最短距离问题

盐城鼎好教育文化辅导初二数学周末培优课课（一）

最短距离问题

◎知识聚焦

所谓最短距离，就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及的定理： 1、两点之间，线段最短； 2、垂线段最短。 常用思考的方式： 1、把立体转化为平面； 2、通过轴对称寻找对称点。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

◎例题导航

【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

【例2】 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

【例3】 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

【例4】如图，圆柱形玻璃杯，高为7cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜜的最短距离为cm．

【例5】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x24（12-x）29的最小值． 【例6】如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值． 【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．

（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

盐城鼎好教育文化辅导初二数学周末培优课课（一）

【培优训练】

1．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ） A、2 B、4 C、8 D.8

2.在等腰Rt△ABC中，CA=CB，E是BC上一点，且BE=2，P是斜边AB上一动点，则PC+PE的长度之和的最小值是（ ） A、

10 B、

11 C、12 D、

13

3．（2010•台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）

A．8 B．8.8

C. 9.8 D．10

4.在直角坐标系中，已知两点A（-8，3）、B（-4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边

形ABCD的周长最小时，比值m/n为（ ）

A、-2/3 B、-2 C、-3/2 D、0

5.如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为_____________．

6.（2005•河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为_____________

6．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为_________

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是___________

9．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为________

10．如图，在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．

盐城鼎好教育文化辅导初二数学周末培优课课（一）

11．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，0），P是直线y=x上的点，当PA+PB最小时，试求P点的坐标

12.求函数f（x）=

2x21（4-x）4的最小值（提升：运用数形结合的思想）