维普资讯 http://www.cqvip.com ２２ ２００４年 第３期 数学通报 用单位分数的一个性质解题 钟建林 （福建厦¨市海沧中学 ３６１０２６） 人们通常把分子是１的分数称为单位分数， 古埃及人对单位分数情有独衷，做了大量的研究， 掌握了单位分数的许多性质，因此单位分数也被 誉为埃及分数．将单位分数的某些性质应用到数 学解题中往往能起到事半功倍的效果．本文仅讨 论单位分数以下性质： 单位分数性质Ｐ：若Ａ是质数且Ａ≠１，则将 表示成两个单位分数的和有且仅有 ： ＋ 和 ＝ ＋ ｌ＿ 两种表示法． 证明 不妨设 ＝ ＋一１（其中 ，Ｙ都是 正整数），整理得Ａ（ ＋Ｙ）：ｘｙ①． 因为Ａ为质数且Ａ Ｉ ｘｙ，所以有Ａ Ｉ 或Ａ Ｉ Ｙ． 因为①式关于 ，Ｙ轮换对称，故仅需讨论Ａ Ｉ ． 若Ａ Ｉ ，则存在正整数 ｌ满足 ＝Ａｘ ，代人 ①式后，化简得Ａ ｌ＝（ 一１）’，②，此时有 Ａ Ｉ（ ｌ一１）或Ａ Ｉ Ｙ． （１）若Ａ Ｉ（ ｌ一１），则存在正整数 ２使 ｌ一１＝Ａｘ２，即 ｌ＝Ａｘ２＋１，代入②整理得 ２（Ｙ—Ａ）＝１．因为Ｙ—Ａ是整数， ２是正整数， 所以 ２：ｌ，ｙ—Ａ：ｌ，ｆ ） （２）若Ａ Ｉ Ｙ，则存在正整数Ｙｌ满足Ｙ＝Ａｙｌ， 代入②整理得Ｙ－＝ ＝ｌ＋ ．因为 一 是正整数，所以１＜Ｙｌ≤２，正整数Ｙｌ＝２．此时 ｌ：２，｛ ＝ ＡＡ ．．证毕． 推论当Ａ为质数目Ａ≠１时，方程｛： ＋一１ 有且仅有 ‘ 】＋ 和 两爪正整 ． 例ｌ 求方程 ＝ ＋专的正整数解． 解１９９７为质数，由单位分数性质Ｐ的推论知， 方程 ＝ ＋１ｙ有且仅有 三１９ ９７ ９９８和 组正整数解． 例２求方程 ＋专＋｛：Ｖ ５的所有整数解．ｏ 解法一 一般解法：不妨设 ≤ｙ≤ｚ，则有 ＋专＋｛≤ ，即言≤ ， ≤ ．正整数 的 可能取值为１，２，３． （１）当 ＝１时，显然无正整数解 （２）当 ＝２时，有 １１１１Ｙ＋ ＝ ， ＋ ≤ 专，吉≤专，２≤ｙ≤６，正整数ｙ的可能取值为２， ３，４，５，６，经检验知Ｙ＝４时，ｚ＝１２，Ｙ＝６时，ｚ＝ ６，符合题意． （３）当 ：３时，有 ＋ ： ， ＋ ≤ ， １ ● ≤专，３≤ｙ≤４，ｉＥ￣ｙ的可能取值为３，４．经 检验得Ｙ＝３时，ｚ＝６，Ｙ＝４时，ｚ＝４，符合题意． 所以当 ≤Ｙ≤ｚ时，原方程有且仅有４组正 整数解： ｛ ｛ ｛ 三 ｛ 三 根据轮换对称式的特点即可写出方程的另 １１组正整数解． 解法二 运用单位分数的性质Ｐ： 易证将丢分解成两个单位分数的和有且仅 有詈＝吉＋ １一种分解．由单位分数的性质Ｐ知 吉有且仅有 ＝ １＋ １， １＝ １＋｛两种分解， ５－ 有且仅有｛＝ １＋ １， １＝ １＋ 两种分解， 所以将言分解成３个单位分数的和有且仅有詈＝ ＋ ＋ ， ＋ ＋ ， ＋ ＋ 吉，吾＝吉＋ ＋ １四种分解；根据轮换对称式