ＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ 科技教育 Ｒ Ｍ Ｉ原理在微积分中的应用 赵世瑜 （甘肃省渭源县第二中学 甘肃定西 ７４８２０１） 摘要：ＲＭＩ原理是一种重要的数学方法，被称为关系映射反演方法，是数学中应用广泛的方法原理。本文主要介绍了其思想与含义，并 通过该原理在微积分中的应用，从而可提高我们抽象分析和应用数学工具的能力，因此在数学研究中有着非常重要的意义和作用。 关键词：ＲＭＩ原理 映射 反演 中图分类号：０２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２０１４）１０（ａ）一０１２６—０１ 任何学科都有一个方法问题。当今科 分总是可以算出来的，但因工作量极其大， Ｐ：ａ＝ｘｏ＜ｘｌ＜ｘ２＜…＜ｘｎ＝ｂ， 学日新月异的发展使方法问题日显重要。 实际上是不可能这么去做的。 科学活动的重大特点之一，是以方法论问 题作为形成科学本身各种崭新思想的必要 解：令２ｘ一１：ｔ，即 ＝ ，则 ：去ｄｆ，于是 条件，一门科学的发展，不仅表现在理论上 Ｉ ｘ（２ｘ—１） ｄｘ 的意义，而且表现在方法上的意义。这种特 点刺激了科学方法论以及各种专门的学科 ＝ ４ Ｉ“＋１）ｆⅢ。 方法论的兴起，数学方法就是其中之一。早 １ ｔ 。 ｔ 。 在近代科学的黎明期，著名的德国数学家、 （而 而） 哲学家莱布尼兹就指出：数学的本质不在 ＝ 于它的对象，而在于它的方法。从古代的亚 ４ ｃ、１ ０２＋ １０１＋ｃ 里士多德到近代的培根、笛卡儿、牛顿、莱 从以上的计算过程可得到图１。 布尼兹、庞加莱、希尔伯特等著名学者都曾 换元法又称变量代换或辅助代换法， 经对数学方法的发展做出过突出的贡献。 通过引入辅助元素或构想辅助问题，能化 在我国，对数学方法论做出突出贡献的是 未知为已知、化新问题为已经解决了的问 数学家、数学教育家徐利治教授，他主要研 题。波利亚说：“构想一个辅助问题是一项 究和讨论数学的发展规律、数学的思想方 重要的思路。举出一个有助于另一问题的 法以及数学中的发现、发明与创新等法则。 清晰的新问题，能够清楚地把达到另一目 并首次提出了著名的论断“关系映射反演 的的手段设想成一个新目标。这就是运用 方法”。曾经出版近ｌ ０部著作论述数学方 智慧的卓越成就。学会怎样聪明地处理辅 法，如《数学方法论选讲 关系映射反演方 助问题是一项重大的任务。”换元法就是靠 法》等，从中他强调了数学方法在数学中的 通过引入变量代换原变量进行映射，从而 重要性。如能用ＲＭＩ原理这条主线把各种 把原问题转化为一个易解的辅助问题的方 方法知识连接贯穿起来，想必定能起到事 法。 半功倍之效，下面我们就看看用关系映射 反演方法如何解决微积分问题。 ２不规则图形的面积 对于图形面积的计算，能够考虑运用 １计算积分 公式的，往往是那些比较规则的图形，而对 在研究某些复杂的问题时，通过引入 于那些不规则的图形，其面积的计算总是 一个或几个新变量来代替原式中的某些 无从下手，需要根据图形特征和已知的条 量，从而把原式用新变量表示，并求得相应 件合理地选择计算方法，下面用ＲＭＩ原理 的结果，这种解决问题的方法叫作换元法。 来求不规则图形的面积。 换元法其实是关系映射反演方法的方法之 例２：我们来求由连续曲线Ｙ＝ｆ（ｘ） 一。 （假设厂（ ）＞０），直线Ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ和 轴 卜（２ｘ－１） 。 围成的曲边梯形的面积。 理论上，可以利用二项式定理将被积 解： 在［ａ，ｂ］上去一系列的分点Ｘ，， 函数ｘ（２ｘ一１）１００展开成多项式，其不定积 作成一种划分， 图１ ＲＭＩ方法的思想过程 ２ ６ 科技资讯ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ 记小区间 ＿ｌ， 】的长度为：Ａｘｆ＝Ｘｆ—Ｘｉ 并在每一小区间上任意取一点ｓ ，用 底为 ，高为．，。（ｓ，）的矩面，积近似的代 替小的曲边体系的面积，那么这些小矩形 的面积之和， ＿，（ｏｃ＇ｉ）￣ｋ３ｆｉ，这是整个大的曲 ｉ＝１ ／ 、 边梯形的面积的近似，令 ｌ ，当 ０时，若极限 ／【 存在，那么 这个极限显然就是所要求的曲边梯形的精 确面积。 这种解决问题的方法是“化大为小，化 繁为简”转化思想的体现，其思想过程可表 示为：要求曲边梯形的面积，先把它分割成 ｎ个小曲边梯形，再求这ｎ个小矩形的面积 和，用它近似代替ｎ个小曲边梯形的面积 和，再求此和的极限，就是曲边梯形的面 积。分割法是通过把待处理问题分割，从而 能清楚地了解问题内部的各种制约关系， 从而找到一个解决问题的办法；通过分解， 能弄清问题的外延，从而知道我们应该从 哪些方面人手去解决问题，因此，分割对于 “问题解决”是至关重要的。 最后，我们还要指出，在应用ＲＭＩ原理 求解各种或大或小的问题时，或者去处理 一类问题时，对关系映射反演方法的具体 的选择，最好使之符合三个条件：一是在将 原象系统转换成映象系统时，要能显示出 化繁为简、化难为易或化生为熟的作用；二 是能导致映射和反演过程的存在性及能行 性；三是映射方法本身的构造要符合美学 标准，即既是自然的和简单的，而且形式又 是比较优美的，只有这样选择映射，才能更 好地解决问题。数学家利用关系映射反演 方法曾经解决了历史上许多难题和“不可 能”的问题。例如：证明√ 是无理数、证明 “几何三大难题”的不可能性等等。 参考文献 ［１】金杭平．数学中的关系映射反演方法 ［Ｊ］．嘉兴学院学报，２００１，１ ３（６）：７４～７５． ［２］陈大波．关系映射反演方法（ＲＭＩ原理） ［Ｊ】．宁德师专学报，２００４，１６（１）：４—５． 【３】胡明娣，郭芳．高等代数的关系映射反 演方法的认识和研究［Ｊ］．安康师专学 报，２００３，１ ５（１）：３５～３６．