍差的同学解选择题仅仅顾及题干，选项只是起了核对检验的作用，本来选择题应当“小题小做”，但他们却“小题大做”，导致后面解答题没有充分的时间去考虑。大多数选择题具有多种解法如本文中(例1与例4，例7)，所以在教学中，处理小题时重视常规方法的同时，渗透特殊方法，这样做既有利于全面深刻理解知识和掌握方法，又有利于提高学生的数学素质和分析问题解决问题的能力。我觉得“小题小做”为基础扎实、思路灵活的考生充分发挥他们的聪明才智，快速灵活解题提供了舞台。