幂的知识点

幂的运算（基础）

【要点梳理】

要点一、同底数幂的乘法性质

amanamn(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

mnpmnp即aaaa（m,n,p都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即amnaman（m,n都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则

(am)namn(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

mnpmnp((a))a要点诠释：（1）公式的推广： (a0，m,n,p均为正整数)

（2）逆用公式： 题.

amnamannm，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问

要点三、积的乘方法则

(ab)nanbn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

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nnnn(abc)abc要点诠释：（1）公式的推广： (n为正整数).

（2）逆用公式：

10anbnab10n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算

1110221.2更简便.如：2

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

1、计算：

234345264442aaaa2aa； （1）；（2）

nn1m12n1m1(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)（3）．

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【答案与解析】

解：（1）原式423449．

（2）原式2a34a522a612a7a72a7a7．

（3）原式(xy)nn1m1(xy)2n1m1(xy)2nm(xy)2nm2(xy)2nm．

【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（3）小题中把xy看成一个整体．

举一反三：

【变式】计算：

5323(3)(3)（1）；

p2p2p1x(x)(x)（2）（p为正整数）；

2n32(2)(2)（n为正整数）（3）．

【答案】

532532532103(3)333333解：（1）原式．

p2p2p1p2p2p15p1xx(x)xx（2）原式．

52n52n162n22(2)22（3）原式．

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2、已知2x220，求2x的值．

【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x22x22

【答案与解析】

x2x22220． 220解：由得

x∴ 25．

【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆

mnmnaaa运用：．

类型二、幂的乘方法则

3、计算：

m2343m2(a)[(m)](a)． （1）；（2）；（3）

【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a，（2）题中的底数是m，（3）题中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3m)62m．

【答案与解析】

m22m(a解：（1）)a．

341212[(m)](m)m（2）．

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3m2(a)a2(3m)a62m． （3）

【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.

16mx55，求5的值．

4、已知x2m【答案与解析】

16m11x5(x2m)35535205，∴ 555．

2m解：∵ xmnmnnma(a)(a)．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．

举一反三：

ab3a2b【变式1】已知x2，x3．求x的值．

【答案】

3a2b3axx解：

x2b(xa)3(xb)223328972．

mn3m2n【变式2】已知84，85，求8的值．

【答案】

3mm332nn228(8)4648(8)525. 解：因为,

3m2n3m2n88864251600. 所以

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类型三、积的乘方法则

5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：

22333326(ab)ab(4ab)64ab(3x)9x（1）； （2）； （3）．

【答案与解析】

222(ab)ab． 解：（1）错，这是积的乘方，应为：

（2）对．

326(3x)9x（3）错，系数应为9，应为：．

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．

（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

1、计算：

35(b2)(b2)(b2)； (1)

23(x2y)(2yx)(2) ．

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【答案与解析】

353519(b2)(b2)(b2)(b2)(b2)解：（1）．

23235(x2y)(2yx)(x2y)[(x2y)](x2y)（2）．

【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．

（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：

(a)nan(n为偶数),n(ba)n(n为偶数)an(n为奇数),(ab) (ba)n(n为奇数)．

类型二、幂的乘方法则

2、计算：

（1）[(ab)2]3； （2）(y3)2(y2)32yy5；

（3）(x2m2)4(xm1)2； （4）

(x3)2(x3)4． 【答案与解析】

解：（1）[(ab)2]3(ab)23(ab)6．

（2）

(y3)2(y2)32yy5y6y62y62y62y60． （3）(x2m2)4(xm1)2x4(2m2)x2(m1)x8m8x2m2x10m6．

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323461218(x)(x)xxx（4）．

【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．

mn3m2n848583、已知，，求的值．

mn3m2nm3n23m2n8,888(8)(8)，再8【思路点拨】由于已知的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把变成

代入计算.

【答案与解析】

3mm332nn228(8)4648(8)525. 解：因为,

所以83m2n83m82n64251600.

mn8,8【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把当成一个整体问题就会迎

刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

举一反三：

3，则abab2m3m623m【变式】已知a3m2,b2mbm＝ ．

【答案】－5；

a3mb2ma3mb2m2322提示：原式

∵2322∴ 原式＝2323＝－5.

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类型三、积的乘方法则

4、计算：

2424333(2xy)[a(ab)] （1） （2）

【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.

【答案与解析】

24442448(2xy)(1)2x(y)16xy． 解：（1）

24333231293636274227[a(ab)](a)(ab)a(a)bab． （2）

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

举一反三：

【变式】下列等式正确的个数是( )．

①

2x2y36x6y93 ②

a2ma6m3 ③

3a63a93

5107103510④57350.5 ⑤10021010.521002

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】A；

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提示：只有⑤正确；

2x2y38x6y93；

a2ma6m3；

3a627a1835107103510；57123.51013

同底数幂的除法

【要点梳理】

要点一、同底数幂的除法法则

mnmn同底数幂相除，底数不变，指数相减，即aaa（a≠0，m、n都是正整数，并且mn）

要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.

（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.

（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.

（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.

要点二、零指数幂

0任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a1（a≠0）

要点诠释：底数a不能为0，0无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单

0项式.

要点三、负整数指数幂

1an（a≠0，n是正整数）.

任何不等于零的数的n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即

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an

引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.

amanamn（m、n为整数，a0）；

abmambm（m为整数，a0，b0）

amamnn（m、n为整数，a0）.

12xyn要点诠释：aa0是a的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如

n2xy1（xy0），

ab51ab（ab0）.

5要点四、科学记数法的一般形式

na10（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中n是正整数，1|a|10

na10（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中n是正整数，1|a|10.

用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.

【典型例题】

类型一、同底数幂的除法

1、计算：

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1135283(a)a(2xy)(2xy)（1）xx；（2）；（3）；（4）33．

53【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．

【答案与解析】

83835xxxx解：（1）．

3312(a)aaa（2）．

5252333(2xy)(2xy)(2xy)(2xy)8xy． （3）

111（4）33353531139．

2【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．

2、计算下列各题：

5125(xy)(xy)(5a2b)(2b5a)（1） （2）

64623324(310)(310)[(x2y)][(2yx)] （3） （4）

【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶

1212(5a2b)(2b5a)次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如xy的指数为1，而不是0．

【答案与解析】

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5514(xy)(xy)(xy)(xy)解：（1）．

1251257(5a2b)(2b5a)(2b5a)(2b5a)(2b5a)（2）

64626426212(310)(310)(310)(310)910（3）．

33249898[(x2y)][(2yx)](x2y)(x2y)(x2y)x2y． （4）

【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．

mnm12n3、已知32，34，求9的值．

【答案与解析】

解：

9m12n9m1(32)m132m232m3232m32(3m)2322n22n4n9(3)334n(3n)4(3n)4．

22329mn4464． 当32，34时，原式

【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3，3的式子，再代入求值．本题是把除式

mn写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．

举一反三：

mm【变式】已知2552，求m的值．

【答案】

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5mmm1m1m1m1255252521解：由得，即，2m11，

5∵ 底数2不等于0和1，

5∴ 2m152，即m10，m1．

0类型二、负整数次幂的运算

223131ab(ab)(ab)34、计算：（1）；（2）．

2【答案与解析】

11922434293解：（1）；

22313123ab(ab)(ab)ab（2）

a3b3aba0bb．

【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．

举一反三：

1221232(3.14)02【变式】计算：．

54【答案】

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4解： 251221232(3.14)0

12524121232111132162821 1321816117532

1n5、 已知3m127，216，则mn的值＝________．

【答案与解析】

1解： ∵

3m2713333，∴ m3．

1n∵ 22n，1624，∴ 2n24，n4．

n∴

m(3)411(3)481．

11n【总结升华】先将27变形为底数为3的幂，22n，1624，然后确定m、举一反三：

13232【变式】计算：（1）(a1b2c3)2；（2）

bc2bc3； 【答案】

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n的值，最后代值求mn．

b4abc26ac． 解：（1）原式

246（2）原式

bc8bc8bc23698128b812c．

类型三、科学记数法

6、用科学记数法表示下列各数：

（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067

【答案与解析】

解：（1）0.00001＝10；

5（2）0.000000203＝2.0310；

741.3510（3）-0.000135＝；

（4）0.00067＝6.710.

4【总结升华】注意在a10中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边

n的零）．

【巩固练习】

一.选择题

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1. c3c5的值是( )．

A. c8

B. c15

C. c15

D.c8

2．anan2的值是( )．

A. an3

B. ann2

C. a2n2 D. a8

3．下列计算正确的是( )．

A.x2x2x4 B.x3xx4x7

C. a4a4a16 D.aa2a3

4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( A. 100×102＝103 B. 1000×1010＝1030

C. 100×103＝105 D. 100×1000＝104

5．下列计算正确的是( )．

A.

xy3xy3

B.5xy225x2y4

2C.

3x29x4 D.

2xy238x3y6

6．若2ambn38a9b15成立，则( )．

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).

A. m＝6，n＝12 B. m＝3，n＝12

C. m＝3，n＝5 D. m＝6，n＝5

二.填空题

7. 若2m6,2n5，则2mn＝____________．

8. 若a3xaa19，则x＝_______．

9. 已知a3n5，那么a6n______．

10．若a3ama8，则m＝______；若33x181，则x＝______．

223n3311. ______；  ______； 325＝______． 12.若n 是正整数，且a2n10，则

(a3n)28(a2)2n＝__________. 三.解答题

13. 判断下列计算的正误．

（1）x3x3x6 ( ) （2） (y3)2y5 ( （3）(2ab2)22a2b4 （ ） （4） (xy2)2xy4 ( 14.（1） x(x3)8(x4)3； （2）(13a2b3)3(a3b2)2；

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)

)

b2a2ab（3）10(0.310)(0.410)； （4）；

3535（5）

5a63a3a323；

n3n33515.（1）若xxx，求n的值．

（2）若

anbmba9b153，求m、n的值．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

cc【解析】35c35cc88.

2. 【答案】C；

nn2nn2a2n2. 【解析】aaa3. 【答案】D；

222348448【解析】xx2x；xxxx；aaa.

4. 【答案】C；

【解析】100×10＝10；1000×10＝10；100×1000＝10.

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5. 【答案】D；

xyxy【解析】；

3335xy225x2y42；

3x29x42.

6. 【答案】C；

【解析】

2ambn8a3mb3n8a9b15,3m9,3n153，解得m＝3，n＝5.

二.填空题

7. 【答案】30；

【解析】2mn2m2n6530.

8. 【答案】6；

3x119aa,3x119,x6. 【解析】

9. 【答案】25；

a6na3n52252【解析】.

10.【答案】5；1；

3m3m83x14aaaa,3m8,m53813,3x14,x1. 【解析】；

11.【答案】64；n；3；

910 第20页 共22页

12.【答案】200；

(a3n)28(a2)2na2n8a2n100080020032【解析】.

三.解答题

13.【解析】

解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×

14.【解析】

3843241237解：（1）x(x)(x)xxxx；

11(a2b3)3(a3b2)2a6b9a6b427（2）3；

3535810(0.310)(0.410)0.30.41010101.210（3）；

b2a2ab（4）352ab2ab2ab358；

5a3a（5）6233a325a1227a9a32a12.

15.【解析】

n3n335解：（1）∵xxx

4n335∴ xx

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∴4n＋3＝35

∴n＝8

（2）m＝4，n＝3

解：∵anbmb3a9b15

∴ a3nb3mb3a3nb3m3a9b15∴3n＝9且3m＋3＝15

∴n＝3且m＝4

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