泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函

本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子

在线性代数中，我们曾遇到过把一个n维向量空间En映射到另一个m维向量空间Em的运算，就是借助于m行n列的矩阵

a11a12a21a22Aam1am2a1na2n amn对En中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间Y中的映射T称为算子，D称为算子T的定义域，记为DT，为称像集yyTx,xDT为算子的值域，记作TD或TD。

若算子T满足： （1）TxyTxTy（2）T(x)Txx,yDT F,xDT

称T为线性算子。对线性算子，我们自然要求TD是X的子空间。特别地，如果T是由X到实数（复数）域F的映射时，那么称算子T为泛函。

例3.1 设X是赋范线性空间，是一给定的数，映射T:xx是X上的线性算子，称为相似算子；当1时，称T为单位算子或者恒等算子，记作I。

例3.2 xCa,b，定义Txtxd

at由积分的线性知，T是Ca,b到Ca,b空间中的线性算子。若令

fxxdabxCa,b

则f是Ca,b上的线性泛函。

[定义3.2] 设X,Y是两个赋范线性空间，称T在x点T:XX是线性算子，连续的，是指若xnX,xnx，则TxnTxn；若T在X上每一点都连续，则称T在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。

[定理3.1] 设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性算子，若T在某一点x0DT 连续，则T在DT上连续。

证明：对xDT，设xnDT，且xnxn，于是

xnxx0x0n，由假设T在x0点连续，所以当n时，有

Txnxx0TxnTxTx0Tx0

因此，TxnTx，即T在x点连续。由x的任意性可知，T在DT上连续。 定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若

xn（X中零元），则Txn（Y中零元）。

例3.3 若T是n维赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T在X上连续。

证明：在X中取一组基e1,e2,n,en，设

xmxjmejXj1m1,2,3,

且xmm，即xm0m，则

m2xj0j1n12m

从而xjm0j1,2,3,nnm。于是

mjTxmxj1Tejmaxxj1jnmTej1nj0m

因此，Txmm，即T在x处连续，进而T在X上每点连续。

[定理3.2] 设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射，

则T有界的充分必要条件是：存在常数M0，使不等式成立，即

TxMxxDT

证明：必要性。因T有界，所以T将D中的闭单位球B1xx1映成

Y中的有界集，即像集TB1是Y中的有界集。记MsupTx:xB1，此时，对每个

xDT,x,xB1x，由M的定义有

xTxM……………………（3.1） 即TxMx，而当x时，不等式（3.1）变成等式。故xDT有

TxMx

充分性。设A是DT的任一有界集，则存在常数M1使xM1xA。 由TxMxxDT知

TyMyMM1yA 故TA有界。证毕。

[定理3.3] 设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到Y中的线性映射，则T是连续的充要条件是T是有界的。

证明：充分性。设T有界，则存在常数M0，使对一切

xDT,TxMx，从而对xnxn,xnDT有

TxnTxTxnxMxnx0即TxnTxn。所以，T是连续的。

必要性。若T连续但T是无界的，那么对每个nN，必存在xnDT，使Txnnxn，令ynxn1，那么yn0n，即yn，由T的连nxnnn

Txn续性，Tynn，但是另一方面，Tynnxnnxnnxn1，引出矛盾，

故T有界。

定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用

LX,Y表示X到Y的有界线性算子组成的集合。

例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。

例3.4 考察定义在区间0,1上的连续可微函数全体，记作C10,1，其中范数定义为xmaxxt，不难证明，微分算子

0t1d是把C10,1映入C0,1中的线dt性算子。

取函数列sinnt，显然，sinnt1，但

dsinntncosntnn dt因此，微分算子是无界的。

[定义3.3] 设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，对一切xX，满足TxMx的正数M的下确界，称为算子T的范数，记作T。

由定义可知，对一切xX，都有TxTx。

[定理3.4] 设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，则有

TsupTxsupTxsupx1xXTxx

x1xXxxX证明：由TxTx，易得

TsupTx……………………………………（3.2）

x1xX根据T的定义，对于任给的0，存在非零x0X，使

Tx0Tx0

令x0x0T，因此 ，则有Tx0x0TsupTxsupTx

x1xXx1xX令0得 TsupTxsupTx……………………（3.3）

x1xXx1xX由式（3.2）和式（3.3），便得

TsupTxsupTx

x1xXx1xX而TsupxxXTxx，由定义易知。

例3.5 在L1a,b上定义算子T如下

Tfxftdt,axfLa,b

1（1）把T视为L1a,b到Ca,b的算子，求T； （2）把T视为L1a,b到L1a,b的算子，求T。 解：算子T的线性是显然的，下面分别求T。

（1）设T：L1a,bCa,b，任取fL1a,b，由于TfCa,b，从而

TfmaxTfxmaxaxbaxbaxbftdt

axbaaxmaxftdtftdtf

故T是有界的，并且T1。另一方面，取f0t1,ta,b，并且 baf0f0tdtabba1dt1 ba于是

TsupTfTf0maxf1axbxab11dtdt1

ababa故T1。

（2）设T：L1a,bL1a,b，任取fL1a,b，由于TfL1a,b，从而

Tfbaxaftdtdxbababaxaftdtdx

ftdtdxbaf

1b的自然数n，n因此，T是有界的，并且Tba；另一方面，对任何使得an,作函数fnx0,1xa,an 1xa,bnba显然fnLa,b,且fnfntdt1，而

Tfnbaxafntdtdx

b1na1nanxadxaa1nandtx1na0dtdx

111 baba2nn2n所以，又有TsupTfnba

因此，Tba。

此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，

他们的算子范数未必相同。

一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。

例3.6 设Ks,t在a,ba,b上连续，定义算子T：Ca,bCa,b为

TxsKs,txtdt

ab则TLCa,b,Ca,b，且

Tmax证明：由于

baKs,tdt:asb

TxsmaxasbasbKs,txtdt

abaasbbmaxKs,tdtmaxxt

maxbaKs,tdt:asbx 故结论成立。

事实上，还可以进一步证明

TmaxbaKs,tdt:asb

由于证明要用到实分析知识，这里从略。

例3.7 已知实矩阵Aaijnm，定义T:RmRn为TxAx，则

2TLRm,Rn，且Taij。 i1j1nm12nm证明： TxAxaijxji1j1nm2m2aijxj i1j1j1122 12nm2aiji1j1n12x

m122故 Taij i1j1对于赋范线性空间X上的线性泛函f，我们总视f为X到数域F所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间X上的线性泛函f，由于fxFxX，所以

fxfx，因而f的范数就是fsupfx。

x1xX对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。

[定理3.5] 设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则：

（1）f是连续的充要条件是f的零空间Nfxfx0,xX是X的闭子空间；

（2）非零线性泛函f是不连续的充要条件是Nf在X中稠密。 证明：（1）必要性：设f是X上的线性泛函，又设

xnNf,xnxn，由f的连续性可得fxlimfxn0。因此，

nxNf，所以Nf是X的闭子空间。

充分性：设Nf是闭集，如果f不是有界线性泛函，则对每个自然数n，必有xnX,xn1,使得fxnn。

令ynxnx1，则fyn0，即ynNf，并且 fx1fxnynxnx1110n fx1fxnfxnnx1x1Nf。这和Nf是，从而f1fxfx11即ynx1。但是，fx1闭集矛盾。因此，f是有界的。

（2）必要性：设f是连续的，由定理3.1知f在x点不连续，从而存在

xnX,xnn，但fxn00，对xX，显然有

xfxxnNf fxnfx并且xxnxn，所以Nf在X中稠密。

fxn充分性：假设f是连续的，由Nf在X中稠密可知，对xX，存在

xnNf，使xnxn，从而

fxlimfxn0

n这与假设f非零矛盾。证毕。

我们现在考虑由赋范线性空间X到赋范线性空间Y的有界线性算子的全体

LX,Y的性质。

对任意T,T1,T2LX,Y,F，规定

T1T2xT1xT2x,TxTx

显然，T1T2及T都是线性算子，称T1T2为T1与T2的和，T为与T的积，易验证LX,Y按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子

TLX,Y，算子范数T还满足三个条件：

（1）TsupTx0，若T0，则对一切xX,Tx0，即T；

x1xX（2）TsupTxsupTxT；

x1xXx1xX（3）T1T2supT1xT2xsupT1xsupT2xT1T2。

x1xXx1xXx1xX因此，LX,Y是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称线性算子空间。

一般说来，LX,Y不一定是完备的，但是我们有如下的定理： [定理3.6] 设Y是完备的赋范线性空间，则LX,Y是完备的。 证明：如果设TnLX,Y为一Cauchy列，即

则对xX，必有

TnTm0n

TnxTmxTnTmxTnTmx0n,m

这说明Tnx是Y中的Cauchy列，由Y的完备性，在Y中存在惟一的一个元，记为Tx使得TnxTxn。

于是，T就是从X到Y的一个算子，其线性可由Tnx的线性推得。 又由于

TnTmTnTm0n,m

因而知数列Tn收敛，即有数使得supTn，由此推得

nTxlimTnxsupTnnnxxxX

故T为有界线性算子，即TLX,Y。

由于TnTm0n,m，故对0，存在自然数N0，使得m,nN0时，有TnTm。于是xX,x1有TnxTmxx。

固定x，令m，可得出TnxTmx,xX,x1。

又由于TLX,Y，因而有TnTLX,Y，且由以上不等式可推出

TnTmnN0

即TnT0n，所以空间LX,Y是完备的。证毕。

注：赋范线性空间X上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定的范数

fsupfx

x1xX构成一个Banach空间，称之为X的共轭空间，记作X*。

习题3.1

1.设TLX,Y，证明：KerTx:Tx是X的闭子空间。

2.设TLX,Y,SLY,Z，证明：复合算子ST:XZLX,Z满足

STST。

3.XYC0,1，定义T:XY为Txttxsds,t0,1及

01S:XY为Sxttxt,t0,1。

（1）问T与S可交换吗？（即STTS是否成立？） （2）求S,T,TS及ST。

4.设X为所有有界数列组成的线性空间，范数为

xsupaii1xa

i给定无穷矩阵Ttij，满足suptij，定义算子T:XX为Txy，其中

ij1xai,ybi，且bitijaj

j1证明：TLX,X，且Tsuptij。

ij15.设XRn,YRm，在X,Y上定义范数

x1xii1nxx1,x2,,xnRn

y1yii1myy1,y2,,ynRm

矩阵Aaijmn定义算子为yTxAx

m证明：Tmaxaij。

1jnii16.设f:RR连续且可加，即对任意

x1,x2R有

fx1x2fx1fx2，证明：f必为fxx,xR，其中R为常数。

7. 设X和Y都是Banach空间，TX,Y且是满射，证明：对X中任意稠密子集E，成立TEY。

8.设X是Banach空间，TX,X，且T1，定义

nTnTT0T

为T的n次复合，TI为单位算子，证明算子级数Tn在TX,X中收敛，

n0且Tn（零算子）n。

3.2 共鸣定理及其应用

许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有界问题，

Banach-Steinhaus定理对这一问题给出了回答。

[定义3.4] 设T,TnLX,Yn1,2,3,称Tn一致收敛于T，是指

即在算子范数意义下收敛，记为TnTn；称Tn强TnT0n，

S收敛于T，是指对xX,TnxTx0n，记为TnTn。

S由定义易知，TnTnTnTn。但是，反之不成立。例

如，XYl2,x1,2,,n,l2，定义Tnxn1,n2,，则

STnn，但是，若记

ei0,0,,0,1,0,第i项

则Tnen1e1，故

TnsupTnxTnen1e11

x1所以对任意自然数n，有Tn1，即Tn1，故Tnn不成立。

容易证明，有界线性算子列Tn一致收敛于有界线性算子T的充要条件是

Tn在X的单位球上一致收敛于T。

[定义3.5] 设X是一个度量空间，AX，称A是X中的稀疏集，是指A在X中的任何一个非空开集中均不稠密。又称X是第一纲的，是指X可表示成至多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。

例3.8 X有理数集，定义度量r1,r2r1r2，则X是第一纲的，因为

Xn1rn，而单点集rn是X中的稀疏集。

下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire纲定理，它是证明共鸣定理的关键。

[定理3.7] 设X是完备的度量空间，则X是第二纲的。

证明：用反证法。若存在一列稀疏集An使XAn，任取一个闭球

n1Br0x0x:x,x0r0，由于A1在开球Br0x0中不稠密，从而可取一个闭球Br1x10r11，满足A1Br1x1,Br1x1Br0x0；又A2在开球Br1x1中

Br2x2,Br2x2Br1x1，

1不稠密，同理，取闭球Br2x20r2，满足A22按上述过程一直进行下去，可得出闭球列Brnxn满足如下条件：

（1）Br0x0Br1x1Br2x2（2）Brnxn（3）0rn；

Ann1,2,3,1。 n；

由条件（3）知，Brnxn的直径dBrnxn20n，由闭球套定理，存nn1在xX，且

n1Brnxnx，但是从条件（2）中又有Brnxn，矛盾，故

X是第二纲的。证毕。

应用上述定理来证明共鸣定理。

[定理3.8]（共鸣定理） 设X是banach空间，Y是赋范线性空间，算子簇

T:LX,Y，若对任意xX，满足

supTx

那么

supT

证明：定义X上的泛函px为pxsupTx，则p:X0,且容易

验证px满足

pxxpxpx,pxpxF

记 AnxX:pxnn1,2,3,

则Xn1An。

首先证An是闭集。设xkAn,xkxk，对每个，因T是连续的，所以TxkTx0k，更有TxkTx，又Txkpxkn，故

Txn，即pxn,xAn。因X是完备的，由定理3.7，必存在自然数n0，使An0不是稀疏集，从而存在开球Br0x0r00使An0在Br0x0中稠密，An0是闭的，所以An0Br0x0。对任一xB1x:x1，注意到

x0r0x,x0r0xBr0x0

则

px0r0xn0,px0r0xn0 p2r0xpx0r0xpx0r0x px0r0xpx0r0x2n0

所以pxn0n。对每个,Txpx0，即 r0r0TsupTx:xB1n0 r0进一步有

supTxn0 r0证毕。

上述共鸣定理说明，对每个xX,Tx:有界，则T:有界。这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此，共鸣定理又称一致有界原理。

一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么条件时是强收敛的？LX,Y在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了这些问题。

[定理3.9] 设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，TnLX,Y，若对于每个xX,limTnx在Y中存在，定义线性算子T:XY为TxlimTnx，则

nnTLX,Y，且Tn有界。

证明：由limTnx在Y中存在，知supTnx。据定理3.8知，存在常数

nnM0，使supTnM，故

nTxlimTnxsupTnxMx nn即TLX,Y。证毕。

[定理3.10] 设X是赋范线性空间，Y是Banach空间，TnLX,Y，如果满足下列条件：

（1）Tn是有界数列；

（2）在X中某一稠密子集G中每个元素x,Tnx收敛。 则Tn强收敛于某一有界线性算子T，且TlimTn。

n证明：因Tn有界，故存在M0，使对一切n1,2,3,,TnM。任取

注意到G在X中稠密，故对于任给0，存在yG，使xy3M。 xX，

由条件（2）可知，Tny收敛，故存在自然数N，使对一切nN以及任意自然数p有

TnpyTny3

于是

TnpxTnxTnpxTnpyTnpyTnyTnyTnx

M3M3M3M

n故Tnx是Cauchy列，由于Y是完备的，故Tnx收敛。令TxlimTnxxX，则T是定义在X上而值域包含在Y中的线性算子。再由

TxlimTnxlimTnxlimTnnnnx

可知T有界，且

TlimTn

n证毕。

本章3.1节定理3.6证明了当Y是Banach空间时，LX,Y依算子范数是完备的。现在我们可以证明当X,Y都是完备时，LX,Y对于算子列的强收敛也是完备的。

[定理3.11] 设X,Y都是Banach空间，则L（X，Y）在强收敛意义下是完备的。

证明：设TnxLX,Yn1,2,3是给定算子列，对每个xX,Tnx是

Cauchy列，故Tnx有界，再由一致有界原理可推知Tnx有界。注意到Y是Banach空间，故对每个xX,Tnx收敛。因此，Tn满足定理3.10的条件（1）和条件（2），故Tn强收敛于某一有界线性算子TLX,Y。

下面介绍几个关于共鸣定理应用的例子。

例3.9（Fourier级数的发散问题）存在以2为周期的连续函数，其Fourier级数再给定点发散。

证明：用C2表示定义在,上以2为周期的连续函数全体，赋予范数

xmaxxt

0t2那么，C2是一个Banach空间。对每个xC2，其前n+1项Fourier级数的部分和为

a0nSnx,takcosktbksinkt

2k1Ks,txsds n11sinnst2 这里， Kns,t12sinst2令t=0,即Snx,0计算其范数为

1且可Ks,0xsds,Sx,0是C到R的有界线性泛函，nn21Sn1sinns2ds 12sins2注意到

12Sn1sinns2ds 1sins21ssinns22ds sssin221 2 12sin2n1s2s2ds

12n120sindn

所以supSn,从而由共鸣定理，必存在某个周期为2的连续函数x0C2，

n使极限limSnx,0不存在，这意味着x0t的Fourier级数在t=0点发散。同理，

n对每一固定点t0，也必存在xt0C2，其Fourier级数在tt0点发散。证毕。

例3.10（Lagrange插值公式的发散性定理） 给定区间[0，1]内插入点

t1kn,n1,2,3,nk构成三角矩阵H为

t1(1)(2)t1(n)t10(2)t200(n)tn000(n)t2 那么必存在xtC[0,1]，使其与插值点相应的n次插值Lagrange多项式

nTxtxtkCknt

k1n其中

tttttttt

Ctttttttttn11nk1nknnnknnnk1knk1nknk1knn当n时，不一致收敛于xt。

证明：在C[0,1]上定义算子序列Tn:C[0,1]C[0,1]为

n[Tnx]txtkCknt

k1n通过计算得出

TnmaxCknt n1,2,3,t0,1k1n

从而Tn时有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道

Tnlgn n1,2,3,8

因此，supTn,于是由共鸣定理必存在x0C[0,1]，使Tnx0不收敛于x0，

n即Tnx0t不一致收敛于x0t。证毕。

例3.11(机械求积公式的收敛性) 在积分近似计算中，通常我们考虑形如

xtdtAxt atakkk0bn0t1tnb

的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列

nn其中 at0t1nbanxtdtAknxtk （3.4）

k0ntnb,n0,1,2,

需讨论的使在什么条件下，当n时，式（3.4）误差趋向于0，这就是机械求

积公式的收敛性问题。

现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数xC[0,1]都收敛，即

Aknxtknxtdt n （3.5）

k0anb当且仅当以下两个条件成立：

（1） （2）

n存在常数M>0，使AkMn0,1,2,k0n;

公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。

证明：考虑Banach空间C[a,b]上的线性泛函

nfnxAknxtk,(n0,1,2,)

k0n对于每个xC[a,b]，

fnxn因此，fnAk。

k0nAxtnnkkk0nnnAkx k0另一方面，对于每个nn1,2,，取[a,b]上连续函数x0t，使得

,n

xn1且

nxntksgnAkn k1,2,于是

fnfnxnAkn

k0n所以

fnAkn (n1,2,)

k0n 由条件（2）若xt是多项式函数结论成立，又由于多项式全体是C[0,1]的稠

密子集，由定理3.10，对每一个xC[0,1]，公式（3.5）成立。

注：本例中条件（2），多项式集合可用C[0,1]中稠密子集来代替，如果逐段线性函数集合来代替，结论仍然成立。

习题3.2

1.设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，TnLX,Yn1,2,3,supTn，证明：存在xnX，使得supTnx0。

nn,若

2.设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，TnLX,Yn1,2,3,,如果

xX,Tnx是Y中的Cauchy列，则Tn是有界的。

3.设X为多项式全体构成的集合，按通常的函数加法与数乘运算成为一个线性空间，又对任意xta0a1tantnX,定义 xmaxa0,a1,an

(1)证明X是一个赋范线性空间； (2)证明X不完备；

(3)取YR,定义算子列TKxa0a1an (k1,2,)

kk证明Tk是有界线性算子，且对任意xX，成立supTkx,但是supTkx 4．给定数列n，若满足对任意收敛数列n，级数nn收敛，证明：级

n1数n。

n15．给定数列n，若对任意xt1,t2,3.3 Hahn-Banach定理

supn级数ntn收敛，证明：l，

1n1。

n已知X是n维赋范线性空间，在X中取一组基e1,e2,nnen，设a1,a2,,an是一

组数，当xxieiX，定义f(x)xiei，易知，f是X上的线性泛函，记

i1i1aif(ei),i1,2,,n，

当xxiei时，由f的线

i1n性可得

f(x)xif(ei)aixii1i1nn这告诉我们n维赋范线性空间上的线性泛函与数组a1,a2,,an一一对应，而且

有具体的泛函表达式，本章3.1节例3.1告诉我们，有限维赋范线性空间上的任何线性泛函都是连续的，因此，对于有限维赋范线性空间上的连续线性泛函的情况，我们已经有了一个基本了解。那么，我们自然要问：任何一个无限维赋范线性空间上是否一定有非零连续线性泛函呢？如果有，是否足够多？本节将从线性泛函的延拓入手，讨论这个问题。

【定义3.6】若X是实线性空间，称p:XR为次可加正齐次泛函，如果满足：

（1）p(xy)p(x)p(y); （2）p(x)p(x)(0,x,yX).

注：这里所给出的“次可加，正齐次泛函”对我们并不陌生，实际上，在赋范线性空间中，元x的范数x就是这种泛函，一般说来，它未必是“加法”的或“齐次”的。

【定理3.12】（Hahn-Banach定理）设X是实线性空间，p:XR是次可加正齐次泛函。

MX是一子空间，f是M上定义的一个实线性泛函，且

f(m)p(m)(mM)，那么存在X上的实线性泛函F，满足：

（1）F(m)f(m)(mM); （2）F(x)p(x)(xX).

证明：我们仅来证明一种特殊情况，当X比M仅多一维，此时，

X可表示为Xxmx0:mM,R 这里x0XM。

定义X上的线性泛函F为

F(x)F(mx0)f(m)C

C是一个待选择的常数。由于f是M上的线性泛函，那么F是X上的线性泛函，

且显然满足（1）.为满足（2），我们来确定常数C，若满足（2），则对一切(mM)及R成立不等式

f(m)Cp(mx0)

这个不等式又等价于下面两个不等式：

mmf()Cp(x)0（1） f(m)Cp(xm)00

0因为对任何m,mM有

f(m)f(m)f(mm)

p(mm)p(mx0)p(mx0) 即

（2） f(m)p(mx0)p(mx0)f(m) 于是，令

K1sup{f(m)p(mx0):mM}

K2inf{p(mx0)f(m):mM}据（2）式，K1K2，从而选取C[K1,K2],则这样的C满足（1）式，于是F(x)在X上满足F(x)p(x)。证毕。

对于一般情况，由于涉及到超限归纳法，这里略去其证明。 由定理3.12，我们可得出下面的有界线性泛函的存在定理和连续线性泛函的“保范延拓”定理。

【定理3.13】设X是实赋范线性空间，如果X，则在X上必存在非零的连续线性泛函。

证明：因X{}，故X{}，任取x0X{}，令M{x0:R},又取cx0，作M上的泛函

f0:x0c,(f0(x0)c)

显然，f0是M上的非零有界线性泛函，只要将定理3.12中p取为p(x)x，便可知f0必可延拓成X上的有界线性泛函f，显然f不是零泛函。证毕。

【定理3.14】（Banach保范延拓定理）设X是实赋泛线性空间，M是X的子空间，f是M上的有界线性泛函，则存在X上的有界线性泛函F满足：

（1）F(m)f(m),mM； （2）FfM。

证明：由于f是M上的有界线性泛函，那么

f(x)f这里fMm1Mx

M令p(x)fsupf(m):mM是f在M上的范数。

则p是Xx，

上定义的次可加正齐次泛函，由式（3.6）对mM，有f(m)p(m)。根据定理3.12，存在X上连续线性泛函F满足结论（1），且F(m)p(m)。又

F(x)p(x)f所以

MxfMx

F(x)f可见，F式X上有界线性泛函，且Ffx1Mx

，又F是f的延拓，所以

MFsupF(x):xXsupF(m):mM

x1supf(m):mMfm1M

即FfM。证毕。

注：从定理3.12证明过程中，我们知道多讨论的延拓并不惟一，由此可知，赋范线性空间的子空间上连续线性泛函的保范延拓一般也不惟一。

例3.12 设XR2，对x(x1,x2)，规定xx1x2,X按此范数

成为赋

范线性空间。又设M{(x1,0):x1R}，设f0是定义在M上的连续线性泛函，

f0((x1,0))x1，即f0M1。然而，对任何数,X上的连续线性泛函

f((x1,x2))x1x2,(x1,x2)X都是f0的延拓，由于

f((x1,x2))x1x2x1x2 max(1,)(x1,x2)

并且ff0M1，所以，只要1,f都是f0的保范延拓。

【推论3.1】设X是实赋范线性空间，M是X的一个真闭子空间，

x1XM，令

dinf{x1m:mM}

则存在X上有界线性泛函F满足

F1xx11 ,且F(x)d0xM证明：首先证d0。若d0，由下确界定义，存在mnM，满足

x1mnd0(n)，即mnx1(n)。而M是闭的，所以x1M，这与

x1XM矛盾。

记由M及x1张成的子空间为M1，则M1可表示成

M1{mx1:mM,R}

在M1上定义泛函f(mx1)，显然，f是M1上有界线性泛函，且

f(m)0(mM),f(x1)1

下面来计算f在M1上的范数。对于0，由于

f(mx1)mx1m所以，fM1x1mx11mx1 mdx1()1。 d另一方面，取mnM，使x1mnd(n)，而

ff(x1mn1)

x1mnx1mnM1M1在上式中令n，得fM11，故fd1。 d最后，由定理3.12，存在X上有界线性泛函F，满足F(m)f(m)(mM1)，且FfM1，根据f得构造，F显然满足

1xx1 F(x)0xM证毕。

注：推论3.1说明有界线性泛函可分离一点和一个闭子空间。

【推论3.2】设X式实赋范线性空间，x0X且x0，则存在X上有界线性泛函F满足F(x0)x0，且F1。

证明：取X得一维子空间M{x0:R}，在M上定义有界线性泛函f为

f(x0)x0，则f式M上线性泛函，且f(x0)x0，又

f(x0)x0x0

所以

fMsup{f(x0):x01}1

由定理3.12，存在X上有界线性泛函F，它是f得保范延拓，因此，F仍然满足F(x0)x0,且F1。证毕。

推论3.2表明，只要X，则X上必存在不为零的连续线性泛函。

【推论3.3】设X是实赋范线性空间，x0X，若对于X上任意连续线性泛函f，都有f(x0)0，则x0。

证明：用反证法，由定理3.13易得。

推论3.3表明，当X式无限维实赋范线性空间时，在c上必存在无限多个连续线性泛函。

当X时复线性空间时，上述定理和推论同样成立。

习题3.3

1.设X是实线性空间，M是X的子空间，x0XM，证明：

M1{mx0:mM,R}是X的子空间。

2.设X是实赋范线性空间，x,yX，且xy，证明：存在X上有界线性泛函F满足F(x)F(y)。

3.设X是实赋范线性空间，证明：x0X，必有

x0sup*fX,f1f(x0)

（X*为X上全体连续线性泛函组成的集合）。 4.在C[a,b]上定义泛函

F(x)x(t)dt,xC[a,b]

ab证明：F是有界线性泛函，且Fba。

5.设X是实赋范线性空间，x0X，若对任意X上的有界线性泛函f，且f1，

f(x0)，证明：x0。

6.设f是线性空间X上的非零线性泛函，取x0Xker(f)，证明：

X{yx0:yker(f),F}。

7.设f1,f2是线性空间X上的两个线性泛函，且ker(f1)ker(f2)，证明：存在常数，使得f1f2。 3.4共轭空间与共轭算子

本章第3.1节我们介绍了有界线性算子空间L(X,Y)，特别地当YR时，我们便得到X上有界线性汉化地全体L(X,R)，称L(X,R)为X的共轭空间，记为

X*。本节我们将研究X*空间的有关问题。

3.4.1共轭空间

一般来说，对于赋范线性空间，即使是Banach空间，其上连续线性汉化的具体形式仍然相当复杂。下面我们用Hahn-Banach定理，给出几个具体的Banach空间上所有连续线性泛函的具体形式。为此，我们将引入下面等距同构概念。

【定义3.7】设X,Y是赋范线性空间，称X是Y的嵌入子空间，如果存在线性算子T:XY满足Txx(xX)；称X与Y是等距同构 的，如果存在线性算子T:XY是满射，且Txx(xX)。

注：当X是Y的嵌入子空间时, X是Y的子空间TX结构完全相同，因此，可记为XY；当X与Y等距同构时，这两个空间结构也完全相同，可记为XY。

例3.13 c0{x:x{ai},limai0,aiR}，在c0中赋予范数xsupai，则c0ii是赋范线性空间。l{x:x{bi},bi,biR}，赋予范数xbi，则l11i1i1也是赋范线性空间，我们有(c0)*l1。

证明：对于任一{bi}l1，定义c0上线性泛函F为：

F(x)F({ai})aibi于是

i1F(x)F({ai})所以，F,即F(c0)*。

abi1iisupai(bi)x

ii1第i个另一方面，对F(c0)*，令biF(e(i))，这里e(i)(0,0,,0,1,0,)。记

{bi}，对每个x{ai}c0，由于连续线性泛函，因此，

aeii1nn(i){ai}supai0n，而F是

inF(x)F({ai})limF(aie)limaiF(e(i))

(i)ni1ni1n limaibiaibi

ni1i1nn下面证明l1。令(N){n(N)}，其中

n(N)sgnbnnN

0nN这里sgnx是符号函数，则limn(N)0，即(N)c0，且(N)1，由式（3.7）

n知

bn1Nnbnsgn(bn)F({n(N)})F(N)F

n1NN由N的任意性，bn，又是得到F。根据上述两步，定义

n11T:l1(c0)*为T()F,l，则T是线性算子，是满射，而且T()（因

而是一一映射）。这说明l1与(c0)*是等距同构的，即(c0)*l1。

例3.14 (l1)*l。

证明：令ek是l1中第k项为1，其它项为0的数列，任取f(l1)*，令

ckf(ek),Mspan{ek}k1

在M上

f(x)ckk,k1xkekM

k1n且f(x)supckx，而M在l1中稠密，由Hahn-Banach定理可得

kf(x)supckx,xl1

k故f(x)supck，令ck，因为ckf(ek)，所以

kckf(ek)fekf因此，l，且f。

反之，对任意l，ci，定义f(l1)*如下

f(x)ckk,k1

xkl1

则 f(x)ckkx

k1所以，f。

再由上述论证可得，f，从而(l1)*与l等距同构，即(l1)*=l。证毕。

例3.15 (lp)*lq，其中

q111,p,q1。 pq证明：对每个{bi}l，由级数形式的Holder不等式，对{ai}lp，有

ai1ibi(ai)(bi) （3.8）

i1i1p1p1qq因此，定义l上的线性泛函F为F({ai})aibi，那么由式（3.8）得

pi1F({ai})q{ai}p，即Fq

0,1,0,)（第i个坐标为1，其余为0），

另一方面，设F(l1)*，记ei(0,对每个{ai}lp，由于

ae{a}iiii1pn(ai)0,(n)

in1np1pF是连续线性泛函，所以

F({ai})limF(aiei)limaiF(ei)aiF(ei) （3.9）

ni1ni1i1nn记biF(ei),{bi}，下面证lq。对自然数N，记

bnNn0q1sgnbn,nN且bn0

nN或bn0则N{nN}lp，由式（3.9）得

bn1NqnF(N)FNN1pPF(bnn1Np(q1))

1pF(bn)

n1q于是 (bn)F

n1Nq1p令N，则(bn)F，即n1q1pqF。

由上述两方面证明，定义线性算子T:lq(lp)*为T()F，则T是满射，且

T()q，故(lp)*lq。证毕。

例3.16 Lp[a,b]{f:f是[a,b]上Lebesgue可积函数，定义范数： （}p>1）f(fabpppdt)，则F(Lp[a,b])*的充要条件是存在gLp[a,b]（其中

1p111），满足pq(Lp[a,b])*Lq[a,b]。

Fg，及F(x)x(t)g(t)dt,xLp[a,b]。即

ab由于证明比较复杂，这里略去。

下面讨论一类很重要的赋范线性空间—自反空间。

设X是赋范线性空间，X*是它的共轭空间，因为X*也是赋范线性空间，它也有共轭空间(X*)*，把它记为X**，称为X的二次共轭空间，如此继续下去，就有X的三次共轭空间

X***(X**)*

这些空间之间自然是有联系的，我们只考察X与X**的关系。

对每个xX，做X*上的泛函X**如下：对fX*，令X**(f)f(x)，显然，这样做的X**是X*上的线性泛函，而且由于

X**(f)fx （3.10） 所以，X**是有界线性泛函，并且X**x，称此泛函是由x生成的，又称

XX**的算子xx**为嵌入算子。

【定理3.15】设X是赋范线性空间，嵌入算子xx**(xX)是X到X**的保范线性算子，即：

（1）xyx**y**； （2）x**x。

证明：（1）由定义可知，对任意fX*，有

(xy)**(f)f(xy)f(x)f(y)

f(x)f(y)x**(f)y**(f)

**（2）由式（3.10）知x**x,故只需证x**x。对任何x0，由Hahn-Banach定理推论知，必有fxX*，fx1而且fx(x)x，因此

x**x**(fx)fx(x)x

证毕。

由定理3.15易得如下推论：

【推论3.4】设X是赋范线性空间，则X是X**的嵌入子空间，即xX**。 【定义3.8】设X是赋范线性空间，如果X＝X**，即X与X**等距同构，则称X为自反空间。

从上面的例子可见，(c0)*l1,(l1)*l，因此，(c0)**l，而c0l，所以

Lp[a,b](p1)c0不是自反的；而(lp)*lq,(lq)*lp,所以lp(p1)是自反的；同样，

也是自反的。

自反空间有着极为重要的性质，自反空间上算子的结构也是特别整齐的。

【定义3.9】设X是赋范线性空间，xnX,xX，称xn弱收敛于x，

x(n)。 若对fX*，有limf(xn)f(x)，记为xnn弱收敛点列具有下列性质：

x(n)； (1)若xnx(n)，则xnx(n)，且xny(n)，则xy; (2)若xnx(n)，则xn有界； (3)若xnx可推得xnx(n)。 (4)若X是有限性的，则有xn证明：（1）对每个fX*，由于

f(xn)f(x)fxnx0(n)

x(n)； 所以xnx及xny(n)，得 （2）对每个fX*，由xnf(x)limf(xn)f(y)

n于是f(xy)0，由本章3.3节推论3.2知，存在f0X*，且f01，

f0(xy)xy，故xy0，即xy。

（3）对每个fX*，由于limf(xn)f(x)，因此，f(xn)有界，即

nsupf(xn)。定义X*上有界线性泛函列Jn(f)f(xn),n1,2,n,则由上面定

理3.12，Jnxn，再由共鸣定理知

supJnsupxn

nn故xn有界。

（4）取X的一组基e1,e2,成

xnajej(n1,2,),(n)j1dx(n)，x在这组基下可展,ed，设xnxajej

j1d取特殊的坐标泛函fiX*，使

1ijfi(ej)ij(i,j1,2,0ij因此，

ddd)

xnx即xnx(n)。

(aii1(n)ai)eiai(n)aiei0(n)

i1x(n)并不能推出xnx(n)。注：在无穷维空间中，xn例如，

设Xl2,en(0,0,第n项0,1，0，)，n1,2,2,则en1，故en不强收敛于0，但对任

何f(l)l,f(1,2,),i，我们有f(en)n0，故en弱收敛

2*2i1于0。

【定义3.10】设赋范线性空间X的共轭空间为X*，在X*上有如下三种收敛： (1)按范数收敛（一致收敛），记为fnf(n)，即fnf0(n)；

f(n)，即对每个 (2)弱收敛，记为fnx**X**,x**(fn)x**(f)(n)；

(3)弱*收敛，记为fn f(n)，即对每个xX,fn(x)f(x)(n)。

*f；f，这三种收敛的关系是：若fnf，则fn若fn则fnf。

*f等价于fn当X是自反Banach空间时，fnf。

*【定义3 .11】设X,Y是赋范线性空间，L(X,Y)中点列Tn及TL(X,Y)满足：对任意xX和任意的fY*,f(Tnx)f(Tx)(n)，则称Tn弱收敛于T。 我们已经知道，算子列的一致收敛可导出强收敛不一定一致收敛。由定义3.11

可证得，算子列强收敛，一定弱收敛，但反之不成立。 例3.17 令XYl2,x(1,2,)l2，定义

Tnx(0,0,第n项0,1,2)，(n1,2,3,)

这是一个平移算子，Tn显然是线性算子，并且Tnxx，所以Tn1，对任意

f(1,2,)l(l),f(Tnx)kkn

22*k1由Holder不等式有

f(Tnx)kk12kn(k)(kn)

k1k1212212x(k)0,(n)

kn112即{Tn}弱收敛于0.但是{Tn}不强收敛。这里只要取xe1(1,0,0,)，则当nm时，就有

Tne1Tme1en1em12

故{Tne1}不收敛。

【定理3.16】设X是赋范线性空间，如果X*可分，则X是可分的。 证明：由于X*是可分的，所以在X*中由一列fn，它在X*的单位球面上稠密，对每个fn，由于

supfn(x)fnx1xX1 2在X的单位球面上必有一串xn，满足fn(xn)1，这时，把xn张成的X的线2性闭子空间记为M，如果X不可分，那么必然由MX，从而在X*中存在点

f0,f01，而且当xX时，f0(x)0，然而

fnf0fn(xn)f0(xn)fn(xn)1 2这与fn在X*的单位球面上稠密的假设矛盾。所以，X是可分的。

定理3.16启发我们用共轭空间X*的性质可以来研究原来的赋范线性空间X的性质。这个方向的进一步发展，就是局部凸拓扑线性空间理论中的对偶理论，它对于研究空间的拓扑结构是很有用的。

3.4.2 共轭算子

我们知道，矩阵是有限维空间算子的表示形式，矩阵的转置在矩阵理论中起着十分重要的作用。这种矩阵转置概念在无穷维空间的推广就是共轭算子。有了共轭空间的概念，就可以引出共轭算子的定义。

【定义3.12】 设T是从赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的有界线性算子，对fY*，由fxfTxxX定义了X上的有界线性泛函f，显然对每个fY*，对应惟一的fX*，用T记这个对应关系，即Tff，f是Y到X的算子，称为T的共轭算子。

共轭算子具有下列性质：

（1）T的共轭算子T是有界线性算子，且TT； （2）TT，这里是实数；



（3）T1T2T1T2，这里T1,T2LX,Y；

（4）T1T2T2T1，这里T1LX,Y,T2X,Y；



（5）设TLX,Y存在有界逆算子,则T也存在有界逆算子,且

T1T1;

（6）T的共轭算子T也有共轭算子T

，我们将他简记为T，则

TT，若X看成X的子空间，则T是T的延拓。

性质（2），性质（3）和性质（4）由定义易证，现证性质（1）、性质（5）和性质（6）。

证明：性质（1）中T的线性显然。现证明T的有界性。 由定义易知：

TfxfTxxX,yY

故 TfxfTxfTx 于是TffT，故T有界，且TT。

由Hahn-Banach定理推论3.2知，对任意xX,x，有f0Y使得

f0TxTx,f1

故

Txf0TxTf0xTf0xTf0xTx

因xX是任意的，即TT，故TT，即性质（1）成立。 性质（5）：由于T是从Y到X的有界线性算子，T11是从X到Y的有界

线性算子，任取xX，fX*，则

TT11fxT11fTxfTTxfx 因xX是故意的，故TTff，又因为fX*是任意的，故

TT1IX （3.11）

这里IX是X*中的恒同算子（单位算子）。

再任取yY,gY，有

T1*T*gyT*gT1ygTT1ygy

因yY,gY都是任取的，故

TT1**这里IY是Y中的恒同算子。

**IY （3.12）

由式（3.11）和式（3.12）可知，T*以T1为它的有界逆算子。

*性质（6）：T**T，由性质（1）立即导出。现证明T**是T的延拓。任取xX，设x**是x在X**中的对应元，则对任意fX*，有

x**ffx

故

T**X**fX**T*fT*fxfTxTx**f

因fX*是任意的，所以

T**x**Tx （3.13）

若将X视为X**的子空间，则x与x**可视为同一，Tx 与Tx可视为同一，于是式（3.13）可改写成T**x**Tx，故T*是T的延拓。

在很多情况下，需要求出给定的有界线性算子的共轭算子的具体形式。 例3.18 设Aaij是mn阶矩阵，由A定义了一个由Rn空间到Rm空间的算子T

yTx,iaijii1,2,j1n****,m

其中x1,2,nRn，y1,2,nRm，容易证明T是有界线性算子。

由于欧几里得空间的共轭空间就是它本身，故由共轭算子的定义可以知T*是由

Rm到Rn中的有界线性算子。现在我们求出T*的具体形式。

我们知道Rm上的每个有界线性泛函f可表示成

fyciii1mciR

于是

mTfxfTxciiaijciiaijcii

i1i1i1i1i1*mmmm故

Tfd1,d2,*,dn,djaijcij1,2,i1m,n （3.14）

这表明T*由A的转置矩阵定义。

例3.19 设K(s,t)是变量s及tatb,asb的实可测函数，满足

abbaKs,tdtds

q设T是以K(s,t)为核心的积分算子，即

TxtaKt,sxsds,xsLpa,b

可以证明T是将Lpa,b映入Lqa,b的有界算子。由于Lpa,b与

b11Lqa,b1,p,q1互为共轭空间，故由共轭算子的定义可知T是由

pqLpa,b到Lqa,b的有界线性算子。现求出T的具体表达形式。

对每个fLqa,b，存在Lpa,b中元y，使对任何zLqa,b，有

fzztytdt

ab（这里Lqa,b是上有界线性泛函的具体表达形式） 故

TfxfTxytdtKt,sxsdsaabbxsdsKt,sytdtaabb

由于xLpa,b是任意的，故

TfKt,sytdt

ab因为f与y可视为同一，故形式上又可写为

TysKt,sytdt

ab故 TytKs,tysds

ab可见，T是Lpa,b映入Lqa,b以K(s,t)为核的积分算子。

习题3.4

1．证明有限维赋范线性空间的共轭空间是有限维的。无穷维赋范线性空间

的共轭空间是无穷维的。

2．证明任何有限维空间皆自反。

x，3．在lp中作出一个点列xn及x，使xn但xnxn，其中p1。

x0 4．设X是赋范线性空间，MX是闭线性子空间，若xnM，有xnn，证明x0M且limnxnx0。

5．设X是Banach空间，X是共轭空间，若xnx，且fnfn，

证明：fnxnfxn。

x，TLX,Y，证明TxnTx n。 6．xnx0，xnCa,b，x0Ca,b，n1,2,3,7．设XCa,b，且xn,证明：limxntx0t。

n8．证明：若X是自反的，则X也是自反的。

3．5开映射、逆算子及闭图像定理

在许多实际问题中，我们常常遇到通过已知条件求出未知元的问题。例如解

代数方程、微分方程、积分方程等。如果把它们抽象统一起来，则可得到一般算子方程的求解问题，其实也就是考虑相应算子的逆算子存在问题。当附加上该解“存在惟一并且对依赖的初始条件是连续的”要求时，问题也便归结为寻求“连续的”逆算子的存在问题。本节我们要介绍与此密切相关的一些定理，这里特别要强调的是“开映射”定理，通过它不但能够导出一些非常重要和适用的关于有界逆算子的存在定理，而且由它我们还将得到在分析中应用十分广泛的闭图象定理。

设X,Y是数域F上的线性空间，T是X到Y线性算子，如果T是一一映射，则T的逆算子T1存在，而且也是现行的。事实上，根据假设T1的存在是显然的，只须再证T1是线性的。因对y1y2Y,及a1,a2F,存在x1,x2X使得

Tx1y1,Tx2y2,即x1T1y1,x2T1y2,，于是

T11y12y2T11Tx12Tx2T1T1x12x21x12x21Ty12Ty211

即T1是线性算子。

我们关心的问题：如果X,Y都是赋范线性空间，（X到YTLX,Y是双射的一一映射），这时T1存在而且是线性算子，但T1是否有界呢？一般来说，即使X是完备的，T1并不一定有界，下面是一个反例。

例3.20 设XCa,b，YyyC1a,b,ya0，Y按X中的范数

ymaxyt构成赋范线性空间，令

atbT:XY,TxtxsdtatxX

显然，T是Banach空间X到赋范线性空间Y的双射，且TLX,Y，但

T1:YX ，T1ytdytyY是无界的线性算子。 dt1事实上，取yntsin2ntaY,n1,2,2ba则

ynmaxynt1n1,2,atb，



但由于

111Tyt2ncos2nta,n1,2,n2ba2ba从而

1T1ynmaxT1ynt2n,n

atb2ba

所以T1是无界线性算子。

【定义3.13】 设X,Y是度量空间，T是X到Y的映射，如果对X中的任何开集G,像TG是Y中开集，则称T是开映射，或开算子。

显然，若T是同胚映射，而且T是X到Y的双射时，T1为连续的充要条件是T为开映射。

【定理3.17】(Banach开映射定理) 设X,Y是Banach空间，TLX,Y且

T是满射，则T是一个开映射。

证明：以下我们分为用U与U1表示X与Y中的球，因为X以

k1k1U0,k，所

YTXTU0,k

由于Y是Banach空间，由Baire纲定理，Y是第二纲集。因此存在k0,使得

TU0,k在某个球Uy0,r0中稠密。

我们首先证明，对任意0，存在0，使得TU0,在U0,中稠密，

因此取r0k，对任意yU10,，y00yU1y0,r0，所以存在U0,k0中k0使得 的点列xk及xkTxky0y0Txkk0yk0

yk，所以

从而Txkxkyk，显然xkxkU0,k1,2,2k02k0TU0,在U10,中稠密。

1其次，对任意y0U10,，由上面已经证明的结论，TU0,在U10,2221中稠密，因此，存在x1U0,，使得y0Tx12，因此

22y1y0Tx1U10,2

211由于TU0,2在U10,2中稠密，故存在x2U0,2，使得y1Tx23，

2222从而

y2y1Tx2y0Tx1x2U10,3

21这样继续下去，得到点列xn，xnU0,nn1,2,2，使得

y0Tx1x2因为X是Banach空间及i1xn2n11xnn1，因而存在x0X使得x0xn，并

i12i1且x01，于是由T的连续性

ny0limTxkTx0

ni1r所以，TU0,1U10,，由此，对任意r0,TU0,rU10,22。 最后，设G是X中任一开集，任取TxTG,xG,存在x的邻域Ux,r1G,取正数r2r1，则，Ux,r2Ux,r1G因此TUx,r2TG。由于

Ux,r2xU0,r2，所以

rTUx,r2TxTU0,r2TxU10,22r2UTx,12 即Tx是TG的内点，所以TG是Y中开集。证毕。

本节例3.20已经告诉我们，当T是Banach空间X到赋范线性空间Y的有界线性算子，并且还是一个双射时，T1并不一定有界，然而如果值域Y是完备的，情况就不同了。

【定理3.18】（Banach逆算子定理） 设X,Y是Banach空间，TLX,Y是双射，则T1LY,X。

证明：由定理3.17知T是开映射，又因T是X到Y的双射，所以T1是Y到X上的连续线性算子，即T1LY,X。证毕。

下面通过逆算子定理来说明常微分方程解的连续依赖性。 例3.21 给定k阶线性常微分方程及初值条件

kk1xtPtxtPk1txtPktxtyt1 k100x0x0x其中P,2,iti1,k是0,1上的连续函数。根据常微分方程的理论，对每个连

续函数ytC0,1，上述微分方程均存在惟一解，这里的解连续依赖性是指当左边函数yt做微小变化时，相应的解也做微小的变化。

证明：定义C0,1的一个线性子空间

kC00,1xtx0x0xk100,xt在0,1上k次连续可微

0t1k在C0,1中定义通常的范数ymaxyt，在空间C00,1中定义范数

x1maxxitt0,1,x0txt

i0kk那么C0,1及C00,1在相应范数下均构成Banach空间。定义线性算子T:C0k0,1C0,1为

TxtxktP1txk1tPk1txtPktxt

那么

nTx1Pix1

i1这里PimaxPit，所以T是有界线性算子。据T的定义及例3.21的说明，T0t1k是由C00,1到C0,1上的一一映射，因此，由逆算子定理，T1是有界线性算

子。对任意0，取T1,则只要y1y2时，y1t、y2t相应的解为

x1t、x2t，即y1Tx1,y2Tx2,故x1T1y1，x2T1y2，于是

x1x2T1y1y2T1y1y2

这说明，yt做微笑变动时，其相应的解xt及xt的各阶导函数（直到k阶）也做微小的扰动。

判断一个线性算子是否有界，有时是十分困难的，我们下面介绍通过算子图像特征来判断算子有界的方法，这就是闭图像定理。

在高等数学中，函数yfx的图像是平面上的一条曲线，也就是由平面上的点x,fx组成的集合，我们把这一概念推广到抽象空间。

【定义3.14】 设X,Y是两个赋范线性空间，在XY上定义线性运算为

x,y,x1,y1XY,F

令

x,yx1,y1xx1,yy1,x,yx,y

而对XY中的元x,y定义其范数x,yxy，则XY在此范数下成一赋范线性空间，称为X与Y的乘积赋范线性空间，记作XY,或XY。

显然，如果X,Y是Banach空间，则XY也是Banach空间。

【定义3.15】 设X,Y是两个赋范线性空间，T是DX到Y中的算子，令

GTx,Tx:xD

称GT为映射T的图像，如果GT是XY中的闭集，则称T是闭算子，也称算子T具有比图像。

【定理3.19】 设X,Y是两个赋范线性空间，T是DX到Y中的算子，则

T是闭算子的充要条件是任意点列xnD,若xnx0X,Txny0Y，则

x0D, 且y0Tx0。

证明：必要性。设T是闭算子，当xnD，xnx0X,Txny0Y时，显然xn,TxnGT，而且由等式

xn,Txnx0,y0xnx0Txny0nN

知x0,y0GT，即x0D，y0Tx0。

充分性。任取xn,TxnGT，而且xn,Txnx0,y0XY，由于

maxxnx0,Txny0xn,Txnx0,y0

所以，xnx0X,Txny0Y，再由假设知，x0D且y0Tx0，从而

x0,y0GT，即GT是XY中的闭集。证毕。

注：（1）定义域是闭集的连续线性算子是闭算子。事实上，设X,Y是两个赋范线性空间，T是DX到Y中的连续算子，并且D是Y中的闭集，当

xnD，xnx0X,Txny0Y时，由D的闭性知，x0D，又由T的连续

性知y0limTxnTx0，据定理3.19知T是闭算子。

x（2）当X,Y都是Banach空间，T是DX到Y中的线性算子，而且是闭算子时，T不一定是连续算子。例如XYCa,b,DxtxtC1a,b，显然，D是X的线性子空间，作D到Y的算子如下

dT:xtytxtxtD

dx则T是D到Y的线性算子，而且是闭算子。事实上，设

xnD，xnx0X,Txny0Y

由高等数学知识，可知x0D，且y0Tx0。据定理3.19知T是闭算子，但我们知道T是无界的，故不是连续线性算子。

然而，当算子T的定义域D是X的闭子空间时，有下面注明的闭图像定理。

【定理3.20】（闭图像定理） 设X,Y是Banach空间，T是DX到Y中的线性算子，而且是闭算子，如果D是X的闭线性子空间，则T是连续的。

证明：由是X,Y是Banach空间。因为D是X的闭线性子空间，故D按X中范数是一个Banach空间，又T是线性算子，易知GT是XY的闭线性子空间，从而GT按XY中的范数也是一个Banach空间。做GT到D的算子A如下

A:x,Txxx,TxGT

x,TxGT

显然，A是GT到D上的线性算子，而且

Ax,Txxx,Tx所以A是有界的。又当x1,x2D,x1x2时，必有x1,Tx1x2,Tx2，故A是GT到D上的双射，根据逆算子定理，A1:DGT是有界的，于是

x,Tx从而

A1xA1xxD xD

Txx,TxA1x由此可知，T是有界的。证毕。

由定理3.19的注（1）和定理3.20立即得到：

【推论3.5】设X,Y是Banach空间，T是X到Y中的线性算子，则T连续的充要条件是T是闭算子。

闭图像定理在偏微分方程理论中有很多应用，因为对于微分算子，要直接验证它的连续性往往比较困难，但要验证它是闭算子却比较容易。

习题3.5

1．映射T:R2R为

Txt1试问T是开映射吗？又令

xt1,t2R2

Txt1,0问T:R2R是否为开映射？

xt1,t2R2

2．设X,Y是两个Banach空间，证明X,Y也是Banach空间。 3．试用比图像定理证明逆算子定理。 4．设X是线性空间，

1，

2是X上两个范数，在这两个范数下，X均是

Banach空间，如果存在常数0，使x1x2，则一定也存在常数0，使x2x1（即两个范数等价）。

5．设X,Y是两个Banach空间，TLX,Y,证明存在常数0，使对

xX,Txx的充要条件是KerT且RT是闭集。

6．证明：若闭线性算子的逆算子T1存在，则T1也是闭线性算子。 7．证明比现行算子的零空间KerT是X的闭线性子空间。

3.6 算子谱理论简介

我们在线性代数中学过了矩阵的特征值与特征向量的基本理论，现在把这两个概念推广到Banach空间，建立算子的谱理论。

3.6.1 有界线性算子的谱

为了研究算子的谱，Banach空间一般取复的。

【定义3.16】 设X是复Banach空间，TLX,X，为一复数。 （1）称为T的正则值，如果IT有有界逆算子，即ITLX,Y。用T表示T的正则值组成的集合，称T为T的正则集。对T，称

1RIT为T的预解式。

（2）如果不是T的正则值，则称为T的谱点，全体谱点的集合记为

1T，称为T的谱，对谱中的点又可分为一下三种类型：

○1算子方程ITx有非零解的称为T的特征值或者点谱，相应的非零解称为T的特征值。

○2方程ITx仅有零解，但RITX，而RITX即

IT的值域在X中稠密，则称这样的为T的连续谱；

○3方程ITx仅有零解，但RIT在X中不稠密，则称为T的剩余谱。

对于T的特征值，又如下基本特征： （1）如果是T的特征值，则所对应的特征向量加上零元素正好组成X的一个闭子空间，称这个子空间为的特征子空间。

（2）若ii1,2,则x1,x2,xn线性无关。

,n是T的n个不同的特征值，i对应的特征向量为xi，

证明：

（1）KerITx:ITx正好是的特征子空间，因此是闭子空间。

（2）用数学归纳法来证明。当n1时，特征向量x10，因此线性无关。假设nk时结论成立，即x1,x2,是存在不全为零的常数1,2,xk线性无关。若x1,x2,xk,xk1线性相关，于

k,k1成立

xi1k1ii （3.15）

从而有

k1k1Tixiiixi （3.16） i1i1在式（3.15）两边乘k1得

ii1k1k1ix （3.17）

式（3.16）减去式（3.17）得

xiik1i1k1i

而x1,x2,xk线性无关,所以

11k122k1kkk10

又由式（3.15），必有某个i01i0k0，这样有

ik1

0这与1,2,,k,k1互不相同，矛盾。因此x1,x2,xk,xk1线性无关。证毕。

关于算子的谱有以下基本定理。

【定理3.21】 设X是复Banach空间，TLX,X，则： （１）当T时，是T的正则值。

（２）T是复平面C的开集，T是C的有界闭集。 证明： （1）令ATnn1n0，由于

n0Tnn1n0nTnn11T n0nT注意到T，所以级数收敛，而因LX,X是Banach空间，所以

n0ALX,X。直接验证得

AITITAI

故AIT，即T。

（２）设T，则当由于

1ITITIITIIT

11IT1时，我们来证T。

而 据（1）之证，IIT111IT1

11有有界逆，即IIT存在。

因此ITLX,X，即T。这说明T是开集且是无界的。又TCTT，即T是T的余集，所以T是有界闭集。证毕。

注：当X，T。

c【定义3.17】 记rTmax:T，称rT为算子T的谱半径。 【定理3.22】 谱半径公式

1nnrTlimTx

这个公式的证明需用到算子值解析函数的基本定理，所以略去其证明。 对于有限维空间上的线性算子，谱理论十分简单，要么是正则值，要么是特征值，即谱中仅含有特征值。但是对于无限维空间，其谱集的结构通常十分复杂。

例3.22 取Xlx:xn,nC且n，定义范数

n11xn

n1则X是一个复Banach空间。定义有界线性算子T:XX维xn

yTx

记yn，则10,nn1n2。下式成立：

TC:1 TC:1

且T中没有特征值。

证明：由于

Txnx

n1所以T1。据定理3.21，仅需证明TC:1。设算子方程

ITx的解为xxn，则

1,21,32,当0时，由式（3.18）得

,nn1,0 （3.18）

12n0

于是x即算子方程ITx仅有零解。当0，再由式（3.18），得10，则10，由210，又得20，得20，依次可得

12n0

即x，算子方程ITx仅有零解。这说明T中没有特征值。下证当

1时，均有T。

若0，由算子T的定义，显然ITXX,即T。 若01，来证明RITX。取y1,0,0,，则yX。若存在

xn满足

yITx1,21,于是得

,nn1,

11,210,解得

,nn10,

1但因

1,21,2,n1n11n,

nn1n11n01

所以级数n不收敛，即xX使yITx，故RITX。于是，

n1TC:1。

3.6.2 紧算子的Riesze-Schauder定理

【定义3.18】 设X,Y都是赋范线性空间，线性算子T:XY称为全连续算子（或紧算子），是指T将X的有界集映成Y中的列紧集。

注：全连续算子一定是有界线性算子。但一般逆不真，例如当X为无限维赋范线性空间时，则恒等算子I:XX不是全连续算子。

关于全连续算子的谱理论十分简单，我们有下面著名的Riesze-Schauder定理。

【定理3.23】 设X是复Banach空间，TLX,X，则：

（1）或是以0为聚点的可列集，且非零谱点均是特征值。 T或是有限集，（2）TT*，这里T*是T的共轭算子。

（3）设,分别是T*,T的特征值，则对应的特征子空间L及L*直

交，即若xL，x*L*，则x*x0。

（4）设0是T与T*的特征值，则相应的特征子空间L及L*都是维数相同的有限维空间，且方程ITxy有解的充要条件是y与KerI*T*直交；同样，方程I*T*x*y*有解的充要调教是y*与KerIT直交。

习题3.6

1．设T1,T2LX,X且T11,T21存在，T11,T21LX,X，证明: TT12存在且TTT21T11。 12LX,X，更有TT122．设TLX,X，SLX,X，且S是全连续算子，证明：TS与ST均是全连续算子。

3．设TnLX,X是全连续算子，TLX,X且TnT0n。证明: T也是全连续算子。

4．设TLX,X，若TX是有限维子空间时，证明T是全连续算子。 5．设M是赋范线性空间X的一个子空间，T:XX是有界线性算子，若TMM，则称M为T的不变子空间。

（1）证明T的特征子空间是不变子空间。

（2）设X是n维赋范线性空间，e1,e2,111en是X的一个基，对于线性算子

emT:XX，若Xspane1,e2,的矩阵表达式。

em是T的不变子空间，求T关于基e1,e2,