导数优化问题应用

上部分的形状是测棱长为3m的正六棱锥。当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？

2、某单位用木料制作的框架，框架的下部分是邻边长分别为x，y（单位m）的矩形，上部分是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，那么x，y分别为多少时用料最省？

3、有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴上，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形ABCD的面积为S。

（1）求面积S以x为自变量的函数表达式，并写出起定义域； （2）求面积S的最大值

4、某工厂建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价每平方米80元，（池壁厚度不计，且池无盖）

（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域

（2）污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理的总造价最低？

并求最低总造价？

 解：设001为Xm，则1＜x＜4，由题设可得正六棱锥的底面边长为

3(x1)=82xx，所以底面正六边形的面积为

2226×43×（

82xx2）=323（8+2x-x），所以帐

222篷的体积V(x)=S底+1/3 S底(x-1) V(x)= 323(8+2x-x)（1（x-1）+1）3=23(16+12x-x)

3V(x)= 23(12-3x), 令V(x)=0，得x=2，

/2/或x=-2（舍去）

当1＜x＜2时，V(x)＞0，当2＜x＜4时V(x)＜0.

所以当x=2时V(x)最大，即001=2m，帐篷体积最大，最大值为163m.

//2

2、由题，xy+x·x=8，所以y=所以框架用料为L=2x+2y+2(

12128x（0＜x＜4x42)，

32x)=(

22+2)x+

16, xL/=+2-

3216x2=0,得x=8-42,x=42-8(舍去)，

当0＜x＜8-42时，L/＜0；当8-42＜x＜42时，L/＞0， 所以当x=8-42，y= 时，L取得最大值。

3、（1）由题，以AB的中点0为坐标原点建立平面直角坐标系，则点C的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，则满足方程

x2y221（y＞0），得2r4r12y=2r2x2(0＜x＜r),

所以S=（2x+2r）2r2x2=2(x+r)r2x2, 定义域﹛x 0＜x＜r﹜

(2)设S2=f(x)=4(x+r)2(r2x2),0＜x＜r,

则f/(x)=8（x+r）2(r-2x),令f/(x)=0,得x=r或x=-r（舍去）因为当0＜x＜r时, f/(x)＞0,当r＜x＜r时, f/(x)＜0, 所以f(r)是f(x)的极大值，亦的最大值， 因此，当

4、（1）设长为y=(2x+2·

200x1x=212121212r时，S也取得最大值，最大值为

133r2f(r)=22

x1620025x，则宽为，根据题意得200解得x16，

162xx400×x25920025248+16000=800x++16000(x16)

x2259200(2)y/=800-2=0,得x=18（x=-18舍去）

x)×400+

当0＜x＜18时，函数为减函数，当18＜x＜+∞时，函数为增函

数，因此当且仅当长为16米，宽为米12.5时，总造价最低为45000元