宁夏银川二中2019届高三上学期统练理科数学试题Word版含解析

理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设集合 U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁UB）=（ ） A．{1，3 } B．{ 2 } C．{2，3} D．{ 3 }

2．等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（ ） A．14 B．18 C．21 D．27

3．函数f（x）=x+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ） A．10 B．5

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ） A．

5．将函数y=sin（2x﹣A．x=

6．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为（ ） A．2

7．已知α∈（0，π），cos（α+A．

8．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，A．

9．已知命题p：函数f（x）=2ax﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x+∞）上是减函数．若p且¬q为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．a≤1或a＞2

2

2﹣a

3

C．﹣1 D．

B． C． D．

）图象向左平移 D．x=﹣

个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）

B．x= C．x=

B．1 C． D．

）=﹣ D．﹣

，则tan2α=（ ）

B．﹣或﹣ C．﹣

，则λ+μ的值为（ ）

B． C． D．1

在（0，

10．△ABC中，角A，B，C成等差数列是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．正项等比数列{an}中，存在两项的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

使得

成立的（ ）

，且a7=a6+2a5，则

12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x﹣2x）+f（2y﹣y）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，围为（ ）

A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]

二、填空题：请将答案填入答题纸填空题的相应答题上，每小题5分，共20分； 13．已知

14．已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an= ．

15．已知函数f（x）=2sin（ωx+

）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，

⊥

，|

|=2，|

|=3，且

+2

与λ

﹣

垂直，则实数λ的值为 ．

2

2

的取值范

若△PAB的面积等于π，则ω= ．

16．△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，则a的取值范围是 ．

三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）

17．（12分）（2015秋•兴庆区校级月考）已知等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=an•an+1，证明：

18．（12分）（2013春•富平县期末）设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点

．

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．

19．（12分）（2011•盐城模拟）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=（Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC边的长．

，cos∠ADC=﹣．

20．（12分）（2015秋•兴庆区校级月考）已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，数列{bn}满足

b1=1，且bn+1=2bn+2an（n∈N+） （1）证明：数列

是等差数列；

（2）若对任意n∈N+，不等式（n+2）bn+1≥λbn总成立，求实数λ的最大值．

21．（12分）（2013•桐乡市校级模拟）已知函数f（x）=ln（e+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数 （1）求k的值

（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围 （3）讨论关于x的方程

的根的个数．

2

x

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（2018•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1：x+y=4，圆C2：（x﹣2）+y=4．

（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

23．（2018秋•兴庆区校级月考）已知a，b，c∈R，求证：

2

（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）≥16abc （2）

+

+

≥3．

+

2

2

2

2

宁夏银川二中2019届高三上学期统练

理科数学试题参

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设集合 U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁UB）=（ ） A．{1，3 } B．{ 2 } C．{2，3} D．{ 3 } 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合．

【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB． 【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={2，5}， ∴∁UB={1，3，4，6}， 又∵A={1，2，3}，

∴A∩（∁UB）={1，2，3}∩{1，3，4，6}={1，3}． 故选：A．

【点评】本题考查补集与交集的混合运算，是会考常见题型，属于基础题．

2．等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（ ） A．14 B．18 C．21 D．27 【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．

【分析】由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6 【解答】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3 解方程可得，a1=2，d=1 ∴a1a6=2×7=14 故选：A

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题

3．函数f（x）=x+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ） A．10 B．5

C．﹣1 D．

3

【考点】导数的几何意义． 【专题】计算题．

【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得． 【解答】解：∵f（x）=x+4x+5，∴f′（x）=3x+4， ∴f′（1）=7，即切线的斜率为7， 又f（1）=10，故切点坐标（1，10）， ∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣， 切线在x轴上的截距为﹣，

故选D．

【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）

3

2

A． B． C． D．

【考点】等比数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到

，解出即可．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵S3=a2+10a1，a5=9，

∴，解得．

∴．

故选C．

【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．

5．将函数y=sin（2x﹣A．x=

B．x=

C．x=

）图象向左平移 D．x=﹣

个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程． 【解答】解：将函数y=sin（2x﹣﹣

]=sin（2x+

=kπ+

）．

，k∈z，求得 x=

，

+

，

）图象向左平移

个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin[2（x+

）），

令2x+

故函数的一条对称轴的方程是x=

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

6．已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为（ ） A．2

B．1

C．

D．

【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用．

【分析】求出向量a，b的数量积，再求（可得到．

）=2，由+在方向上的投影为，计算即

【解答】解：||=1，||=2，与的夹角为60°， 则则（

=||•||•cos60°=1×）

=

+

=1+1=2，

=1，

则+在方向上的投影为==2．

故选A．

【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的投影的求法，考查运算能力，属于基础题．

7．已知α∈（0，π），cos（α+A．

B．﹣

或﹣

C．﹣

）=﹣ D．﹣

，则tan2α=（ ）

【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由已知求得α+

∈（

，

），从而可求sin（α+

）的值，进而可求tan（α+

）=±1，

从而解得tanα=﹣2或+2，从而由二倍角公式可求tan2α的值．

【解答】解：∵α∈（0，π）， ∴α+

∈（

，）=﹣）=±

）， ，

=±

，

∵cos（α+∴sin（α+

∴tan（α+）====±1，

从而解得tanα=∴tan2α=

﹣2或=

+2，

=﹣

或tan2α=

=

=﹣

．

故选：C．

【点评】本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于基本知识的考查．

8．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，A．

B．

C．

D．1

，则λ+μ的值为（ ）

【考点】向量的共线定理． 【分析】设【解答】解：设则==（∴∴

）

=

，将向量

=

用向量

、

表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．

故选A．

【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．

9．已知命题p：函数f（x）=2ax﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x在（0，+∞）上是减函数．若p且¬q为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．a≤1或a＞2 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【专题】计算题；不等式的解法及应用．

【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，即可求出p且￢q为真命题时，即可求实数a的取值范围．

22﹣a

【解答】解：由题意，命题p：得a＞1．

命题q：2﹣a＜0，得a＞2，∴￢q：a≤2． 故由p且￢q为真命题，得1＜a≤2， 故选C．

【点评】本题考查函数方程思想、幂函数单调性的应用，同时又考查命题真假的理解，属于中档题．

10．△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．

【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°， 若

则sin（A+B）=

即sinAcosB+cosAsinB=

∴cosAsinB=cosAcosB， 若cosA=0或tanB=， 即A=90°或B=60°，

，

，

，

∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件． 故选：A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．

11．正项等比数列{an}中，存在两项的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

使得，且a7=a6+2a5，则

【考点】等比数列的通项公式；基本不等式． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】设正项等比数列的公式为q，已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出am与an，代入已知等式利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

【解答】解：∵正项等比数列{an}中，设公比为q，a7=a6+2a5， ∴

=

+

，即q﹣q﹣2=0，

2

=4a1，求出m+n=6，将所求式子变形后，

解得：q=2或q=﹣1（舍去）， ∴am=a12∵

m﹣1

，an=a12

n﹣1

，

=4a1，

2m+n﹣2

2

∴aman=a12=16a1，即m+n﹣2=4， ∴m+n=6，

列举（m，n）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1） 即有+=2，，2，

，5．

当m=2，n=4，+的最小值为．

故选A．

【点评】此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键．

12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x﹣2x）+f（2y﹣y）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，

2

2

的取值范

围为（ ）

A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12] 【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；压轴题；数形结合．

【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可． 【解答】 解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称， 所以f（x）为 奇函数．

∴f（x﹣2x）≤f（﹣2y+y）≤0，

22

∴x﹣2x≥﹣2y+y， ∴

22

即，画出可行域如图，

可得故选D．

=x+2y∈[0，12]．

【点评】本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力．

二、填空题：请将答案填入答题纸填空题的相应答题上，每小题5分，共20分； 13．已知

⊥

，|

|=2，|

|=3，且

+2

与λ

﹣垂直，则实数λ的值为 ．

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由已知得（λ的值． 【解答】解：∵

⊥

，|

|=2，|

|=3，且

+2

与λ

﹣

垂直，

+2

）（•λ

﹣

）=

=4λ﹣18=0，由此能求出实数

∴（=

+2）（λ•﹣）

=4λ﹣18=0， 解得

．

故答案为：．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．

14．已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an= 2【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】计算题．

n﹣1

．

【分析】根据log2（Sn+1）=n，可得Sn的公式，进而代入an=Sn﹣Sn﹣1中即可求得an

nn

【解答】解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2，∴Sn=2﹣1，

nn﹣1nn﹣1n﹣1

∴a1=S1=2﹣1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=（2﹣1）﹣（2﹣1）=2﹣2=2；

n﹣1

∴an=2． n﹣1

2；

【点评】本题主要考查数列的求和问题．属基础题．

15．已知函数f（x）=2sin（ωx+若△PAB的面积等于π，则ω=

）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B， ．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数f（x）=2sin（ωx+

）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，

B，可得P点坐标为（0，1），|AB|=，再由△PAB的面积等于π，可得：=π，求出周期后，可得ω的值． 【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+由x=0时，2sin

）（ω＞0）的图象与y轴交与P，

=1可得：P点坐标为（0，1），

）（ω＞0）的图象与A，B，

函数f（x）=2sin（ωx+故|AB|=，

∵△PAB的面积等于π， ∴=π， ∴T=4π=

，

∵ω＞0， ∴ω=， 故答案为：

【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中根据已知求出函数的周期，是解答的关键．

16．△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，则a的取值范围是

．

【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA，解得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，根据余弦定理可得a=

，结合C的范围，可求得：a∈（

，2），又

由余弦定理可得cosB=＞0，结合a，即可解得a的范围．

【解答】解：∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A， ∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A， ∴2sinBcosA=4sinAcosA， 当cosA=0时，解得A=

（舍去），

当cosA≠0时，sinB=2sinA，

由正弦定理可得：b=2a，

由c=2，根据余弦定理可得：4=a+4a﹣4acosC，解得：a=∵C∈（0，

），cosC∈（0，1），5﹣4cosC∈（1，5），解得：a∈（

2

2

2

， ，2）．

余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB，可得cosB=

222

＞0，

可得c综上a∈故答案为：

，c=2，可得a

． ．

．

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质，熟

练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．

三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）

17．（12分）（2015秋•兴庆区校级月考）已知等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=an•an+1，证明：【考点】不等式的证明．

【专题】综合题；推理和证明．

．

【分析】（1）利用方程组思想求数列{an}的通项公式； （2）令bn=an•an+1，利用裂项法证明不等式． 【解答】解：（1）等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10， 联立解得：d=1，∴an=n+1；

（2）证明：由（1）知，bn=（n+1）（n+2） ∴

【点评】本题考查等差数列的通项，考查裂项法求数列的和，属于中档题．

18．（12分）（2013春•富平县期末）设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点

．

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合． 【考点】平面向量的综合题． 【专题】计算题．

【分析】（Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得，f（x）=（

）=2可求m

=m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x，由f

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=由已知∴2m=2即m=1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当此时2x+

=

=﹣1时，f（x）的最小值为

即{x|

，k∈Z}

，结合正弦函数的性质可求

=m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x

，

【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的应用，属于基础试题

19．（12分）（2011•盐城模拟）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=（Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC边的长．

，cos∠ADC=﹣．

【考点】解三角形．

【专题】综合题．

【分析】（Ⅰ）根据cosB=，cos∠ADC=﹣，利用平方关系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin

（∠ADC﹣∠B），即可求得结论；

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求BD=2，故DC=2，在△ADC中，由余弦定理，可求AC的长． 【解答】解：（Ⅰ）因为cosB=又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得

，所以sinB=

…（4分） ×

﹣（﹣）×

=

…（7分）

…（2分）

，解得BD=2…（10分）

故DC=2，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC=9+4﹣2×3×2×

2

=16，所以AC=4…（14分）

【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．

20．（12分）（2015秋•兴庆区校级月考）已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=2bn+2an（n∈N+） （1）证明：数列

是等差数列；

（2）若对任意n∈N+，不等式（n+2）bn+1≥λbn总成立，求实数λ的最大值． 【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（1）由已知列式求出等比数列的首项和公比，求出其通项公式，再由bn+1=2bn+2an即可得到数列是等差数列；

（2）把数列{an}，{bn}的通项公式代入（n+2）bn+1≥λbn，分离参数λ，然后利用基本不等式求得实数λ的最大值．

【解答】（1）证明：∵a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{an}是递增数列， ∴a3=4，a4=8，则q=2，a1=1， ∴

，

又∵bn+1=2bn+2an，∴，

∴数列是等差数列；

（2）解：由（1）可得，

则，

由（n+2）bn+1≥λbn总成立，得

最小总成立，

∵n∈N+，∴n=1或2时，最小值为12，

∴λ最大值为12．

【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．

21．（12分）（2013•桐乡市校级模拟）已知函数f（x）=ln（e+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数 （1）求k的值

（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围 （3）讨论关于x的方程

的根的个数．

x

2

【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想． 【分析】（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，即可求k的值；

（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（﹣1）=﹣1﹣sin1；然后把g（x）≤t+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1

22≤t+λt+1（λ≤﹣1），整理得（t+1）λ+t+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可． （3）先把方程转化为

=x﹣2ex+m，令F（x）=

2

2

（x＞0），G（x）=x﹣2ex+m （x＞0），再利用导函

2

数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论． 【解答】解：（1）因为函数f（x）=ln（e+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，

所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，

则ln（e+k）=0解得k=0，

显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；

（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，

因为g（x） 在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0 在[﹣1，1]上恒成立， ∴λ≤﹣1，g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，

0

x

只需﹣λ﹣sin1≤t+λt+1（λ≤﹣1），

2

∴（t+1）λ+t+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，

2

令h（λ）=（t+1）λ+t+sin1+1（λ≤﹣1） 则

（3）由（1）得f（x）=x ∴方程转化为

=x﹣2ex+m，令F（x）=

2

2

解得t≤﹣1

（x＞0），G（x）=x﹣2ex+m （x＞0），（8分）

2

∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e

当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；

当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分） 当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）

而G（x）=（x﹣e）+m﹣e （x＞0）

∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分） 当x=e时，G（x）min=m﹣e（12分） ∴当m﹣当m﹣当m﹣

，即m＞，即m=，即m＜

时，方程无解； 时，方程有一个根；

时，方程有两个根；（14分）

2

2

2

【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用，是对知识的综合考查，属于难题．

在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（2018•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1：x+y=4，圆C2：（x﹣2）+y=4．

（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 【专题】计算题；压轴题．

2222

【分析】（I）利用，以及x+y=ρ，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点

222

极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；

（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出

，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．

【解答】解：（I）由可知圆圆解

得：ρ=2，

，x+y=ρ，

，的极坐标方程为ρ=2，

，即

， ），（2，

）．

），（1，

）．

的极坐标方程为ρ=4cosθ，

222

故圆C1，C2的交点坐标（2，（II）解法一：由

得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，

）

得ρcosθ=1

故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为（解法二）将x=1代入从而

于

是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．

23．（2018秋•兴庆区校级月考）已知a，b，c∈R，求证：

2

（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）≥16abc （2）

+

+

+

≥3．

【考点】不等式的证明．

【专题】证明题；推理和证明．

【分析】（1）将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）转化为（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）=（a+1）（•b+1）（•a+c）（•b+c），再结合条件a，b，c是不全相等的正数，应用基本不等式即可． （2）利用基本不等式，即可证明结论．

【解答】证明：（1）∵ab+a+b+1=（a+1）（b+1）•，ab+ac+bc+c=（a+c）（b+c）•，

2

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）=（a+1）（b+1）•（a+c）•（b+c）•， ∵a，b，c是正数，

∴a+1≥2＞0，b+1≥2＞0，a+c≥2＞0，b+c≥2＞0， 又a，b，c是不全相等的正数， ∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2×2×2×2=16abc，

2

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）＞16abc．

+

（2）∵a，b，c∈R， ∴++≥3，

≥3，

2

2

2

∴+++∴

+

≥6， +

≥3．

2

【点评】本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，（1）关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c）转化为（a+1）（b+1）•（a+c）•（b+c）•，属于中档题．