证明：考虑微分情形。取v 0 。那么
( p)vdw. v Dx( p)v 0 v Dx
w
以及
TD x( p, w) S ( p, w) D x( p, w)x( p, w) ， p w
其中 S ( p, w) 是个人需求函数 x(,) 在( p, w) 点的斯勒茨基替代矩阵。所以，
w w ( p, w))(v x( p, w))dw . v Dx( p)v 0 v S ( p, w)vdw 0 (v Dw x
上式右侧第一项是负的（除非v 和 p 成比例）。对于右侧第二项，注意到
( p, w))2 d (v x( p, w))(v x( p, w) 2(v Dw x
dw .
因此，
w
( p, w))2 1 w d (v x( p, w))(v x( p, w))dw 0 (v Dw x2 0dw
1 2
( p, w)) 0 ， dw (v x2
( p, 0) 0 。注意到当v 和 p 成比例时上式的符号是负的。■ 其中我们用到了 x我们在前面已经知道，非补偿性需求法则（ULD）性质在不同消费者群体之间是可加 的。所以，为了应用命题 4.C.4，我们所需的条件不是要求偏好相同，而是对于每个偏好关系来说，以该偏好为条件的财富分布在某个含有财富水平为零 0 的区间上是均匀的（事实上， 要求密度函数为非增的即已足够；参见习题 4.C.7）。
命题 4.C.4 的一个启示是，总需求的性质取决于偏好和财富是如何分布的。所以，我们可以提出一个一般性问题：什么样的偏好和财富恩不条件能导致总需求满足弱公理？
（十一）
我们在 2.F 节说过，市场需求函数 x( p, w) 满足弱公理，如果对于所有( p, w) ，我们都有：从需求函数 x( p, w) 推导出的斯勒茨基矩阵 S ( p, w) 对于不与 p 成比例的所有dp 0 ， 都满足dp S ( p, w)dp 0 。我们现在考察这个性质何时对于总需求函数也可能成立。
总需求函数的斯勒茨基方程为
T
S ( p, w) D p x( p, w) D w x( p, w)x( p, w) .
（4.C.4）
或，由于 x( p, w)
（十一）
x( p,iw) ，
i i
随后的几个段落，我们参考了 Jerison（1982）和 Freixas and Mas-Colell（1987）。
132 ）
TiS ( p, w) D D x ( p, w)x( p, w) p x( p, w) i i i w i
（4.C.5）
接下来，令 Si ( p, wi ) 表示个人斯勒茨基矩阵。将个人斯勒茨基方程相加可得
S ( p, w) D x ( p, w) D x ( p, w)x ( p, w)
i i
i
i
p i
i
i
wi i
i
i
i
T
（4.C.6）
由于 Dp x( p, w)
Dx( p,iw) ，将（4.C.6）代入（4.C.5）可得
i
p i
T
S ( p, w)
1（4.C.7）
S ( p, w) D x ( p, w) D x( p, w) xi ( p,iw) x( p, w)
i i w i i i i wi i i
注意，由于财富效应，总需求的斯勒茨基矩阵不等于个人斯勒茨基矩阵之和。它们的 差
C( p, w) i Si ( p,iw) S ( p, w)
T 1（4.C.8） D x ( p, w) D x( p, w) x( p,w) x( p, w)iwi i i i w i i
i
是财富效应向量 Dw x( p,i w) 和按比例调整后的消费向量(1 / i )xi ( p,i w) 之间的协方差 i i 矩阵。前者衡量的是边际货币是如何花费在不同商品之上的；后者衡量的是平均货币是如何花
费在不同商品之上的。[例如， (1 / i w)xli ( p,i w) 是消费者i 花费在商品l 的钱数占他总钱数的比例，即每元钱中有多少用于购买商品l ]。每个“观测值”的权重为i 。另外也要 注意，正如我们期待的，还有
i Dwxi ( p,iw) Dwx( p, w) 0
i
i
和
i (1 / i )xi ( p,iw) x( p, w) 0 。
i
在个人斯勒茨基矩阵 Si (,) 情形下， 对于不与 p 成比例的 dp ， 我们总有
dp Si ( p,i w)dp 0 。因此，若想让总需求的斯勒茨基矩阵拥有我们想要的性质，那么 C( p, w) 必须为正半定的（充分条件）。粗略地说，这要求：在平均意义上，不同消费者在
一种商品上的（每元钱中用于购买该商品）消费量与该商品的财富效应之间是正相关的。 ．．．
图 4.C.2 画出了 L=2 的情形，我们假设财富在消费者之间是均匀分布的；(a)图画出的是正相关的情形：在某种商品上的消费量高于平均水平的消费者，在他的最后一单位财富中， 花费在该商品上的份额也高于平均水平。图 4.C.2(b)画出的是负相关的关系
（十二） （十三）
（十二）（十三）
。
请验证例 4.C.1 中的财富扩张路径必定类似图 4.C.2（b）。
从先验的角度上说，我们无法确定哪种形式更有可能。由于财富为零时的需求为零，对于某个消费者来说，他花费在两种商品上的一元钱的份额必定类似于平均货币的份额。但是如果财富水平不接近于零， 边际货币就不再是这样的情形。甚至可能出现下列情形：由于初始饱和，边际货币表现的消费倾向可能与平均货币表现的消费倾向正好相反。Hildenbrand(1994)提供了这方面的实证研究。
133 ）
图 4.C.2：当所有消费者的财富相同时，消费者在某种商品上的每单位财富支出份额及其财富效应的关系。（a）正相关；（b）负相关。
从前面的推理可以看出， 总需求在下面两种情形下满足弱公理：（ i ） 所有的 Dwi ；（ii）所有的(1 / i )xi ( p,iw) 都相等（即经过 xi ( p,i w) 都相等（即财富效应都相等）按比例调整的消费都相等）。在这两种情形下，我们都有C( p, w) 0 ，以及从而对于不与 p 成比例的任何dp 0 来说， dp S ( p, w)dp 0 。
第（i）种情形具有重要含义。具体地说，如果每个消费者的间接效用函数都是高曼类型即 vi ( p, wi ) ai ( p) b( p)w ，其中所有消费者的财富系数b( p) 都相等，那么（正如我 们在 4.B 节看到的），所有消费者的财富效应都相同，因此总需求满足弱公理。我们从 4.B节知道，如果要求总需求对财富再分配具有不变性，那么我们就能得到这样的间接效用函数。因此，要求总需求对于既定的财富分配满足弱公理，比要求总需求对财富再分配保持不变性
（详见 4.B 节）更为宽松一些。特别地，如果第二个性质成立，那么第一个性质也成立，但总需求（对于既定的财富分配）可能满足弱公理，即使总需求可能对于财富再分配不能保持不变性（即，那些个人偏好可能是位似的但不相同）。
我们已花费了大量时间考察弱公理（WA），也许你会问：“强公理（SA）的情形是什么样的？”我们没有重点考察强公理，原因有三。
首先，弱公理是个鲁棒（robust）性质，而强公理（回忆一下，强公理要求斯勒茨基矩阵是对称的）不是稳健性质；从先验的角度来看，现实经济满足强公理的可能性几乎为零。例如，如果我们从一组具有相同偏好和相同财富的消费者开始，那么总需求显然满足强公理。然而，如果现在我们使每个消费者的偏好发生微小和独立的变动（独立是指这些变动彼此不相关），斯勒茨基矩阵的负半定性可能仍能得以保留，但该矩阵的对称性（从而强公理）几乎不可能得以保留。
其次，对于很多一般均衡的实证结论（详见第 IV 部分，尤其是第 15-17 章）来说，我
134
）
们对它们否适用于总需求理论感兴趣，结果表明，这类问题取决于弱公理而不是强公理。
第三，可能你最初会认为若想使用总需求指标（例如总消费者剩余）作为福利衡量指标，那么只须要求存在能解释总需求行为的偏好关系（从强公理可以得到这一点）就足够了。事实是这样的吗？我们在 4.D 节将会看到，答案为否。我们需要的条件不止这一个。
4.D 总需求与代表性消费者的存在性
我们已经知道，我们可以使用个人需求函数和个人福利衡量方法（详见 3.I 节）来衡量 个人福利。因此，在本节我们关注能否用总需求函数和类似个人的福利衡量方法来衡量总福利。更具体地说， 我们何时能将能够需求函数看成由一个虚构的代．表．性．的．消．费．者． （representative consumer）产生的，从而使该消费者的偏好可用作总社会福利的衡量指标？
我们从分配规则(w1 ( p, w),..., wI ( p, w)) 开始分析，对于每个总财富水平 w ，该规则将相应的财富分配给各个人。我们假设：对于所有( p, w) 有有常见的市场需求函数形式 x( p, w)
w( p, w) w ，而且每个
i
i
wi (,) 都是连续的和一次齐次的。由 4.B 节和 4.C 节的讨论可知，在这种情形下，总需求具
x( p, w) 是连续的、零 x( p, w( p, w)) 。特别地，
i i
i
次齐次的、并且满足瓦尔拉斯法则。需要记住总需求函数 x( p, w) 取决于财富分配规则（除了 4.B 节讨论的特殊情形之外）。
当说到“某个代表性的消费者”，我们想表达什么意思？常见的意思有两种，我们需要加以区分。第一种是实证或说行为意义上的。
定义 4.D.1：存在一个实证的代表性的消费者（a positive representative consumer），如果存在 ．．．．．．．．．．
L 上的偏好关系≿ ，使得总需求函数 x( p, w) 正好是由该偏好关系产生的瓦尔拉斯需求函数。也就是说，当 x x( p, w) 和 p x w 时，有 x( p, w) x 。
因此，我们可以将实证的代表性的消费者想象为下列这样的虚构个人：当他面对社会预算集{x L : p x w} 时，他的效用最大化问题将产生整个经济体的总需求函数。
如果我们希望能做到象 3.I 节处理个人需求函数一样处理总需求函数，那么必须要求实证的代表性的消费者的存在性。
（十四）
然而，虽然对于我们探寻的总需求性质来说，这个条件
是必要条件，但它不是充分条件。我们还需要能够做到对这个虚构的个人需求函数赋予福利含义。因此，我们还需要定义规范的代表性的消费者（normative representative consumer）。然．．．．．．．．．．而，为了给出这个定义，我们必须明确社会福利．．．．（social welfare）这个术语的意思。为了
（十四）
注意，如果存在实证的代表性的消费者，那么总需求满足我们在 4.C 节探寻的实证性质。事实上，在这种情形下，总需求不仅满足弱公理，也满足强公理。因此，我们在本节探寻的总量性质比 4.C 节相应的性质强。
135 ）
完成这个任务，我们引入社会福利函数的概念。社会福利函数为任何一组个人效用提供了加 ．．．．．．总的（社会）效用指标。
定义 4.D.2：[柏格森-萨缪尔森（Bergson-Samuelson）]社会福利函数是一个函数W : I ，该．．．．．．
函数对经济体中的 I 个消费者的每个可能效用向量(u ,..., u ) I I 指定了一个效用值。 1
社会福利函数W (u1,..., uI ) 背后的思想是：它准确描述了为了产生可能的社会结果排序，社会应该如何比较这些个人效用。（这个问题称为社会偏好排序问题，我们在本节不讨论这个排序如何产生的。留待第 21 章和第 22 章详细讨论。）我们也假设社会福利函数是递增的、凹的函数。另外，在有需要时，我们还假设它是可微的。
现在我们假设存在一个仁慈的中央权威，对于任何给定的价格 p 和总财富水平 w ，他都能实施财富再分配来实现社会福利最大化。也就是说，对于任何( p, w) ，财富分配
(w1 ( p, w),..., wI ( p, w)) 是下列最大化问题的解
w1 ,...,wI
Max W (v1 ( p, w1 ),..., vI ( p, wI ))
s.t. i1 wi w
I
（4.D.1）
其中vi ( p, w) 是消费者i 的间接效用函数。
（十五）（十六）
问题（4.D.1）的最大值定义了一个社会
间 接 效 用 函 数 v( p, w) 。 命 题 4.D.1 表 明 这 个 间 接 效 用 函 数 为 总 需 求 函 数
x( p, w) i xi ( p, wi ( p, w)) 提供了一个实证的代表性的消费者。
命题 4.D.1：假设对于每个价格水平 p 和总财富水平 w ，财富分配(w1 ( p, w),..., wI ( p, w)) 是问 题 （ 4.D.1 ） 的 解 。 那 么 问 题 （ 4.D.1 ） 的 最 优 值 函 数 是 总 需 求 函 数
x( p, w) i xi ( p, wi ( p, w)) 的实证的代表性的消费者的一个间接效用函数。
证明：在习题 4.D.2 中，你要证明v( p, w) 的确具有间接效用函数的性质。剩下的证明是使用罗伊恒等式从 v( p, w) 中推导出瓦尔拉斯需求函数，将其记为 xR ( p, w) ；然后我们证明
xR ( p, w) 等于 x( p, w) 。
下面我们从问题（4.D.1）的一阶条件入手分析。对于既定的( p, w) 值，问题（4.D.1） 的一阶条件（忽略边界解）要求对于某个 0 ，有
（十五）
在本节我们假设直接效用函数ui (,) 是凹的。这个较弱的假设（如果我们已假设了拟凹性）保证了
我们考虑的所有最优化问题的一阶条件，也是全局最优点的充分条件。这样， vi ( p,) 就是 wi 的凹函数。
（十六）
在习题 4.D.1 中，你要证明问题（4.D.1）等价于下列最大化问题：在这个问题中，社会效用最大化不是通过财富分配而是商品束分配来实现的，这个最大化问题的约束条件是价格为 p 时的总价值不大于 w 。 事实上，商品束的最优再分配问题，也可以表述为财富再分配问题。这在本质上就是福利经济学的第二基本定理的一种形式，我们将在第 16 章讨论这个问题。
136 ）
W v1 W vI
v1 w1 vI wI
（4.D.2）
（为了书写方便，我们省略了导数的取值点。）条件（4.D.2）是说，在一个社会最优财富分配状态上，额外一单位财富不论由谁得到，它的社会效用都是相同的。
根据罗伊恒等式，我们有 xR ( p, w) 1 / (v( p, w) / w) pv( p, w) 。由于v( p, w) 是问题（4.D.1）的最优值函数，我们有v / w 。（参见数学附录中的 M.K 节。）另外，对于任何商品l ，由链式法则和（4.D.2）——或，等价地，由包络定理——可得
w W vi W vi v
i ，
pl i vi pl i vi pl i pl
其中第二个等式成立的原因在于：
i
i
l
这意味着 w( p, w) w 对于所有 ( p, w) 成立，
i
i
(w/ p ) 0 。因此，以矩阵符号表示，我们有
v( p, w) (W / v) v( p, w( p, w)).
pi
i
pi
i
最后，使用罗伊恒等式和（4.D.2）的一阶条件，可得
1
x ( p, w) v ( p, w ( p, w)) R i i v / w p i
i i 1 i v pvi ( p, wi ( p, w))
/ w i i
i xi ( p, wi ( p, w)) x( p, w)
这正是我们想要的。■
有了命题 4.D.1 之后，现在我们可以定义规范的代表性的消费者了。
定义 4.D.3：总需求 x( p, w)
x( p, w( p, w)) 的实证的代表性的消费者≿ ，是相对于社
i i
i
会财富函数W () 的规范的代表性的消费者（normative representative consumer），如果对于每．．．．．．．．．．个( p, w) ，财富分配(w1 ( p, w),..., wI ( p, w)) 是问题（4.D.1）的解，因此，问题（4.D.1）的最优值函数是≿ 的间接效用函数。
如果存在规范的代表性的消费者，这个消费者的偏好就具有福利含义，从而我们可以通过 3.I 节描述的方法，用总需求 x( p, w) 进行福利判断。然而，在做此事时，需要牢牢记住： 我们始终遵循一个给定的财富分配规则[该规则是给定社会福利函数（4.D.1）的解]，而且我们始终将“财富水平”理解成“财富的最优分配水平”。进一步的讨论，可参见 Samuelson （1956）和 Chipman and Moore（1979）。
137 ）
例 4.D.1：假设所有消费者的偏好都是位似的，而且都可以用一次齐次的效用函数表示。现在考虑社会福利函数W (u1,..., uI ) i i ln ui ，其中：i 0 ； i i 1 。那么，[问题
（4.D.1）的]最优财富分配函数，是与价格无关的规则（详见 4.C 节）：wi ( p, w) iw 。（参见习题 4.D.6。）因此，在位似的情形下，总需求 x( p, w) 社会福利函数产生的规范的代表性的消费者的需求。■
x( p,iw) 可以看成是由这个
i i
例 4.D.2：假设所有消费者的偏好具有高曼类型的间接效用函数vi ( p, wi ) i ( p) b( p)wi 。注意b( p) 不取决于i 。另外，我们知道这种函数包含一种特例：所有消费者关于某种共同的计价物商品的偏好是拟线性的。从 4.B 节，我们还知道总需求 x( p, w) 和财富分配无关七） 。
现在考虑效utilitarian ） 的福利函数 ．用．主．义．（
（十
u。于是， 任．何．财富分配规则 i i
(w1 ( p, w),..., wI ( p, w)) 是最优化问题（4.D.1）的解，这个问题产生的间接效用函数为v( p, w) i ai ( p) b( p)w 。（习题 4.D.7 让你证明这些事实。）因此，我们可得出的结论
是，当间接效用函数是高曼类型[财富系数b( p) 相同]，而且社会福利函数是效用主义时， 那么总需求总可以看成是由规范的代表性的消费者产生的。
当消费者拥有高曼类型的间接效用函数[且b( p) 对于所有消费者都相同]时，规范的代 表性的消费者理论允许进一步的延伸，这一点很重要。一般来说，代表性消费者的偏好取决于
社会福利函数的形式。但在这种情形下不是这样的。现在我们证明，如果消费者的间接效 ．．．．．．．．．．．．用函数具有高曼形式[且b( p) 对于所有消费者都相同]，那么代表性的消费者的偏好与我们 使用哪种形式的社会福利函数无关
（ 十八）
。事实上，我们将证明：对于任何社会福利函数
W (u1,..., uI ) 来说，v( p, w) i ai ( p) b( p)w 都可以作为规范的代表性的消费者的间接
效用函数。
为了验证这个结论，考虑一个特定的社会福利函数W () ，并把问题（4.D.1）相对于W () 的最优值函数记为v*( p, w) 。我们必须证明v() 和v*() 诱导出的排序是相同的，也就是说， 对 于 任 何 两 个 价 格 财 富 组 合 ( p, w) 和 ( p, w) 且 v( p, w) v( p, w) ， 必 有 v*( p, w) v*( p, w) 。下面我们来证明这个结论。令个人财富向量(w ,..., w ) 和(w,..., w)
1
I
1
I
分别为( p, w) 和( p, w) 情形下，问题（4.D.1）相对于W () 的解。记ui i ( p) b( p)wi ， u ( p) b( p)w ， u (u ,..., u ) 和 u (u,..., u ) 。 于 是 v*( p, w) W (u) 和
i
i
i
1
I
1
I
v*( p, w) W (u) 。 另 外 ， v( p, w) 地 i ( p) b( p)w i ， 以 及 类 似 i a i u v( p, w) i ui 。因此， v( p, w) v( p, w) 意味着i ui i ui 。接下来，我们证明：
（十九）W (u) (u u) 0 （其中W () 为凹）蕴含着我们想要的结果，即W (u) W (u) 。
（十七） （十八）
和往常一样，我们忽略消费的非负约束。
然而，当然，财富最优分配规则通常取决于社会福利函数，只有在效用主义的社会福利函数情形下， 财富无论怎样分配才都是无关的。 （十九）
的确，W () 为凹意味着W (u) W (u) (u u) W (u) ；参考数学附录中的 M.C 节。
138 ）
根据（4.D.2）式，在最优点上，我们有(W / vi )(vi / wi ) 对于所有i 成立。但在我们这种情形下， 对于所有 i ， 都有 vi / wi b( p) 。所以， 对于任何 i 和 j ， 我们都有
W / vi W / vj 0 。因此， i ui i ui 意味着W (u) (u u) 0 。
上述结论的更容易理解方法是注意到下列事实。当偏好是高曼类型的[且所有消费者的
b( p) 相同]，则对于效用主义的社会福利函数i ui 来说， ( p, w) 在社会意义上比( p, w)好，当且仅当与( p, w) 相比，( p, w) 能通过下列潜在补偿检验（potential compensation test）: ．．．．．．．．．．
,..., w对于 w 的任何分配(w1,..., wI ) ，存在 w的一个分配(w1) 使得vi ( p, wi) vi ( p, wi ) 对I
于所有i 成立。这个事实不难验证。假设
(i ai ( p) b( p)w) (i ai ( p) b( p)w) c 0 。
那么由a ( p) b( p)w a ( p) b( p)w c / I 隐性定义的 w就是我们想要的。
i
i
i
i
i
（二十）
一旦我
们知道与( p, w) 相比， ( p, w) 能通过潜在补偿检验，接下来只要根据最优化问题（4.D.1） 的定义就可知道：对于任何规范的代表性的消费者来说， ( p, w) 比( p, w) 好；也就是说， 对于任何我们想使用的社会福利函数来说， ( p, w) 比( p, w) 好（参见习题 4.D.8）。
我们将在 10.F 节和 22.C 节继续讨论上面给出的两个性质：代表性消费者的偏好独立于社会福利函数；潜在补偿检验标准。暂时地，我们只强调一点，即这两个性质不是规范的代表性消费者的一般性质。通过选择能解出问题（4.D.1）的财富分配规则，对于任何一组个 人效用和任何社会福利函数，我们都能生成规范的代表性的消费者。如果我们想让这两个性质成立，那么个人偏好必须是高曼类型的[且所有消费者的b( p) 相同]。■
需要强调实证的代表性消费者和规范的代表性消费者在概念上的区别，这种区别很重要。即使总需求能由实证的代表性消费者产生，这个代表性消费者的偏好也未必有规范性的内容。甚至可能出现下列情形：存在实证的代表性消费者，但不存在能导出规范的代表性消费者的社会福利函数 。在下面楷体字段落，我们继续讨论这个问题[也可以参见 Dow and Werlang（1988）和Jerison（1994）]。
如果给定一个财富分配规则 (w1 ( p, w),..., wI ( p, w)) ， 假设存在总需求函数
x( p, w) i xi ( p, wi ( p, w)) 的实证的代表性消费者，并且该消费者的效用函数为u(x) 。
理论上，使用 3.H 节介绍的积分技巧，我们应该能根据 x( p, w) 的信息确定代表性消费者的 偏好。现在固定任何( p, w) ，令 x x( p, w) 。相对于任何总消费向量 x ，我们能够定义代表性消费者的至少一样好集合：
L
B {x L : u(x) u(x )} .
接下来，令 wi wi ( p, w) 和 xi xi ( p, w) ，考虑集合
x 对于所有i 成立} L . x : x ≿ A {x i i i i i
（二十）
我们继续忽略财富的非负约束。
139
）
用文字来说，A 是下面这样的总消费向量，在这个向量中存在商品某个分配，使得每个消费者的状况至少和他们在(x1,..., xI ) 情形下一样好。这个集合的边界有时称为西托夫斯基轮廓．．．．．．． （Scitovsky contour）。注意，集合 A 和集合 B 都由价格向量 p 在 x 点支撑的（参考图 4.D.1）。
图 4.D.1：实证的代表性消费者的至少一样好集合与单个消费者至少一样好集合之和的比较。在（a）图中，实证的代表性消费者为规范的代表性消费者；在（b）中，实证的代表性消费者不可能是规范的代表性消费者。
如果给定的财富分配来自与（4.D.1）类似的社会福利最优化问题的解（即，如果实证的代表性消费者实际上也是规范的代表性消费者），那么它就对集合 A 和集合B 的相关性施加了重要限制：集合 A 的每个元素必定也是集合 B 的元素。这是因为规范的代表性消费者的社会福利函数是每个消费者效用水平的增函数（从而对于任何一个总消费束，只要存在一种分配方式，使得每个消费者的效用水平至少与最优分配 x 对应的效用水平一样高，那么这个总消费束的社会效用必定高于 x 的社会效用；参见习题 4.D.4）。也就是说，规范的代表性消费者存在的一个必要条件是 A B 。图 4.D.1（a）画出了一个满足该必要条件的情形。
然而，在某些情形下，拥有效用函数u(x) 的实证的代表性消费者，可能不能满足这个 条件，如图 4.D.1（b）所示。为了进一步理解这一点，请参考习题 4.D.9，这个题目让你证明： A B 意味着
S( p, w) S ( p, w) 是正半定的，其中 S ( p, w) 和 S( p, w) 分别为总
i i
i
i
i
需求的斯勒茨基矩阵和个人需求的斯勒茨基矩阵。粗略地说，这表明总需求的替代效应的绝对值必定大于个人替代效应之和（在图形上，这意味着在 x 点，B 的边界比 A 的边界更平坦）。这个结论能让我们构造出下面这样的简单例子：总需求能够被偏好理性化，但不存在规范的代表性的消费者。
例如，假设财富分配规则是 wi ( p, w) ai w 的形式，再假设 S ( p, w) 恰好对于所有
140
）
( p, w) 都是对称的（如果 L=2，对称性自动得以满足）。那么，由可积理论（参见 3.H 节） 可知，潜在偏好存在的充分条件是，对于所有( p, w) ，我们有 dp S ( p, w)dp 0 对于所有与 p 不成比例的dp 0 成立（我们将这一性质简称为 n.d.性质）。另一方面，正如我们在前面说到的，规范的代表性消费者存在的必要条件是C( p, w) i Si ( p, wi ) S ( p, w) 是正
半定的[这个矩阵正是 4.C 节讨论的矩阵；参见（4.C.8）式]。因此，如果 S ( p, w) 对于所有
( p, w) 都具有 n.d.性质，但C( p, w) 不是正半定的[即，财富效应使得 S ( p, w) 的绝对值小于
S( p, w) ]，那么就存在实证的代表性消费者，但他对于任何社会福利函数都不是规范的代
i
i
表性消费者。（习题 4.D.10 提供了一个例证。）在这种性质的任何例子中，我们都可以变动总消费让它通过潜在的补偿检验（通过适当分配，每个消费者的福利都变得更大了），但在能够使得总需求理性化的效用函数下，这种变动变得更差。[在图 4.D.1（b）中，这就是从
x 变动到 x 。]
这明确说明了：即使存在能够解释行为的偏好，我们也未必能赋予它任何福利含义。要想赋予福利含义，必要的条件是这些偏好的存在要有合适的理由。
附录A：加总带来的正则化效应
本附录旨在说明尽管加总（aggregation）不利于保存个人需求的一些好的性质，但它也有正则化效应（regularizing effects），这是个有益的效应。所谓正则化，是指平均（每个消费者）需求作为价格的函数，通常比总和的单个构成部分更连续或更平滑。
我们已经知道，如果偏好是严格凸的，个人需求函数是连续的，从而总需求也是连续的。但是即使个人需求不连续，平均需求也可能是（接近）连续的，只要个人偏好是分散性的．．．． （dispersion）。
例 4.AA.1：假设有两种商品，商品 1 和 2。将商品 2 作为计价物商品，消费者对该商品的偏好是拟线性的。商品 1 只能以整数数量得到，消费者最多只希望消费一单位商品 1。因此， 将零单位商品 1 的效用标准化为零之后，消费者i 的偏好可以完全以数字v1i 表示。对于消费者i 来说， v1i 是用计价物商品表示的持有一单位商品 1 的效用。这样，消费者i 对商品 1 的 需求可由下列对应描述：
x1i ( p1 ) 1
{0,1} 0
若 p1 v1i ， 若 p1 v1i ， 若 p1 v1i ，
这个对应的图形请看 4.AA.1（a）。因此，当价格越过 p1 v1i 时，个人需求出现了突然的不连续的跳跃，从 1 变为 0。
141 ）
图 4.AA.1：加总带来的正则化效应。（a）个人需求；（b） v1 的分布为G() 时的总需求。
现在我们假设有很多消费者。事实上，考虑消费者是连续统的这种极限情形。在这种情形下，如果消费者的v1 值没有过度集中在任何特定的数值，或者更准确地说， v1 的统计分布函数G(v1 ) 是连续的而不是离散的，我们就可以说个人偏好是分散性的。于是，令 x1 ( p1 ) 表示消费者们对商品 1 的平均需求，我们有 x1 ( p1 ) “ v1 p1 的消费者的密度” 1 G( p1 ) 。因此，如图 4.AA.1（b）所示，即使没有一个人的个人需求对应是连续的，总需求 x1 () 仍是一个相当好的连续函数。注意，如果消费者的数量是有限的，分布函数G() 不大可能是连 续的函数；但是如果消费者的数量非常多，它可能接近连续。■
在 17.1 节，我们将再次考察加总带来的正则化效应。我们将证明，一般来说（即不需要作出分散性的要求）， 众多个人需求对应的加总将产生一个（ 接近于） 凸．值．的． （convex-valued）平均需求对应。
参考文献
Chipman, J.S., and J. Moore. (1979). On social welfare functions and the aggregation of preferences. Journal of Economic Theory 21: 111-39.
Deaton, A., and J. Muellbauer. (1980). Economics and Consumer Behavior. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Dow, J., and S. Werlang. (1988). The consistency of welfare judgments with a representative consumer. Journal of Economic Theory 44: 265-80.
Freixas, X., and A. Mas-Colell (1987). Engel curves leading to the weak axiom in the aggregate. Econometrica 21: 63-80.
142 ）
Hildenbrand, W. (1983). On the “law of demand”. Econometrica 51:997-1020.
Hildenbrand, W. (1994). Market Demand: Theory and Empirical Evidence. Princeton: Princeton University Press.
Jerison, M.(1982). The representative consumer and the weak axiom when the distribution of income is fixed. Working paper, Department of Economics, SUNY Albany.
Jerison, M.(1984). Optimal income distribution rules and representative consumers. Review of Economic studies 61: 739-71.
Jorgenson, D. (1990). Aggregate consumer behavior and the measurement of social welfare. Econometirca 58: 1007-1030.
Lau, L.(1982). A note on the fundamental theorem of exact aggregation. Economic letter 9: 119-26.
Mas-Colell, A. (1991). On the uniqueness of equilibrium once again. Chap. 12 in Equilibrium Theory and Applications, edited by W. Barnett, B. Cornet, C. d’Aspremont, J. Gabszewicz, A. Mas-Colell. Cambridge, U.K. : Cambridge University Press.
Milleron, J.C. (1974). Unicite et stabilite de l’equiblbre en economie de distribution. Seminaire d’Econometrie Roy-Malinvaud, preprint.
Mitiushin, L.G., and W.M. Polterovich (1978). Criteria for monotonicity of demand functions [in Russian]. Ekonomika I Mathematichskie Metody 14: 122-28.
Samuelson, P. (1956). Social indifference curves. Quarterly Journal of Economics 70: 1-22.
习题
4.B.1B 证明命题 4.B.1 中的充分性部分。你还要证明如果偏好能用高曼类型的间接效用函数 （ 其中， 所有消费者的财富系数 b( p) 都是相同的） 表示， 那么该偏好能导出形如
ei ( p, ui ) c( p)ui di ( p) 的支出函数。
4.B. 2B 假设有 I 个消费者和 L 种商品。消费者仅在财富水平 w 和偏好参数 s 上存在着不同，
i
i
我们称后者为家庭规模（ family size ）。因此， 可将消费者 i 的间接效用函数表示为 v( p, wi , si ) ，相应的瓦尔拉斯需求函数为 x( p, wi , si ) 。
（a） 固定(s1,..., sI ) 。证明如果对于任何(w1,..., wI ) 总需求都可以写成仅关于 p 和总财
富 w
wi
i （或，等价地，平均财富）的函数，而且如果每个消费者的偏好关系
≿i 是位
似的，那么所有这些偏好必定相同[从而 x( p, wi , si ) 必定独立于 si ]。
（b） 写出下列命题的充分条件：总需求仅取决于总财富 w 和总家庭规模
s（或，等
i i
143 ）
价地，平均财富和平均家庭规模）。
4.C. 1C 证明如果 x ( p, w ) 满足非补偿性需求法则（ULD）性质，那么 Dx ( p, w ) 是负半定
i
i
i
i
的[即对于所有dp 都有dp Dxi ( p, wi )dp 0 ]。你还要证明，如果 Dp xi ( p, wi ) 对于所有 p 都是负定的，那么 xi ( p, wi ) 满足非补偿性需求法则（ULD）性质。（这部分的证明比第一部分 的证明更难一些）。
4.C.2A 使用（充分的）微分形式的非补偿性需求法则（ULD）和弱公理（WA），证明命题 4.C.1。（提示：参考 2.F 节楷体字部分，在那里我们知道弱公理的充分条件是当v 与 p 不成比例时v S ( p, w)v 0 。）
4.C.3A 画图说明下列情形：消费者在两种商品上的偏好关系产生的瓦尔拉斯需求函数，不满足非补偿性需求法则（ULD）性质。请解释之。
4.C. 4C 证明如果 2 上的偏好关系≿ 有 L 型无差异曲线，而且需求函数 x ( p, w ) 满足非补
i
i
i
偿性需求法则（ULD）性质，那么≿i 必定是位似的。[提示： L 型无差异曲线意味着
Si ( p, wi ) 0 对于所有( p, wi ) 成立；证明如果 Dw i xi ( p, wi ) (1 / wi )xi ( p, wi ) ，那么存在 v L 使得v D x ( p, w )v 0 。] p i i
4.C.5C 证明命题 4.C.3。对于这个效应，你可以固定 w 1 。最容易的证明方法是使用间接需求函数 gi (x) (1 / x ui (x))ui (x) [注意 x xi (gi (x),1) ]。对于单个消费者来说，非补偿性需求法则（ULD）是自对偶的（self-dual）；也就是说，它等价于(gi (x) gi ( y)) (x y) 0对于所有 x y 成立。这个性质又可从 Dgi (x) 对于所有 x 都是负半定的事实中推出。所以， 集中精力证明最后这个性质。更具体地说，令v 0 ，令q u (x) 和C D2u (x) 。你要 i i 证明v Dgi (x)v 0 。[提示：你可以首先假设q v q x ；然后对 gi (x) 微分，并使用等式
1 1 1
v Cv x Cv (v x) C(v x) x Cx 。]
2 2 4
4.C.6A 证明如果u (x ) 是一次齐次的，从而≿ 是位似的，那么对于所有 x 都有 (x ) 0 [其
i
i
i
i
i
i
中 i (xi ) 是我们在命题 4.C.3 中定义的那个商]。
4.C.7B 证明如果财富分布在[0, w] 上有非增的密度函数，那么命题 4.C.4 仍然成立。更现实的财富分布是单峰的（即密度函数先递增后递减，只有一个峰值）。证明存在使得命题 4.C.4 不成立的的单峰分布。
4.C.8A 推导总需求形式的斯勒茨基矩阵即（4.C.7）式。
4.C.9A 证明如果个人偏好≿i 是位似的，那么（4.C.8）式定义的矩阵C( p, w) 是正半定的。 4.C.10C 证明对于命题 4.C.4 中考察的希尔登布兰德（Hildenbrand）例子，C( p, w) 是正半定的，从而断言对于那个财富分配，总需求满足弱公理。[注意：你应该首先将例子中的C( p, w) 定义改写，使得它适合消费者是连续统的情形。]
4.C.11B 假设有两个消费者(消费者 1 和 2)在两种商品（商品 1 和 2）上的效用分别为
144 ）
u1 (x11, x21 ) x11 4 x21 和u2 (x12 , x22 ) 4 x12 x22 。这两个消费者的财富水平相同，具
体地说 w1 w2 w / 2 。
（a） 计算个人需求函数和总需求函数。
（b） 计算个人斯勒茨基矩阵 Si ( p, w / 2)（其中i 1, 2 ）和总斯勒茨基矩阵 S ( p, w) 。[提
示：注意在两种商品的情形下，每个矩阵只需要计算出其中一个元素即可确定整个矩阵。] 证明dp S ( p, w)dp 0 对于与 p 不成比例的所有 dp 成立，从而断言总需求满足弱公理。
（c） 计算价格 p1 p2 1 时的矩阵C( p, w)
S( p, w / 2) S ( p, w) 。证明当 w 16
i i
时 C( p, w) 是正半定的，当8 w 16 时 C( p, w) 是负半定的。事实上证明对于后者，
dp C( p, w)dp 0 对于某些dp 成立[因此C( p, w) 不是正半定的]。证明C( p, w) 的正半定
性不是弱公理得以满足的必要条件。
（d） 对于 w 16 和8 w 16 这两个情形，在(x1 , x2 ) 平面上画图描述当价格 p1 p2 1
时，每个消费者的消费束和他的财富扩张路径。将你画出的图形与图 4.C.2 进行比较。 4.C.12B 4.B 节和 4.C 节指出如果对于任何(w ,..., w ) ，总需求都可以写成仅关于价格和总财
1
I
富的函数即 x( p,
w) ， 那么总需求必定满足弱公理。 (w,..., w) 的分布函数
i
i
1I
F :[0, ) [0,1] 的定义为：对于任何 w ，F (w) (1 / I ) （满足 wi w 的消费者的数量）。现在假设对于任何(w1,..., wI ) ，总需求可以写成相应的总财富分布 F () 的函数。证明总需
求未必满足弱公理。[提示：举一个包含两种商品和两个消费者的例子即可，其中两个消费者的偏好是相同的，财富为 w1 1 ， w2 3 ，但不满足弱公理。请用图形方法构建这个例 子。你要画出四条无差异曲线而且保证它们不相交。]
4.C.13C 考虑两种商品和两个消费者的情形。令财富分配规则为 w ( p, w) wp / ( p p ) ，
1
1
1
2
w2 ( p, w) wp2 / ( p1 p2 ) 。举出下面这样的例子，在这个例子中，两个消费者都有位似的偏
好，然而总需求却不满足弱公理。画图说明即可。在这里，为何命题 4.C.1 不成立？ 4.D.1B 在这个问题中我们考虑规范的代表性的消费者。用v( p, w) 表示问题（4.D.1）的最优值，用v( p, w) 表示相应的最优财富分配规则。证明v( p, w) 也是下列问题的最优值：
( x1 ,..., xI )
Max W (u1 (x1 ),..., uI (xI ))
s.t. p (i xi ) w
。
证明[x1 ( p, w1 ( p, w)),..., xI ( p, wI ( p, w))] 是上述这个问题的解，这意味着：在给定价格 p 和 财富 w 的情形下，要想使得社会福利最大化，中央计划者不需要直接控制消费，它只要使得财富分配最优，而让消费者在给定价格 p 之下自主地作出消费决策即可。
4.D.2B 我们将问题（4.D.1）的最优值定义为v( p, w) ，请证明v( p, w) 具有间接效用函数的性质（即它是一次齐次的，它关于 w 递增关于 p 递减，而且它是拟凸的。） 4.D.3B 练习使用不等式和库恩-塔克条件对你有好处。请证明存在角点解情形下的命题
145
）
4.D.1。
4.D. 4C 假设有个规范的代表性消费者，而且财富分配规则为(w ( p, w),..., w ( p, w)) 。对于
L
任何 x ，定义
1 I
u(x) Max W (u1 (x1 ),..., uI (xI ))
( x1 ,...,xI )
s.t. i xi x.
（a） 在什么样的条件下u() 具有效用函数的性质；也就是说，写出使得u() 为单调、连
续、拟凹（甚至凹）的条件。
（b） 证明对于任何( p, w) ，最大化问题Max x u(x) s.t.
p x 1产生的瓦尔拉斯需求等
于总需求函数。
4.D. 5A 假设有 I 个消费者；消费者i 的效用函数为u (x ) ，需求为 x ( p, w ) 。消费者i 的财
i
i
i
i
富 wi 是根据财富分配规则 wi iw（其中i 0 ，
i 1 ）产生的。举出一个例子（即
i
一组效用函数），使得这个经济体不存在实证的代表性消费者。 4.D.6B 证明例 4.D.1 中的断言。
4.D.7B 证明例 4.D.2 第二段中的断言。
4.D.8A 我们称与( p, w) 相比， ( p, w) 通过了潜在补偿检验，如果对于 w 的任何分配
,..., wI ) 使得vi ( p, wi) vi ( p, wi ) 对于所有i 成立。证(w1,..., wI ) ，存在 w的一个分配(w1明如果与( p, w) 相比， ( p, w) 通过了潜在补偿检验，那么任何规范的代表性消费者必定偏好( p, w) 胜于( p, w) 。
4.D.9B 证明 A B （符号定义参见 4.D 节）意味着 S ( p, w) 示：考虑 g( p) e( p, u(x ))
i
i
i i
i
i
S ( p, w ) 是负半定的。[提
i i
i
i
i
i
i
xA
e( p, u(x)) ，其中e() 是u() 的支出函数，e() 是u() 的支出函数。注意，A {x: u(x) u(x)}意味着e( p, u(x)) 是问题Min p x 的最
i
i
i
i i
优值。从这一点，以及 A B ，你能得到 g( p) 0 对于所有 p 和 g( p) 0 成立。因此，
D2g( p) 是负半定的。然后证明 D2g( p) S ( p, w) S ( p, i w ) 。] i i
4.D.10A 证明在习题 4.C.11 考察的例子中，存在能理性化总需求的实证的代表性消费者，但不存在规范的代表性消费者。
4.D.11C 证明对于 L 2 的情形，命题 4.C.4 中的希尔登布兰德情形不存在实证的代表性消费者。[提示：证明斯勒茨基矩阵可能不是对称的。]
146 ）
5 生产
5.A 引言
在本章，我们开始考察经济的供给方面，研究消费者消费的商品和服务的生产过程。我们将经济的供给面视为由一些生产单位（企业）组成的。企业可以是公司或者法律认可的其它实体。但是企业必须也能代表个人或家庭的生产可能性。而且，所有企业组成的集合可能包含一些并未运行的潜在的生产单位。因此，我们的理论既能够包括已运行的生产过程，也包括潜在的但未运行的生产过程。
企业涉及很多问题：谁拥有它？谁管理它？它是如何管理的？它是如何组织的？它能做什么？在这些问题中，我们仅关注最后一个问题。我们选择这个问题的理由不是因为其它问题无趣（实际上，它们很有意思），而是因为我们想尽快达到一个能用于分析市场行为的最小概念性工具。因此，我们的生产可能性模型将是非常简化的：我们仅将企业视为能把投入转化为产出的一个“黑箱”。
在 5.B 节，我们开始引入企业的生产集概念，这是一种能代表生产活动或生产计划的集 ．．．．．．．．．．．合，这些生产活动在技术上对企业来说是可行的。然后，我们将列举和讨论生产集的一些常见的假设性质，并且引入诸如规模报酬、自由处置由进入的概念。 ．．．．．．．．（free disposal）和自．．．．在研究了企业的技术可能性（5.B 节）之后，我们在 5.C 节引入企业的目标，即利润最化。然后，我们描述和研究企业的利润最大化问题和两个相伴的概念，即企业的．．． 大．．利润函数给对应。后面这两个概念分别是企业利润最大化问题的最优值函数和最优向．．．． 及其供．．．．量。与企
业利润最大化目标相关的问题是成本最小化。我们也研究企业的成本最小化问题和两个相伴的概念：企业的成本函数及其条件要素需求对应。我们已经知道，在需求理论中，效用最大 ．．．．．．．．．．．．化和支出最小化问题是对偶的，类似地，利润最大化和成本最小化问题也是对偶的。
5.D 节分析一种特殊但又重要的情形，即只生产一种产品的技术。在这一节我们将详细分析与成本和生产关系相伴的几何图形。
5.E 节研究总供给理论。我们将证明总供给比总需求（详见第 4 章）更简单但更具有更强大的威力。
5.F 节涉及福利经济学。我们给出有效率的生产定义，研究它与利润最大化的关系。稍微．．．．．．附加一些条件，我们看到利润最大化生产计划是有效率的，而且当适当的凸性性质成立时， 上述命题的逆命题也为真：通过适当选择价格向量，可使得有效率的生产计划是利润最大化的。这样，我们就第一次接触了福利经济学基本定理这个重要思想。 ．．．．．．．．．
在 5.G 节，我们指出利润最大化不具有与偏好最大化相同的基础地位。严格来说，利润最大化可从偏好最大化推导出。我们将讨论这个问题和其它相关问题。
在附录 A，我们将更加详细地研究一种特殊而重要的生产技术类型：可用线性约束描述
147
）
的生产技术。这样的技术称为线性活动模型。 ．．．．．．
5.B 生产集
和前几章一样，我们考虑有 L 种商品的经济。一个生产向量（production vector），有时．．．．也称为投入-产出向量或净活动（netput）向量或生产计划（production plan），是一个向量 ．．．．．．．．．．．．．．．．
y ( y ,..., y ) L ，它描述的是一个生产过程中的 L 种商品的（净）产出。我们遵循惯例：
1
I
用正数表示产出，用负数表示投入。生产向量中的某些元素可能为零，这表示该生产过程没有使用到这些元素，它们既不是投入物也不是产出品。
例 5.B.1：假设 L 5 。 y (5, 2, 6, 3, 0) 表示：企业使用 5 单位商品 1 和 6 单位商品 3， 生产出 2 单位商品 2 和 3 单位商品 4。注意，在这个生产向量中，商品 5 既不是投入物也不是产出品。■
为了分析企业的行为，我们首先需要识别那些在技术上可行的生产向量。一个企业的所有可行生产向量组成的集合称为该企业的生产集（production set），记为 y L 。任何 ．．．
y Y 是可行的；任何 y Y 不可行。生产集是生产理论中的最基本的构造。
可行集面临的第一个也是最重要的限制是技术上的约束。然而，在任何特定的模型中， 法律限制或事前合同约定也可能是生产集的决定因素。
有时，用函数 F () 描述生产集Y 是方便的；函数 F () 称为转换函数．．．．（transformation function）。转换函数 F () 具有如下性质：Y {y L : F ( y) 0}；F ( y) 0 当且仅当 y 是
Y 的边界上的点。Y 的边界点组成的集合{y L : F ( y) 0} 称为转换边界（transformation ．．．．
frontier）。图 5.B.1 描述了两种商品下的情形。
图 5.B.1：生产集和转换边界。
如果转换函数 F () 是可微的，而且如果生产向量 y 满足 F ( y ) 0 ，那么对于任何商品
148 ）
l 和 k ，比值
F ( y ) / yl
MRT ( y ) lk F ( y ) / y k
称为商品的边际转换率（marginal rate of transformation, MRT）。边际转换率 ．．l 和．k 在．y 点．．．．．．．
（一）
衡量的是如果企业减少一边际单位的商品l 的（净）产量，能增加多少单位的商品k 的（净） 产量。事实上，从 F ( y ) 0 ，我们可得
F ( y ) F ( y ) 0 ， dy k y y dyl
k l
如果这两种商品分别为商品 1 和 2，那么转换边界在 y 点的斜率正好是MRT12 ( y ) ，如图 5.B.1 所示。
投入物和产出品是不同的情形下的生产技术
在很多实际生产过程中，产出品集合和投入物集合是不同的。在这种情形下，用不同
的符号表示投入集和产出集是方便的。例如，令q (q1,..., qM ) 0 表示企业的 M 种产品的产出水平； z (z1,..., zLM ) 0 表示企业的(L M ) 种投入物的数量，注意，按照惯例， 投入物l 的使用量 zl 现在用非负数衡量（在用符号表示时，我们将生产过程没有实际用到的 ．．．所有物品视为投入物）。
最常见的一种生产模型是只有一种产出品的模型。在这种情形下，生产技术可用生产函数 f (z) 衡量， f (z) 描述的是使用投入物 z (z1,..., zL1 ) 0 能生产的产出品q 的最大数量。例如，如果产出品为商品 L ，那么（假设产出可以零成本处置）生产函数 f () 给出了 生产集：
Y {(z1 ,..., zL1, q) : q f (z1,..., zl 1 ) 0 和(z1,..., zl 1 ) 0}.
维持产量不变，我们可以将商品边际技术替代率（marginal rate of technical ．．l 和．k 在．z 点．．．．．．．．substitution, MRTS）定义为
f (z ) / zl
.MRTSlk (z ) f (z ) / z k
MRTSlk (z ) 的值衡量的是当投入物l 减少一边际单位时，为了维持产量q f (z ) 不变，必
须额外增加投入物k 的使用数量。这个概念类似于消费者的边际替代率。在消费者理论中， 我们考察能使得效用不变的商品之间的权衡取舍，在此处，我们考察的是能使得产量不变的投
入物之间的权衡取舍。注意，MRTSlk 只是边际转换率 MRTlk 的特殊情形，具体地说，在产出品为一种但投入物为多种的情形下，我们将 MRTlk 称为 MRTSlk 。
（一）
和第 3 章一样，在计算这样的比值时，我们总是假设分母F ( y ) / yk 0 。
149
）
例 5.B.2：柯布-道格拉斯生产函数。在只有两种投入物的情形下，柯布道格拉斯的生产函数形式为 f (z , z ) z z ，其中 0 和 0 。在 z (z , z ) 点，这两种投入物之间的边 1 2 1 2 1 2 际技术替代率 MRTS12 (z) z2 / z1 。■
生产集的性质
现在我们介绍和讨论生产集的常见性质假设，这些假设比较多，每种假设的适宜性取决于具体的环境。（事实上，有些假设还是互斥的。）
（二）
（i）Y 是非空的。这个假设只是说企业有可行的生产计划。否则（即若为空集），那么．．．久没有必要研究企业的行为了。
（ii）Y 是闭的。集合Y 包含它的边界。因此，技术上可行的投入-产出向量序列的极限．．也是可行的，即： yn y 且 yn Y 意味着 y Y 。注意，这个条件主要为方法论上的（为 了简化分析）。
（iii） 没有免费的午餐。假设 y Y 且 y 0 ，因此向量 y 不使用任何投入物。这种．．．．．．．
（三）
情
形下如何满足没有免费的午餐这个假设？答案是如果这个生产向量也不能生产任何产出品。也就是说，如果 y Y 且 y 0 ，那么这个假设意味着 y 0 ；巧妇难为无米之炊。从图形上来说，没有免费的午餐意味着Y L {0}。对于 L 2 ，图 5.B.2（a）画出了一个违背没有免费的午餐假设性质的集合，而 5.B.2（b）中的集合满足这个性质。
图 5.B.2：没有免费的午餐性质。（a）图中的集合违背了没有免费午餐性质，而（b）图中的集合满足这个性质。
（二） （三）
这些性质的进一步讨论，可参见 Koopmans(1957)和 Debreu（1959）第 3 章。
然而，我们在习题 5.B.4 中将说明当这个假设不成立时，存在着一个经济学家感兴趣的重要情形。
150
）
（iv） 允许不生产（inaction）。这个性质是说0 Y ：允许完全停止营业。例如，注意
到0 Y ，可知图 5.B.2 中的两个集合都满足这个性质。这个假设的合理性取决于我们分析的生产可能时点。如果我们考虑的是企业可以获得某个技术可能性集合，但还没有实际运行， 那么不生产（不生产）当然是被允许的。但是如果企业已经做出了某个生产决策，或者企业 已与他人签订了需求某些投入物的合同，不生产是不被允许的。在这种情形下，我们说这些成本沉没了，或者说这些成本是沉没成本（sunk cost）。 ．．．．
图 5.B.3 给出了两个例子。当企业已经承诺使用至少 y1 单位商品 1，原因也许是因为它已签订了购买那么多商品 1 的合同，那么就出现了暂时的．．．（interim）生产可能性，如图5.B.3（a）中的生产集。也就是说，这个集合是个受限制的生产集（restricted production set）， ．．．．．．．它反映了企业从原来的生产集Y （比如图 5.B.2 中的生产集）中进行选择时，留给它的选择余地。图 5.B.3（b）给出了沉没成本的另外一个例子。对于一种产出品（商品 3）和两种投 入物（商品 1 和 2）的情形，此图描述了当第二种投入物（商品 2）的数量已被不可撤销地约定为 y2 0 时产生的受约束的生产集[与图 5.B.3（a）相反，在图 5.B.3（b）中不可能增 加第二种投入物的使用数量。]
图 5.B.3：两个有沉没成本的生产集。（a）图中画出的是企业已经做出最小支出承诺的情形； （b）图则是有一种投入物数量是固定不变的情形。
（v） 自由处置（free disposal）。自由处置是说，企业额外追加投入不会造成产量降低。
也就是说，如果 y Y 且 y y（ y y 意味着与 y 相比，y使用的投入物数量不会小于 y 的使用数量，但产量不会大于 y 的产量），那么 yY 。更简洁地，可将自由处置假设表示
L为， Y Y ，如图 5.B.4 所示。它的意思是说，企业能够以零成本处理或扔掉额外数
量的投入物（或产出品）。
151 ）
图 5.B.4：自由处置性质。
（vi） 不可逆性或称单向性（irreversibility）。假设 y Y 且 y 0 。那么不可逆性是说
y Y 。也就是说，如果企业用一定数量的投入物生产产出品，那么它不可能将产出品转
化为原来数量的投入物。例如，如果某种商品的属性包括得到它的时间，那么由先有投入后有产出可知不可逆性是合理的（因为时间不可逆）。
习题 5.B.1：画出两个生产集，其中一个满足不可逆性，另一个则违背了不可逆性。
（vii） 非增的规模报酬。如果对于任何 y Y ，我们有 y Y 对于任何实数 [0,1]
成立，那么我们说生产技术Y 具有规模报酬非增的性质。也就是说，任何可行的投入-产出向量可以等比例的缩小（参考图 5.B.5）。注意，规模报酬非增意味着允许不生产[性质（iv）]。
图 5.B.5：规模报酬非增性质。（a）图中的生产集满足规模报酬非增性质，而（b）图中的生产集不满足这个性质。
152 ）
（viii） 非减的规模报酬。如果对于任何 y Y ，我们有 y Y 对于任何实数 1
成立，那么我们说生产技术Y 具有规模报酬非减的性质。这个性质与规模报酬非增[性质（vii）] 正好相反。图 5.B.6（a）给出了规模报酬非减的典型例子。此图表示，除了为了进行生产需要投入固定的启动成本（setup cost）之外，产出品（商品 2）的数量和投入物（商品 1）数量成正比（线性关系）。规模报酬非减性质与这个固定成本是否沉没无关[图 5.B.6（b）中的固定成本沉没了；而图 5.B.6（a）中的固定成本没有沉没，此图中允许企业不生产[性质（iv）]]。
图 5.6：规模报酬非减性质。（a）中的固定成本没有沉没，此图中允许企业不生产[性质（iv）]；
（b） 中的固定成本沉没了。
（ix） 不变的规模报酬。这种性质结合了性质（vii）和性质（viii）。如果对于任何 y Y ，
我们有 y Y 对于任何实数 0 成立，那么我们说生产技术Y 具有规模报酬不变的性质。 从图形上说， Y 是个锥（cone）。（参见图 5.B.7）。
153 ）
图 5.B.7：满足规模报酬不变性质的技术Y 。
对于只有一种产出物的生产技术来说，生产集的性质很容易就可以转换成生产函数
f () 的性质。考虑习题 5.B.2 和例子 5.B.3。
习题 5.B.2：假设产出物只有一种，与该产品生产技术相伴的生产函数为 f () ，令Y 为这个技术的生产集。证明Y 是规模报酬不变的当且仅当 f () 是一次齐次的。
例 5.B.3：柯布-道格拉斯生产函数的规模报酬。在例 5.B.2 中，我们介绍了柯布-道格拉斯生 产函数 f (z , z ) z z ，由此可知 f (2z , 2z ) 2 z z 2 f (z , z ) 。因此，当
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
1 时，该生产函数是规模报酬不变的；当 1时，该生产函数是规模报酬递减的；当 1 时，该生产函数是规模报酬递增的。■
（x） 可加性（或自由进入）。假设 y Y 和 yY 。可加性．．．（additivity）性质要求
y yY 。更简洁地，可表示为Y Y Y 。这意味着，例如，对于任何正整数 k 都有ky Y 。图 5.B.8 中的Y 就是可加的。注意在这个例子中，产量只能以整数形式出现（原因也许在于不可分割性）。可加性条件的经济学解释是，如果 y 和 y都是可行的，那么你可以建立两个互相不干涉的工厂，这两个工厂分别执行生产计划 y 和 y 。这样做得到的结果就
是生产向量 y y 。
可加性也与进入的思想有关。如果一个企业生产 y Y ，另外一个企业进入后生产
yY ，那么结果就得到了向量 y y 。因此，如果进入不受限制或（文献中所谓的）允许
自由进入（free entry），那么总生产集（aggregate production set）(描述经济整体的可行生产 ．．．．．．．．计划的生产集)必定满足可加性。
154 ）
图 5.B.8：满足可加性的生产集。
（xi） 凸性。这是微观经济学的一个基本假设。它要求生产集Y 是凸的。也就是说，如
果 y, yY 和 [0,1]，那么 y (1 ) yY 。例如，图 5.B.5（a）中的Y 是凸的，但 5.B.5（b）中的Y 是非凸的。
凸性假设包含了生产可能性的两个思想。第一个是规模报酬非增。特别地，如果允许企业不生产（即，如果0 Y ），那么凸性意味着Y 的规模报酬是非增的。为了看清这一点，注意到对于任何 [0,1]，我们可以将 y 写为 y y (1 )0 。因此，如果 y Y 且
0 Y ，凸性意味着 y Y 。
其次，凸性体现了下列思想：“失衡的”(unbalanced)投入组合的生产能力不会大于平衡 的投入组合的生产能力（或，对称地，“失衡的”产出组合的成本不会小于平衡的产出组合的成本）。特别地，如果生产计划 y 和 y的产量相同但使用不同的投入组合，那么若某个生产向量的每种投入的水平是生产向量 y 和 y 的相应投入的平均数，那么该生产向量的产量不会小于 y 的产量，也不会小于 y的产量。
习题 5.B.3 说明了单一产品的生产技术情形下的这两个思想。
习题 5.B.3：证明对于单一产品的生产技术来说， Y 是凸的当且仅当生产函数 f (z) 是凹的。 （xii）Y 是个凸锥。这个性质是凸性（xi）和规模报酬不变性质（ix）的结合。正式地说，如果对于任何生产向量 y, yY 和任何常数 , 0 ，我们都有 y yY ，那么Y 是个凸锥（convex cone）。图 5.B.7 中的生产集就是个凸锥。
命题 5.B.1 给出了一个重要事实。
155 ）
命题 5.B.1：生产集Y 是可加的和规模报酬非增的，当且仅当它是个凸锥。
证明：凸锥的定义直接蕴涵着规模报酬非增性质和可加性。反过来，我们想证明，如果规模报酬非增性质和可加性成立，那么对于任何 y, yY 和任何常数 , 0 ，我们都有
y yY 。为证明此事，令 k 为满足 k Max{ , } 的任何整数。根据可加性可知， ky Y 和 kyY 。由于( / k ) 1 和 y ( / k )ky ，规模报酬非增条件意味着 y Y 。类似地， yY 。最后，再使用一次可加性，可知 y yY 。■
命题 5.B.1 为生产集的凸性假设的合理性提供了理由。粗略地说，我们可以说如果可行投入产出组合总可以等比例缩小，而且如果同时运行若干种技术而又能做到彼此不干扰，那么生产集就是凸的。（生产技术之间相互干扰的情形可参见第 11 章的附录 A 中的例子，在这样的情形下，凸性不成立。）
需要注意，生产集描述的是生产技术而不是资源约束。可以证明，如若所有投入物（包括企业家才能）都能得以明确界定，那么复制生产总是可行的。毕竟，我们的意思不是说产量实际变为原来的两倍，而是说：如果所有投入物（无论它多么神秘，也无论它是否能在市场上买到）都变为原来的两倍，那么在理论上产量能够变为原来的两倍。这种思想最初是由马歇尔（Marshall）提出，后来被麦肯锡[Mckenzie（1959）]进一步强调。按照这种观点， 规模报酬递减必定反映了某些潜在的神秘生产要素的稀缺性。正是出于这个原因，有些经济学家认为，在凸生产技术的诸多模型中，规模报酬不变的模型是最基本的。命题 5.B.2 进一步明确了这个思想。
命题 5.B.2：对于任何凸的生产集 Y L 且 0 Y ，存在规模报酬不变的凸的生产集
Y
■
L1
使得Y {y L : ( y, 1) Y } 。
L1
证明：只要令Y {y
: y ( y, 1) 对于某个 y Y 和 0 成立}。（参见图 5.B.9）
图 5.B.9：含有“企业家才能生产要素”的规模报酬不变的生产集。
包含在扩展的生产集中的那种额外投入要素（商品 L 1）可以称为“企业家才能”。（习
156 ）
题 5.C.12 为这种生产要素的合理性提供了理由；在竞争性的环境中，企业家才能这种生产要素的报酬恰好正是企业的。）在本质上，命题 5.B.2 的含义是说，在一个竞争的凸的环境下，研究规模报酬不变的生产技术就够了，因为这不会失去多少一般性。
5.C 利润最大化和成本最小化
在本节，我们开始研究企业的市场行为。与消费者需求的研究对应，我们假设存在着 L 种商品，这些商品的价格可用 p ( p1,..., pL ) 0 表示，这些价格独立于企业的生产计划（价 格接受者假设）。
在本章，我们始终假设企业的目标是利润最大化。（为什么企业的目标是利润最大化？ 我们将在 5.G 节讨论这一问题。）而且，我们总是假设企业的生产集Y 是非空的、闭的和满足自由处置性（参见 5.B 节）。
利润最大化问题
给定价格向量 p 0 和生产向量 y L ， 企业执行生产计划 y 产生的利润为
y y ，这个式子的意思 p y l 1 p y l l 。根据符号惯例（正的 l 表示产出而负的 l 表示投入）
就是总收入减去总成本。给定生产集Y 代表的生产技术约束，企业的利润最大化问题（profit ．．．．．．．maximization problem, PMP）的问题为
LMax p y
y
（PMP）
s.t. y Y.
若使用转换函数 F () 来描述Y ，我们可以将PMP 等价地表示为
Max p y
y
s.t. F ( y) 0.
给定生产集 Y ， 企业的与每个 p 相伴的利profit function ） ( p) 为 ．润．函．数．（
( p) Max{ p y : y Y}，它是 PMP 的解的值。相应的，我们将企业在 p 点的供给对应．．．．
（ supply correspondence ） y( p) 定 义 为 利 润 最 大 化 向 量 组 成 的 集 合
（四）y( p) {y Y : p y ( p)} 。图 5.C.1 描述了严格凸生产集Y 的 PMP 的供给。最优向量 y( p) 是生产集Y 中利润最高的点。所以，在图 5.C.1 中， y( p) 位于与生产集最东北方相
2
交的那条等利润线．．．．（iso-profit line）上（等利润线是指 中的直线，这条直线上所有点产
（四）
我们使用供给对应这个术语是与需求理论中的需求对应相匹配。然而，将 y( p) 视为企业对市场的净
供给（net supply）更准确一些。特别地，供给向量中的负的元素应该视为对生产要素的需求。
157 ）
生的利润是相等的），因此，这条等利润线与生产集Y 的边界交于 y( p) 点。
图 5.C.1：利润最大化问题。
一般来说， y( p) 可能是个集合而不是单个向量。当然也可能不存在利润最大化的生产向量。例如，价格体系可能使得利润不存在上界。在这种情形下，我们说 ( p)
（五）
。
为了举更具体的例子说明，假设 L 2 ，再假设企业是规模报酬不变的：使用每单位投入（商品 1）可以生产一单位产品（商品 2）。那么当 p2 p1 时， ( p) 0 。但是如果 p2 p1 ，那么企业的利润为( p2 p1 ) y2 ，其中 y2 是商品 2 的产量。显然，只要让 y2 任意大，则利润也任意大。因此，当 p2 p1 时 ( p) 。
习题 5.C.1：证明一般来说如果生产集 Y 是规模报酬非减的，那么要么 ( p) 0 要么
( p) 。
如果转换函数 F () 是可微的，那么可用一阶条件刻画 PMP 的解。如果 y* y( p) ，那么对于某个 0 ， y* 必定满足一阶条件
F ( y*)
pl 对于l 1,..., L 成立
yl
或，等价地，以矩阵符号表示，
p F ( y*) .
（5.C.1）
（五）
严格来说，为了允许 ( p) （以及不存在利润最大化生产向量的其他情形），应该将利润函数定
义为 ( p) Sup{ p y : y Y}。然而，为简单起见，我们仍然使用 ( p) Max{ p y : y Y}的定义，但允许 ( p) 。
158 ）
*
用文字来说，价格向量梯度成比例的。条 ．．．．p 和．．．F ( y) 是．．．．．（图 5.C.1 描述了这个事实）
件（5.C.1）也产生了下列比值等式： p / p MRT ( y*) 对于所有l, k 成立。对于 L 2 ，
l
k
lk
上式是说在利润最大化生产计划上，转换边界的斜率必定等于价格比率的相反数，如图 5.C.1 所示。如若不然，企业生产计划的微小变动都会导致利润增加。
当Y 对应着可微的生产函数 f (z) （该函数代表单一产出的生产技术），我们可以将企业的决策视为它在投入水平 z 上的选择决策。在这种特殊情形下，我们令实数 p 0 表示企业产品的价格， w 0 表示它的投入物的价格。化问题的解
z0
（六）
给定( p, w) ，投入物向量 z* 是下列最大
Max pf (z) w z
如果 z* 是最优的，那么对于l 1,..., L 1 ， z* 必定满足一阶条件
p
f (z*) zl
*
w l ，其中等式在 zl 0 时成立，
或以矩阵符号表示
l
（5.C.2）
l
pf (z*) w 和 p[f (z*) w] z* 0. （七）
因此，实际使用的每种投入物l（即 z* 0 ）的边际产品必定等于该投入物的价格 w / p（用 产品价格来衡量的价格）。同时还需要注意，对于满足(z*, z* ) 0 的任何两种投入物l 和k 来说，条件（5.C.2）意味着 MRTSlk wl / wk ；也就是说，两种投入物之间的边际技术替代率等于它们的价格之比（ wl / wk 衡量这两种投入物在经济上的替代率）。该比值条件只是 （5.C.1）这个更一般条件的特殊形式。
l
k
如果生产集Y 是凸的，那么（5.C.1）和（5.C.2）中的一阶条件，不仅是确定PMP 的解的必要条件，而且还是充分条件。
命题 5.C.1 给出的利润函数和供给对应的性质，可以通过使用与第 3 章消费者需求的类 似研究方法来证明。例如，注意到，在数学上，你应该从第 3 章讨论的对偶理论推导出利润函
数的概念。实际上， ( p) Y ( p) ，其中 Y ( p) Min{ p ( y) : y Y} 是集合Y 的 支撑函数。因此，命题 5.C.1 列举的重要性质可从 3.F 节讨论的支撑函数的一般性质推导出。
直到现在，我们一直使用符号 p 表示整体价格向量；在此处我们使用 p 表示产出品价格而用 w 表示投入物价格。这样的表示法比较标准。注意，除非我们明确将商品区分为投入物或产出品（如单一产品的
（六）
情形），否则我们将继续使用 p 表示整体价格向量 p ( p1,..., pL ) 。
（5.C.2）式考虑了边界条件，而（5.C.1）式不需要考虑，这是因为区分投入物和产出品的假设要求 z 0 ，而在（5.C.1）情形下，允许每种商品的净产出为正或负。但是，当使用一阶条件（5.C.2）时，我们仍通常
（七）
要求 z
*
0 。
159
）
命题 5.C.1：假设 () 是生产集Y 的利润函数， y() 是与该利润函数相伴的供给对应。假设
Y 是闭的而且满足自由处置性质。那么
（i） () 是一次齐次的。 （ii） () 是凸的。
（iii） 如果Y 是凸的，那么Y {y L : p y ( p) 对于所有 p 0 成立}。 （iv） y() 是零次齐次的。
（v）如果Y 是凸的，那么对于所有 p ， y( p) 是个凸集。而且，如果Y 是严格凸的，那么 y( p) 是单值的（在非空情形下）。
（vi）[霍特林引理（Hotelling lemma）]如果 y( p) 是个单点集，那么 () 在 p 点可微且
( p) y( p) 。
（vii）如果 y() 是个在 p 点可微的函数，那么 Dy( p) D2 ( p) 是个对称的和正半定的矩阵，且 Dy( p) p 0 。
性质（ii）、（iii）、（vi）和（vii）都是非平凡的（nontrivial）性质。
习题 5.C.2 ： 证明 () 是个凸函数[ 命题 5.C.1 中的性质（ ii ） ] 。[ 提示： 假设
y y( p (1 ) p) 。那么
( p (1 ) p) p y (1 ) p y ( p) (1 ) ( p) 。]
性质（iii）告诉我们，如果Y 是闭的、凸的而且满足自由处置性质，那么 ( p) 提供了 另外一种（“对偶的”）描述技术的方法。与使用间接效用函数（或支出函数）代表偏好（详见第 3 章）类似，与Y 相比， ( p) 在描述技术方面相对间接一些，因为 ( p) 取决于价格定义和价格接受行为的定义。但是根据性质（vi）可知， ( p) 的优点是可以立即计算出供 给。
性质（vi）将供给行为和利润行为的导数关联起来。这是对偶定理（命题 3.F.1）的一个直接结果。和命题 3.G.1 一样，我们也可以使用包络定理和一阶条件证明 ( p) y( p) 这 个事实。
性质（vii）中矩阵 Dy( p) 的正半定性，可由 () 的凸性[性质（vi）]推出。 Dy( p) 的正半定性是供给法则．．．．（law of supply）的一般数学表达式：供给量和价格同方向变动。根据符号上的惯例，这意味着，如果某种产出品的价格上升（所有其他价格维持不变），那么该产出品的供给量增加；如果某种投入物价格上升，那么该投入物的需求下降。
160 ）
注意，供给法则对于任何价格变化都成立。因为，与需求理论不同，供给不存在预算 ．．约束，也不存在任何类型的补偿要求。在本质上，此处不存在财富效应，只有替代效应。
供给法则的非微分形式可以表达为：对于所有 p, p， y y( p) 和 y y( p)
( p p) ( y y) 0
（5.C.3）
我们也可以使用这种形式，从显示偏好角度说明供给法则。具体地说，我们有：
( p p) ( y y) ( p y p y) ( p y p y) 0 。
其中，不等式成立的原因在于 y y( p) 和 y y( p) （即，给定价格 p ， y 是利润最大化的；给定价格 p， y是利润最大化的。）
命题 5.C.1 中的性质（vii）意味着，供给替代矩阵（supply substitution matrix）Dy( p) 的 ．．．．．．拥有的性质类似于需求理论中替代矩阵的性质（尽管符号相反）。因此，自身替代效应是非负的[对于所有l 都有yl ( p) / pl 0 ]，我们在上面已指出这一点；替代效应是对称的[对于所有的l, k 都有yl ( p) / pk yk ( p) / pl ]。至于 Dy( p) p 0 这个事实可从 y() 的齐次性 [性质（iv）]推导出，推导方法类似于需求替代矩阵性质的推导（详见第 3 章）。
成本最小化
企业选择利润最大化生产计划的一个重要含义是，不存在以更低的总投入成本生产该 产量的方法。因此，成本最小化是利润最大化的一个必要条件。这个结论促使我们研究企业的成本最小化问题。经济学家对这个问题感兴趣的原因如下。首先，它可以产生在技术方法 ．．．．．．．上非常有用的结果和构造。其次，正如我们将在第 12 章看到的，当企业在它的产出品市场上不是价格接受者，那么我们不能用利润函数进行分析。然而，只要企业在投入物市场上是价格接受者，成本最小化问题产生的结果继续有效。第三，当生产集是规模报酬非减的，成本最小化问题的最优值函数和最优化向量（它们维持产出水平不变），比 PMP 的利润函数和供给对应（supply correspondence）的表现更好（例如，我们在习题 5.C.1 中已经知道利润函数的取值仅限于零和 ）。
为了更具体一些，我们主要分析单一产出的情形。和以前一样，我们令 z 表示投入物的非负向量， f (z) 表示生产函数， q 表示产出量， w 0 表示投入物价格向量。成本最小化问题（cost minimization problem，CMP）可以表述为（我们假设产出可以被自由处置）：
Min w z
z 0
s.t. f (z) q.
（CMP）
CMP 的最优值由成本函数．．．．（cost function）c(w, q) 给出。相应的最优投入物（或要素）选择
161
）
集 z(w, q) ， 称为（ 带conditional factor demand ．有．附．加．）．条．件．（．的．）．要．素．需．求．对．应．（ correspondence）（或函数如果它总是单值的）。这里的“带有附加条件的”一词是指这些要素需求是以要求生产产量水平q 为条件的。
图 5.C.2（a）描述了两种投入物情形下的 CMP 的解。阴影区域表示能至少生产产量q 的投入物向量集 z 。它是能至少生产产量q 的那部分生产集Y （在投入物空间正象限中的）投影，如图 5.C.2（b）所示。在图 5.C.2（a）中， z(w, q) 这个解位于等成本线上（ 2 空间上 的直线，在这条线上的任何一个投入物组合产生的成本都是相等的），这条等成本线与集合
{z L : f (z) q} 相交于最接近原点的点上。
如果 z* 在 CMP 中是最优的，而且如果生产函数 f () 是可微的，那么对于某个 0 ， 下列一阶条件必定对于每个投入物l 1,..., L 1 成立：
f (z*)
，其中等式在 z*wl l 0 时成立， zl
或以矩阵符号表示为
*
*
*
（八）
w f (z) 和 [w f (z)] z 0.
（5.C.4）
与利润最大化问题（PMP）一样，如果生产集Y 是凸的[即如果 f () 是凹的]，那么条件（5.C.4）不仅是 z* 是CMP 最优解的必要条件，也是充分条件。
图 5.C.2：成本最小化问题。（a）图画出的是两种投入物的情形；在（b）图中，等产量线是生产集的一部分。
（八）
然而需要注意，只要集合{z : f (z) q} 是凸的，CMP 的一阶条件就是充分条件。因此，CMP 的一
阶条件是充分条件的关键要求是 f () 为拟凹函数。这是一个重要的事实，这是因为 f () 的拟凹性与规模报酬递增是相容的（参见例 5.C.1）。
162 ）
与利润最大化问题（PMP）的条件（5.C.2）类似，成本最小化问题（CMP）的条件（5.C.4） 意味着对于任何满足(zl , zk ) 0 的投入物l 和 k ，我们有 MRTSlk wl / wk 。读者应该能想到这种对应关系，因为你已经知道，利润最大化意味着对于既定的产量水平q ，投入物的选 择是成本最小化的。对于 L 2 ，条件（5.C.4）意味着与既定产量水平q 相伴的等产量线在 z* 点的斜率，恰好等于投入物价格比值的相反数w / w 。图 5.C.2（a）也描述了这个事实。
1
2
和以前一样，我们可以将拉格朗日乘子 解释为放松约束 f (z*) q 时的边际价值。因此， 等于边际生产成本c(w, q) / q 。 ．．．．．．（marginal cost of production）
注意生产理论与消费理论的紧密类似性。将 f (), q 和 z 分别替换为u(), u 和 x （即将生产函数解释为效用函数），成本最小化问题（CMP）变为支出最小化问题（EMP）（详见 3.E 节）。因此，在命题 5.C.2 中，成本函数和条件要素需求对应的性质（i）到（vii）可类 比 3.E 和 3.G 节中的分析推出。[性质（viii）和（ix）的证明见习题 5.C.3。]
命题 5.C.2：假设 c(w, q) 是与单一产品生产技术Y 的生产函数 f () 相伴的成本函数，
z(w, q) 是相应的条件要素需求对应。再假设Y 是闭的而且满足自由处置性质。那么
（i） c() 关于 w 一次齐次，关于 q 非减。 （ii） c() 是 w 的凹函数。
（iii） 如果集合{z 0 : f (z) q} 关于每个q 都是凸的，那么Y {(z, q) : w z c(w, q) 对于所有 w 0 成立}。
（iv） z() 关于 w 是零次齐次的。
（ v ） 如果集合 {z 0 : f (z) q} 是凸的， 那么 z(w, q) 是个凸集。 而且， 如果
{z 0 : f (z) q} 是个严格凸集，那么 z(w, q) 是单值的。
（vi）[谢波特引理（Shepard’s lemma）] 如果 z(w, q) 是单点集，那么c() 关于 w 可微而且wc(w, q) z(w, q) 。
2
（vii） 如果 z() 在 w 点是可微的，那么 D z(w, q) Dwc(w, q) 是个对称的、负半定的矩 w
阵而且满足 Dw z(w, q)w 0 。
（viii） 如果 f () 是一次齐次的（即，是规模报酬不变的），那么c() 和 z() 关于 q 都是一
次齐次的。
（ix） 如果 f () 是凹的，那么c() 是 q 的凸函数（特别地，边际成本关于q 非减）。
在习题 5.C.4 中，读者需要证明，在生产技术为生产多种产品的情形下，命题 5.C.2 中的性质（i）到（vii）仍然成立。
163 ）
当生产集是规模报酬不变类型时，成本函数特别有用。在这种情形下，在允许非零产量的任何价格向量上， y() 都不是单值的，从而使得霍特林引理[命题 5.C.1（vi）]在这些价 格上不再成立。然而，条件要素需求仍可能是单值的，这样我们可以继续使用谢波特引理。不过，需要记住，成本函数含有的信息并不比利润函数含有的信息多。事实上，我们从命题 5.C.1 中的性质（iii）和命题 5.C.2 可知，在凸性条件下，利润函数和成本函数之间存在着一个一一对应（one-to-one correspondence）；也就是说，使用这两个函数中的任何一个函数，我们都能够还原生产集，也能够推导出另外一个函数。
使用成本函数，我们可以将企业的利润最大化产量水平的决策问题重新表述为
Max pq c(w, q).
q0
（5.C.5）
q* 是利润最大化产量的必要一阶条件为
c(w, q*) *
p 0 ， 其中等式在q 0 时成立。
q
（5.C.6）
（九）
用文字表述，上式是说：在内部解（即，如果q* 0 ）上，价格等于边际成本。如果c(w, q) ．．．．．．．．关于q 是凸的，那么一阶条件（5.C.6）也是q* 为最优产量水平的充分条件。（在 5.D 节，我们将详细研究企业的供给行为和它的生产技术以及成本函数的性质之间的关系。）
实际上，利润函数和成本函数的分析还能继续进行。限于篇幅，我们将一些例子和额外的性质放在习题中。这一主题的详尽讨论可参考 McFadden（1978）。
例 5.C.1：柯布-道格拉斯生产函数的利润函数和成本函数。在本例中，我们推导例 5.B.2 中的柯布-道格拉斯生产函数 f (z 1 , z 2 ) z z 的利润函数和成本函数。我们从例 5.B.3 中已经 1 2 知道： 1 对应着规模报酬不变的情形， 1 对应着规模报酬递减的情形，
1 对应着规模报酬递增的情形。
条件要素需求和成本函数有着相同的形式，推导方法和 3.E 节支出函数的推导方法相同 （参见例 3.E.1；计算过程中的唯一区别是我们现在不要求 1 ）：
z (w , w , q) q1/( ) ( w / w ) /( ) ,
1
1
2
2
1
z (w , w , q) q1/( ) ( w / w ) /( ) ,
2
1
2
1
2
以及
1/( ) /( ) /( )
c(w , w , [( / ) /( ) ( / ) /( ) ]ww。 1 2 q) q1 2
（九）
这个结论也可用下列方法得到。注意到成本最小化问题（CMP）的一阶条件（5.C.4）和利润最大化问
题（PMP）的一阶条件（5.C.2）是相同的，当且仅当 p 。而我们知道 CMP 中的约束条件的拉格朗日乘子 等于c(w, q) / q 。
164 ）
这个成本函数的形式为c(w 1 , w , q) q1/( ) (w , 2 1 2 w ) ，其中：
[( / ) /( ) ( / ) /( ) ]
/(/(是个常数； (w 1 , w 2 ) w1 )w2 ) 是个函数，该函数不依赖于产出水平q 。当规
模报酬不变时， (w1, w2 ) 是每单位产品的生产成本。
推导企业的供给函数和利润函数的一种方法是使用成本函数并且求问题（5.C.5）的解。运用（5.C.6），这个问题的一阶条件为
1 (1/())1
p (w , w ) q ， 其中等式在q 0 时成立
1 2
成本函数关于q 是凸的。
当 1时，我们可以使用（5.C.7）求解唯一最优的产量水平：
()/(1)
q(w , w p) ( )[ p / (w , w . 1 , 2 1 2 )]
（5.C.7）
当 1时，一阶条件（5.C.7）是最大值的充分条件，因为 1意味着企业的
通过变量替换的方法，可得到要素需求，
zl (w1, w2 , p) zl (w1, w2 , q(w1, w2 , p)) 其中l 1, 2 ；
以及利润函数，
(w1, w2 , p) pq(w1, w2 , p) w z(w1, w2 , q(w1, w2 , p)).
当 1 时，一阶条件（5.C.7）的右侧变为 (w1, w2 ) ，我们已经知道 (w1, w2 )
*
是单位生产成本，它独立于产量 q 。如果 (w , w ) 大于 p ，那么最优产量为 q 0 ；如1 2
果 (w1, w2 ) 小于 p ，那么不存在最优产量（因为这种情形下，利润随 q 增大而增大，利润无上界）；如果 (w1, w2 ) 等于 p ，任何非负产量水平都是最优的，此种情形下利润为零。
最后，当 1 （所以规模报酬递增），满足一阶条件（5.C.7）的产量 q 不是利润最大化的产量，因为它不是真正的解。[事实上，在这种情形下，成本函数关于 q 严格凹， 因此在产量总是使得成本最小的约束条件下，一阶条件（5.C.7）的任何解都是利润（局部） 最小的]。的确，由于 p 0 ，从任何产量q 开始，将产量翻番即变为2q ，那么企业的收入 也翻番，但成本增加的比例为21/( ) 2 ，也就是说成本没有翻到一番。如果我们不停地翻番，企业的利润就不停变大，直至无穷大。因此，在规模报酬递增的情形下，利润最大化问题（PMP）无解。■
165 ）
5.D 单一产品情形下的成本和供给的图形表示
在本节，我们继续分析企业的生产技术、成本函数和供给行为之间的关系。但我们主要分析单一产品情形，这是一种特殊但又经常用到的情形。单一产品情形的最大好处是，我们可以广泛使用图形进行说明。
我们始终用 q 表示产量，并假设要素价格向量 w 0 维持不变。为简单起见（简化符号），我们将企业的成本函数写为C(q) c(w, q) 。对于q 0 ，我们可以将企业的平均成本表示为 AC(q) c(q) / q ，将边际成本表示为C(q) dC(q) / dq （假设成本函数可微）。
我们从（5.C.6）式已经知道，对于给定的产品价格 p ，所有利润最大化的产量水平
q q( p) 必定满足一阶条件[假设C(q) 存在]：
p C(q)
其中等式在q 0 时成立.
（5.D.1）
如果生产集Y 是凸的， C() 是个凸函数[参见命题 5.C.2 中的性质（ix）]，从而边际成本是非减的。在这种情形下，正如我们在 5.C 节指出的，当价格为 p 时 q 为利润最大化产出水平 的一阶条件（必要条件）也是充分条件。
举例说明。图 5.D.1 和 5.D.2 中的生产集都是凸的。在这两个图中，我们假设只有一种投入物，而且我们将它的价格标准化为 1（你可以将这个投入物看成生产所使用要素的全部费用）。
（十）
图 5.D.1 画出了规模报酬递减情形下的生产集[图（a）]、成本函数[图（b）]、平
均成本函数和边际成本函数[图（c）]。注意，生产函数是由生产集旋转 90 度而得到的。图
ˆ ）5.D.1（b）说明了如何从成本函数得到平均成本和边际成本（给定产出水平q。图 5.D.2 画
出的是规模报酬不变的情形。
图 5.D.1：严格凸的生产技术（规模报酬严格递减）。图（a）为生产集，图（b）为成本函数， 图（c）画出了平均成本、边际成本和供给曲线。
（十）
因此，可以将单一投入物的情形视为一种希克斯复合商品，类似于习题 3.G.5 中的复合商品。
166
）
在图 5.D.1（c）和 5.D.2（c）中，我们使用粗线表示企业的利润最大化供给曲线 q() 。 （注意：在这两个图以及后面的图中，我们总是用粗线表示供给曲线。）由于在这两种情形下生产技术都是凸的，每种情形下的供给曲线恰好与满足一阶条件（5.D.1）的(q, p) 组合 完全重合。
图 5.D.2：规模报酬不变的生产技术。图（a）为生产集，图（b）为成本函数，图（c）画出了平均成本、边际成本和供给曲线。
如果生产技术不是凸的（原因可能在于存在着某些潜在的不可分割性），那么即使q 满足一阶条件（5.D.1），也不意味着q 是利润最大化的产量。因此，供给曲线只是由满足（5.D.1）的组合(q, p) 构成的集合的一个子集。
图 5.D.3 画出了生产技术为非凸的情形。
图 5.D.3：非凸的生产技术。图（a）为生产集，图（b）为成本函数，图（c）画出了平均成本、边际成本和供给曲线。
167 ）
在图 5.D.3 中，规模报酬一开始是递增的，然后变成递减。规模报酬递增对应着平均成 本递减，而规模报酬递减对应着平均成本递增，所以平均成本先减后增，从而平均成本有最小值。与平均成本最小值对应的产量水平（可能为多个产量水平）称为有效率的生产规模．．．．．．．． （efficient scale），如果这样的产量水平是唯一的，我们用q 表示。考察图 5.D.3 中的图（a）和图（b），我们看到在q 处，我们有 AC(q ) C(q ) 。在习题 5.D.1 中，你要证明：这个事 实是个一般性的结论。
习 题 5.D.1 ： 证 明 如 果 对 于 所 有 q 都 有 AC(q ) AC(q) ， 那 么 在 q 处 必 然 有
AC(q ) C(q ) 。这个结论要求C() 处处可微吗？
在这个非凸的例子中，供给曲线为图 5.D.3（c）中的粗线部分。当 p AC(q ) 时，企业的利润最大化产量为满足 p C(q) AC(q) 的产量水平 q 。[注意，此时企业的利润为正；如果企业选择q 0 ，那么其利润为零；如果企业选择任何满足 p C(q) AC(q) 的产量水平 q ，则企业的利润严格为负。]另一方面，当 p AC(q ) 时，任何 q 0 的产量带来的利润都为严格负，因此企业的最优供给为q 0 [注意， q 0 满足一阶条件（5.D.1），这是因为 p C(0) ]。当 p AC(q ) 时，企业的利润最大化产量是集合{0, q} 。所以，供 给曲线如图 5.D.3（c）所示。
图 5.D.4：可变成本严格凸且固定成本不沉没。图（a）为生产集；图（b）为成本函数；图
（c） 画出的是平均成本、边际成本和供给曲线。
非凸性的一个重要来源是存在着固定启动成本。这些固定成本可能沉没，也可能不沉没。图 5.D.4 和 5.D.5（对应着图 5.D.1 和 5.D.2）画出了固定启动成本没有沉没的两种情形（因此企业不可能不作为）。在这些图中，我们考虑下面的情形：企业需要投入固定成本 K 当且 仅当它的产量为正时，在其他情形下它的成本是凸的。特别地，该企业的总成本的形式为： 对于q 0 ， C(0) 0 ；对于任何q 0 ， C(q) Cv (q) K ，其中： K 0 为固定成本；
Cv (q) 为可变成本函数（variable cost function），Cv (q) 是凸函数[而且Cv (q) 0 ]。图 5.D.4 ．．．．．．
画出了Cv () 为严格凸的情形，而在图 5.D.5 中Cv (q) 是线性的。我们也相应画出了供给曲
168
）
线。在这种情形下，企业只有在其利润不仅能补偿其可变成本还能补偿其固定成本的情形下， 才会生产正的产量。你应该将图 5.D.5（c）中的供给曲线读为：对于 p p ，供给是“无限的”；对于 p p ，最优供给q 0 。
图 5.D.5：规模报酬不变的可变成本且固定启动成本不沉没。图（a）为生产集；图（b）为成本函数；图（c）画出的是平均成本、边际成本和供给曲线。
在图 5.D.6 中，我们对图 5.D.4 中的情形进行了修改，现在令固定成本为沉没的，因此 C(0) 0 。特别地，我们有C(q) Cv (q) K 对于所有 q 0 成立。因此，不论企业是否正的产量，它必须支付固定成本 K 。
图 5.D.6：可变成本严格凸且固定启动成本沉没。图（a）为生产集；图（b）为成本函数； 图（c）画出的是平均成本、边际成本和供给曲线
尽管在图 5.D.6 中，企业不作为是不可能的，但该企业的成本函数是凸的，因此我们就回到了一阶条件（5.D.1）为充分条件的情形。因为无论企业是否生产正的产量水平，它都
169 ）
必须支付固定成本 K ，所以它不会因为利润为负就关门停业（shut down）。注意，由于Cv (q)
(q) 意味着 pq Cv (q) ；因此，当企业的产量满足一阶是凸的而且Cv (0) 0 ，所以 p Cv条件时，该产量能够补偿它的可变成本，从而它的供给曲线如图 5.D.6（c）所示。注意此时企业的行为恰好似它不需要支付沉没成本 K 一样[请与图 5.D.1（c）比较]。
习题 5.D.2：画出固定启动成本部分沉没情形下的供给曲线。所谓固定成本部分沉没是说： 对于q 0 ， C(q) K Cv (q) ；对于q 0 ， 0 C(0) K 。
我们已在 5.B 节中指出，沉没成本的一个来源，至少在短期情形下，是事先决策已制定好要素选择而且这个选择不可撤销。例如，假设我们有两种要素和一个生产函数 f (z1, z2 ) 。记住，和以前一样，我们将投入物的价格固定在(w1, w2 ) 不变。在图 5.D.7（a）中，我们用C() 描述不含有任何要素投入承诺的生产函数。我们将其称为长期成本函数。．．．．．．（long-run cost function）如果一种要素，比如 z2 ，在短期固定在 z2 水平，那么该企业的短期成本函数
（short-run cost function）变为C(q z2 ) w1 z1 w2 z2 ，其中 z1 可变但要满足 f (z1 , z2 ) q 。
图 5.D.7：某种要素在短期内固定但在长期可变，这种情形下的成本如图所示。图（a）画出的是短期和长期成本曲线；图（b）画出的是短期和长期平均成本曲线。
注意，不同的 z2 水平对应着不同的短期成本函数，如图 5.D.7（a）所示。由于对企业投入决策施加限制只可能增加它的生产成本，所以对于任何 q （后面给出除外情形），
C(q z2 ) 必定位于 C(q) 的上方，但在与最优长期投入水平 z2 相伴的产量 q 上[即，满足z2 (w, q) z2 的那个q 上]，C(q z2 ) 与C(q) 相切。由这个事实以及C(q z2 (w, q)) C(q)
对于任何q 成立可知：对于任何q ，我们都有C(q) C(q z2 (w, q)) ；也就是说，如果 z2 位于长期值上，那么短期边际成本等于长期边际成本。从几何图形上说，令短期成本函数
170 ）
C(q z2 ) 中的 z2 取各种可能的数值就得到了是短期成本函数族，而C() 是该短期成本函数
族的下包络（lower envelope）。
最后需要注意，给定企业的长期和短期成本函数，它的长期和短期平均成本函数与长期和短期供给函数可用我们在前面讨论的类似方法推导出。图 5.D.7（a）的平均成本形式请见图 5.D.7（b）。（习题 5.D.3 要求你更详细地考察企业的短期和长期供给行为。）
5.E 加总
在本节，我们研究总（净）供给理论。正如我们在 5.C 节看到的，与消费者不同，生产者不存在预算约束，这意味着个人供给不受财富效应约束。当价格变化时，在生产边界上只存在着替代效应。与总需求理论相比，这个事实使得总供给理论更简单但更有力。
（十一）
假设经济中有 J 个生产单位（企业或工厂），每个生产单位可用一个生产集Y1,...,YJ 描述。我们假设每个Yj 是非空的、闭的而且满足自由处置性质。我们将与Yj 相伴的利润函数和供给对应分别记为 j ( p) 和 y j ( p) 。总供给对应．．．．．（aggregate supply correspondence）是个 人供给对应的加总：
J
L
( p) 成立， j 1,..., J}. y( p) y j ( p) {y : y j jy 对于某个 y j y jj1
我们暂时假设对于每个价格向量 p ， y j () 都是单值的、可微的函数。从命题 5.C.1 可知，每个 Dyj ( p) 都是对称的、正半定的矩阵。由于这两个性质在加法下是可保留的，我们断言矩阵 Dy( p) 是对称的、正半定的。 ．．．．．．．．．
与个人生产理论一样，Dy( p) 的正半定性意味着加总形式的供给法则（law of supply）:．．．．如果价格上升，相应的总供给也会上升。与单个企业水平的供给法则一样，总供给的这个性质．对于所有价格变化成立。我们也可以直接证明这个加总形式的供给法则，因为我们从 ．．（5.C.3）知道： ( p p) [ y j ( p) y j ( p)] 0 对于每个 j 成立；因此，对 j 加总可得
( p p) [ y( p) y( p)] 0.
Dy( p) 的对称性意味着 y( p) 的背后存在着“代表性的生产者”。我们将证明，这个结
论以非常强的方式成立。
给定Y1,...,YJ ，我们可以将总生产集．．．．（aggregate production set）定义为
Y Y Y y j Y 成立， j 1,..., J}. {y : y j y j对于某个1 ... J J
L
（十一）
本节和 5.F 节的经典和平易描述请参见 Koopmans（1957）。
171
）
总生产集Y 描述了当所有生产集可以一起使用时，可行的总生产向量是什么。令 *( p) 和
y*( p) 分别表示总生产集Y 的利润函数和供给对应。如何理解上面的利润函数和供给对应？
想象一个价格接受者（企业）以相同的管理方式经营所有的单个生产集，该企业在这种情形下的利润函数和供给对应就分别为 *( p) 和 y*( p) 。
命题 5.E.1 为供给建立了一个很强的加总形式的结果：作为价格接受者的每个生产单位独立地追求利润最大化而得到的利润之和（总利润），等于这些企业联合行动（即协调它们的 y j ）追求联合利润最大时得到的利润。
命题 5.E.1：对于所有 p 0 ，我们有 （i） *( p) （ii） y*( p)
( p) ；
j
j j j
j
j
jj
。 y ( p) （ { y : y y ( p) 对于每个 j}）
证明：（i）对于第一个等式，注意到如果我们取任意一组生产计划 y j Yj ， j 1,..., J ，那 么
*
() 是 与 Y 相 伴 的 利 润 函 数 ， 因 此 我 们 有 。 由 于 y Y j j
j
*
*( p) p ( y ) p y 。由此可知 ( p) ( p) 。在另外一个方向上，考 j j jj j
虑任何 y Y 。根据集合Y 的定义可知，存在 y j Yj ， j 1,..., J ，使得此 ， 对 于 所 有 y Y 都 有 p y p (
j
j j
j j
j
j
j
j
j
j
y Y 。因
j
j
y ) p y ( p) 。 所 以 ，
*( p) ( p) 。联立 *( p) ( p) 和 *( p) ( p) 这两个不等式可知 *( p) ( p) 。
jj
j
（ii）对于第二个等式，我们必须证明
y ( p) y*( p) 且 y*( p) y ( p) 。对于
j j
jj
前 一 个 关 系 ， 考 虑 任 何 个 人 生 产 计 划 集 合
j
y j y j ( p) ， j 1,..., J 。 那 么
*
p ( y ) p y j ( jjp) ( p) ，其中最后一个等式可由本命题中的（i）推j j
y y( p) ，从而有 y ( p) y*( p) 。在另外一个方向上，取任何 y y*( p) 。 那 么 对 于 某 个 y Y， j 1,..., J ， 有 y y 。 因 为 p ( y ) *( p) ( p) 而且对于每个 j 有 p y ( p) ， 所以必然有： p y ( p) 对每个 j 成立。所以，对于每个 j 都有 y Y( p) ，从而 y y ( p) 。这样，我们就证明了 y*( p) y ( p) 。■
出。因此，
j j
*
jj
j j
j
j
j j jj
j j
j j j j
j
j
j j
图 5.E.1 描述了命题 5.E.1 的内容。该命题可以解释为分权化（decentralization）的结果： 为了找到给定价格 p 时的总利润最大化问题的解，只要将相应的个人利润最大化问题的解 加起来即可。
172 ）
图 5.E.1：联合利润最大化，它是个人利润最大化的加总。
这个结论看起来简单，但它却又很多重要的含义。例如，考虑单一产出的情形。这个结论告诉我们，如果每个企业在面对产出品价格 p 和投入物价格 w 时最大化自己的利润， 那么它们的供给行为使得总利润最大化。但是，这必定意味着如果这些企业的总产量为
q j qj ，那么总生产成本恰好等于总成本函数．．．．．（aggregate cost function）的值c(w, q) 。
（总成本函数是指与总生产集Y 相伴的成本函数。）因此，产量水平．．．．q
在企业之间的分配是本最小化的。而且，这个结论允许我们将企业的总供给函数q( p) 同总．．．．．．．．．成．．．．．．成本函数联系起来，
联系形式恰好同我们在 5.D 节考察的单个企业情形一样。（我们在第 10 章考察竞争性市场的局部均衡模型时，将会用到这个结论。）
总之，如果作为价格接受者的每个企业，在给定价格下使得自己的利润最大化，那么经济的生产层面可以完美加总。
与消费情形（参见第 4 章的附录 A）一样，在生产的情形下，加 也有正则化效应。一个有趣而 要的事实上，如果很多企业或工厂的技术不是极端不同，那么平均生产集近似为 ．．凸，即使单个企业的生产集都不是凸的。图 5.E.2 描述了这 情形，在该图 ， J 个企业的生产集是相同的，等于图 5.E.2（a）给出的生产集。
定义平均生产集为(1 / J )(Y1 YJ ) {y : y (1 / J )( y1 yJ ) 对于某个 y j Yj
成立， j 1,..., J} ，我们看到：对于较大的 J ，这个集合几乎是凸的，如图 5.E.2（b）所
173
）
示（十二）
图 5.E.2：加 的凸化效应：一个例 。图（a）为单个企业的生产集；图（b）为平均生产集。
5.F 有效率的生产
由于福利经济学大部分内容集中于效率（比如，参见第 10 章和第 16 章），有必要使用代数和图形刻画明确不存在浪费现象的生产集。于是，我们有了定义 5.F.1。
定义 5.F.1：对于生产向量 y Y ，如果不存在 yY 使得 y y 且 y y ，那么 y 是有效的。 ．． 率．．
用文字来说，对于某个生产向量 y ，如果不存在满足下列条件的其它可行的生产向量
y—— y 与 y 的产量相同，但 y 没有使用更多的投入；或 y 的产量更多或 y 使用更少的投入——那么，我们就称 y 是有效率的。
正如我们在图 5.F.1 看到的，每个有效率的 y 必定位于Y 的边界上，但是它的逆未必成立： Y 的某些边界点可能没有效率。
（十二）
注意，这个生产集是上有界的。这很重要，因为它保证了单个企业生产集的非凸性是有限的。如果单个企
业的生产集象图 5.B.4 所示，其中生产集和非凸性都无界，那么平均生产集（对于任何 J ）显示很大的非凸性。在图 5.B.5 中，生产集是无界的但非凸性是有界的；与图 5.E.2 一样，在这种情形下，平均生产集几乎是凸的。
174 ）
图 5.F.1：有效率的生产计划必定位于Y 的边界上，但Y 的边界上的生产计划未必是有效率的。图（a）中的生产计划位于Y 的内部，因此是无效率的；图（b）中的生产计划虽然位于Y 的边界上，但它是无效率的；图（C）中的生产计划是有效率的。
现在我们证明效率概念与利润最大化之间存在着密切关系。我们将在第 10 章尤其在第 16 章深入研究这个问题。
命题 5.F.1 提供了一个简单但重要的结论。它是福利经济学第一基本定理first ．．．．．．．．．．．（ fundamental theorem of welfare economics）的一种版本。
命题 5.F.1：如果对于某个 p 0 ， y Y 是利润最大化的，那么 y 是有效率的。
证明：如若不然，则存在 yY 使得 y y 且 y y 。由于 p 0 ，这意味着 p y p y ， 这与 y 是利润最大化的事实矛盾。■
需要注意，即使生产集是非凸的，命题 5.F.1 也成立。如图 5.F.2 所示。
图 5.F.2：利润最大化的生产方案（对于 p 0 ）是有效率的。
175 ）
如果与 5.E 节讨论的总量结论结合起来，命题 5.F.1 告诉我们：当每个企业面对相同的固定价格向量 p 0 时，若每个企业都能独立地最大化自己的利润，那么总生产是有效率的。也就是说，对于经济整体来说，不存在任何其他生产方案能在不使用额外投入的情形下 生产更多的产量。这与我们在 5.E 节的下列结论是一致的：在单一产出的情形，当所有企业面对相同的价格最大化自己的利润时，总产量的生产成本是最低的。
命题 5.F.1 要求价格严格为正，这一点让人不舒服，但这一条件是必需的。在习题 5.F.1 中，你要证明这个结论。
习题 5.F.1：举出满足下列条件的生产计划 y 的例子：生产计划 y Y 对于某个 p 0（其中
p 0 ）是利润最大化的，但也是无效率的（即，不是有效率的）。
命题 5.F.1 的逆命题似乎断言：任何由效率的生产向量对于某个价格系统是利润最大化．．的。然而，稍微考察一下图 5.F.2 中的有效率生产计划 y，即可知道这个结论一般不成立。然而，如果我们增加凸性的假设，命题 5.F.1 的逆命题就成立了。命题 5.F.2 是福利经济学第基本定理．．．．．． 二．．．．．（second fundamental theorem of welfare economics）的一种版本，它比命题 5.F.1 复杂一些。
图 5.F.3 使用分离超平面定理证明命题 5.F.2：如果Y 是凸的，那么每个 y Y 对于某个 p 0 是利润最大化的。
176 ）
命题 5.F.2：假设Y 是凸的。那么每个有效率的生产计划 y Y 对于某个非零价格向量 p 0 来说，是利润最大化的生产方案。
（十三）
证明：这个证明是分离超平面定理在凸集上的应用（参见数学附录中的 M.G 节）。假设 y Y
L
是有效率的，定义集合 P {y : y y}。集合 P 请见图 5.F.3。P 是凸的，又因为 y
y
y
y
是有效率的，所以我们有Y Py 。这样，我们就可以使用分离超平面定理，由该定理可知，存在某个y Py 和 y Y 成立（参见图 5.F.3）。 ．．p 0 使得 p y p y 对于每个 特别地，注意这意味着 p y p y 对于每个 y y 成立。因此，我们必定有 p 0 ，因为如果对于某个 l 有 pl 0 ， 那么对于某个 y y 且 yl yl 足够大， 我们我们将有p y p y 。
现在取任何 y Y 。那么对于每个 y Py 我们有 p y p y 。由于我们可以选择 y使其任意接近 y ，我们断言对于任何 y Y 有 p y p y ；也就是说，对于 p ， y 是利润最大化的。■
命题 5.F.2 中的“ p 0 ”不能加强为“ p 0 ”。例如，在图 5.F.4 中，生产向量 y 是有效率的，但是它却不能得到任何严格正的价格向量的支持。
图 5.F.4：命题 5.C.2 中的价格向量不能加强为 p 0 。
举个例子说明命题 5.F.2。以单一产出且生产函数 f (z) 为凹为例。固定投入向量 z ，假设 f () 在 z 点是可微的，而且f (z ) 0 。那么使用投入向量 z 生产产量水平 f (z ) 的生产计划是有效率的。令产出品的价格为 1，条件（5.C.2）告诉我们，使得这个有效率生产利润最大化的投入物价格向量正好等于边际生产力向量，即 w f (z ) 。
（十三）
由该命题的证明可以看出，这个结论也适用于弱有效率．．．．（weakly efficient）的生产方案，这样的生产
方案类似于图 5.F.1（b）中的 y ，其中不存在 y使得 y y 。
177 ）
5.G 对企业目标的评价
在消费者理论中，尽管我们自然可将消费者的偏好最大化的假设作为原生概念，但在生产者理论中，我们不能自然地将企业利润最大化作为原生概念。比如，为什么企业的目标不能是销售收入最大化或企业的劳动力数量最大化？
我们在经济分析中采用的企业目标，应该从那些控制企业的人的目标中寻找。我们考察的企业是由个体们拥有的，这些人的另外一个身份是消费者。如果企业是由一个人拥有的， 那么该企业的目标是明确的，就是那个企业主的目标。在这种情形下，唯一的问题在于他的目标是不是利润最大化。当企业是由若干人共同拥有时，复杂性就大幅增加。事实上，在这种情形下，我们必须协调任何冲突的目标，或者证明这些人的目标不存在冲突。
幸运的是，我们能够解决这些问题，从而为利润最大化目标打下坚实的理论基础。现在我们将说明，在合理的假设下，企业的共同拥有者都会认同这个目标。
假设某个企业的生产集为Y ，该企业是由若干消费者共同拥有的。假设所有权在这里的意思仅指每个消费者i 1,..., I 有权向该企业索要份额为i 0 的利润，其中
1
i
i
（有些i 可能为零）。因此，如果生产决策为 y Y ，消费者i 的效用函数为ui () ，那么消费者i 实现的效用水平为
Max ui (xi )
xi 0
s.t. p xi wi i p y,
其中 wi 为消费者i 的非利润性质的财富。因此，在固定价格水平上，利润变大使得消费者i （也是企业主i ）的总财富和预算集变大，这是个合意的结果。由此可知，在任何固定价格向量 p ，如果生产方案 y, yY 满足 p y p y ，那么所有消费者（也是企业主）会一致．． 偏好 y而不是 y 。因此，我们断言，如果我们维持价格接受者的行为假设，那么所有消费
者（无论他们的效用函数是什么样的）都会一致同意让企业经理最大化企业利润
（十四）
。
需要注意，在上面的推理过程中，隐含着三个假设：（i）价格是固定的，不依赖于企业的行为；（ii）利润不是不确定的；（iii）经理人员受企业主控制。我们大致说说这三个假设。
（i） 如果价格取决于企业的生产，那么企业主的目标就会象消费者一样取决于他们的
喜好。例如，假设每个消费者在企业之外的财富为零，即 wi 0 ；考虑 L 2 的情形，企业用商品 2 生产商品 1，生产函数为 f () 。另外，我们将商品 2 的价格标准化为 1，假设当产 量为q 时，商品 1 用商品 2 表示的价格为 p(q) 。例如，如果企业主们的偏好是他们只关心 商品 2 的消费，那么他们会一致要求求解Max z0 p( f (z)) f (z) z 。这会使得商品 2 的数 量 最 大 化 。 另 一 方 面 ， 如 果 他 们 只 想 消 费 商 品 1 ， 那 么 他 们 希 望 求 解
Max z0 f (z) z / p( f (z))，因为如果他们能得到 p( f (z)) f (z) z 单位的商品 2，那么
他们最终能得到 p( f (z)) f (z) z / p( f (z)) 单位商品 1。但是这两个问题的解是不同的。
（十四）
在现实经济中，还存在公共企业和准公共组织（比如大学）。与私人企业由股东拥有不同，这些企业
178
）
或组织没有所有者，所以它们的目标可能不是利润最大化，因此不适用当前的讨论。
179 ）
（请检验一下一阶条件。）而且，这意味着，如果企业的共同拥有者象消费者一样拥有不同的喜好，那么他们不会一致同意企业应该做什么（习题 5.G.1 说明了这一点。）
（ii） 如果企业的产出是随机的，那么区分产品是在不确定性被解决之前还是之后销售，
就变得非常重要。如果产品是在不确定性被解决之后销售的（例如农产品收获后在现货市场上销售），那么企业主一致同意利润最大化的这个论断就不成立了。这是因为利润，从而企业主得到的财富，现在变得不确定了，企业主的风险态度和预期将会影响他们关于生产计划的偏好。例如，强烈厌恶风险的企业主比适度厌恶风险的企业主更偏好风险相对较小的生产计划。
另一方面，如果产品是在不确定性被解决之前销售的（例如农产品收获前在期货市场上销售），那么风险完全由买方承担。企业的利润不是不确定的，企业主一致要求利润最大化的论断仍然成立。实际上，可认为企业生产的是一种在不确定性被解决之前在日常市场上销售的产品。（这一问题的进一步分析会让我们离我们的主题太远。我们将在 19.G 节再来讨论这个问题，因为那时我们已经在第 6 章学习了不确定性情形下的决策理论。）
（iii） 股东不能直接实施控制权是常见的。他们需要经理人员。当然，经理们也有自己
的目标，这再正常不过了。特别地，如果所有权分厂分散，在这种情形下，如何理解企业主们如何和在多大程度上控制着经理们？这是个重要的理论难题。需要考虑的因素有经理们行为的可观测程度和单个股东的利益等。[14.C 节（作为内部控制机制的代理合同）和 19.G 节 （作为外部控制机制的股票市场）将涉及这些问题。]
附录A：线性生产活动模型
具有凸性和规模报酬不变的生产模型如此重要，值得进一步研究。
给定规模报酬不变的技术 Y ， 由向量 y Y 产生（ 或张成） 的 射．线．为 集合
{y Y : y y 对于某个实数 0 成立}。我们可以认为一条射线代表着能以任何规模经．．．．
营的一个生产活动（activity），也就是说，生产计划 y 可以扩大或缩小 0 倍，从而产生 ．．其它可行的生产计划。
在此处我们重点研究一种特殊的规模报酬不变技术，它的优点在于易于计算，因此具有非常重要的应用价值。我们假设我们的理论的基础是给定的一组有限个数（比如 M）的活动，每个活动都能在任何经营规模上运行而且任意个活动可以同时运行。我们将这 M 个 LL活动称为基本活动（elementary activities），记为a ,..., a 。那么，生产集为
1 M ．．．．
Y {y L : y mam 对于某组实数(1,...,M ) 0 成立}。
m1
M
实数m 称为基本活动水平；它衡量的是第m 个活动的经营规模。从几何图形上说，Y ．．．．m 的．．．是个多面锥，它是有限条射线组成的凸包。
180 ）
某个活动若具有(0,..., 0, 1, 0,..., 0) 的形式，其中1在第l 个位置，那么这个活动称为商品l 的可处置活动（disposal activity）。因此，我们总是假设，除了 M 个基本活动外，还 ．．．．．有 L 个可处置的活动。图 5.AA.1 说明了 L=2 和 M=2 的生产集。
给定价格向量 p L ， Y 中存在利润最大化的生产计划当且仅当 p a m 0 对于每个
m 成立。为了看清在这一点，注意到如果 p am 0 ，那么活动 m 的利润最大化水平为 m 0 。如果 p am 0 ，那么活动 m 的任何水平产生的利润都为零。最后，如果对于某个 m ， p am 0 ，那么通过使得m 任意大，我们就能产生足够大的利润。注意，可处置活动的存在意味着对于一个利润最大化的生产计划来说，必定存在着与其匹配的 p L 。
如果 pl 0 ，那么第l 个可处置活动将产生严格正的利润（从而是任意大的利润）。
对于产生零利润的任何价格向量 p ，令 A( p) 表示恰好能产生零利润的活动组成的集合： A( p) {am : p am 0}。如果 am A( p) ，那么 p am 0 ，因此在价格为 p 时，我们不使用活动m 。因此，利润最大化的供给集合 y( p) 是由 A( p) 内的活动产生的凸锥；也
mam :m 0}。图 5.AA.1 也画出了集合 y( p) 。在该图中，当 价格向量为 p 时，活动a1 产生的利润正好为零，活动a2 产生的利润为负（如果经营的话）。因此，A( p) {a1}；y( p) {y : y 1a1 对于任何实数1 0} ，y( p) 是由 a1 张成的射线。
就是说， y( p) {m a A( p )
图 5.AA.1：由两个活动产生的一个生产集。
线性活动模型的一个重要的结论是：命题 5.F.1 的逆命题也成立；也就是说，我们可以
181 ）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容