北京市石景山区2019-2020学年第一学期期末高二数学试题及答案

石景山区2019—2020学年第一学期高二期末试卷

数 学

学校 姓名 学号

本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．如果2,a,b,c,10成等差数列，那么ca

A． 1

B．2

C． 4

D． 8

x2y22．若双曲线1的离心率是

43A．

1 22B．

5 4C．

7 2D．

5 23．抛物线x2y的焦点坐标是

A．(0,)

12B．(0,)

12C．(1,0) D．(1,0)

23L)，那么a8 4．在数列{an}中，a11，anan12(n1，，，A．2

B．

12C．1 D． 2

5．命题“xR,exx”的否定是（ ）

A． xR,exx C． xR,ex≤x

B． xR,exx D． xR,ex≤x

x2236．设椭圆y21的两个焦点为F1，F2，且P点的坐标为(,)，

222则|PF1||PF2| A．1

高二数学试卷第1页（共10页）

B．2 C．2 D．22

7. 如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐

uuuur标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是

A．(0,3,2) B．(0,4,2) C．(4,0,2) D．(2,3,4)

AxA1DzD1 BB1C1Cy8．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，

a2n1a2n0”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B. 必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

urrrur9．设平面的法向量为n，直线l的方向向量为m，那么“m,n60”是“直线l与平面夹角为30”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B8

B1

B2

B3

B4 B7

B6

10．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个

全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱 底面8等份，当灯笼的底面半径为0.3米时，则图中 直线A8B2与A2A6所在异面直线所成角的余弦值为 A．B5

6 12B．6 6

A1 A2

A8 A3

A4 A7

A6

A5

3C．

36D． 3

第Ⅰ卷（非选择题 共60分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．

rr11．在空间直角坐标系中，已知a(1,2,0),b(1,0,2), 那么cosa,b______.

12. 已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a21，a3a46 .设数列ann的前

n项和为Sn，那么S4______S5（填“>”、“<”或“=”），理由是_____________.

高二数学试卷第2页（共10页）

13. 甲、乙两位同学分别做下面这道题目：

在平面直角坐标系中，动点M到F(0,2)的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹. 甲同学的解法是：

解：设M的坐标是(x,y)，则根据题意可知 2x2(y2)2|y|2，化简得x4(|y|y). ① 当y0时，方程可变为x0， ① 这表示的是端点在原点、方向为y轴正方向的射线，且不包括原点. ① 当y0时，方程可变为x8y， ① 2这表示以F(0,2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线. ① 所以M的轨迹为端点在原点、方向为y轴正方向的射线，且不包括原点和以F(0,2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线. 乙同学的解法是：

解：因为动点M到F(0,2)的距离比M到x轴的距离大2， ① y 如图，过点M作x轴的垂线，垂足为M1. 则|MF||MM1|2. 设直线MM1与直线y2的交点为M2. 则|MM2||MM1|2. ① 2OM2M1x-2FM 即动点M到直线y2的距离比M到x轴的距离大2， ① 所以动点M到F(0,2)的距离与M到直线y2的距离相等. ① 所以动点M的轨迹是以F(0,2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线. ⑤ 甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”），

他的解答过程是从_____处开始出错的（请在横线上填写① 、①、①、① 或① ）.

高二数学试卷第3页（共10页）

14．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段

l的距离，记作d(P,l).

请你写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合{P|d(P，l1)d(P，l2)}， 其中l1AB，l2CD，A，B，C，D是下列两组点中的一组． 对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分，① 5分． ① A(1,3)，B(1,0)，C(1,3)，D(1,0)． ① A(1,3)，B(1,0)，C(1,3)，D(1,2)．

你选择第_____种情形，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合_____________. 三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）

已知数列{an}是等差数列，满足a11，a3，数列{bnan}是公比为2等比

5数列，且b22a22．

（①）求数列{an}和{bn}的通项公式； （①）求数列{bn}的前n项和Sn．

16．（本题满分8分）

如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，APAB2，

E,F,G是BC,PC,CD的中点.

（①）求证：BG①平面PAE；

（①）在线段BG上是否存在点H，使得FH//平面PAE？ 若存在，求出

高二数学试卷第4页（共10页）

PFAGBECDBH的值；若不存在，说明理由. BG

17．（本题满分8分）

yx1 已知椭圆C的焦点为F1(2,0)和F2(2,0)，长轴长为4，设直线

交椭圆C于A，B两点. （①）求椭圆C的标准方程；

（①）求弦AB的中点坐标及弦长． 18．（本题满分8分）

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC2,ABBC，且ABBC,O为AC中点，

A1O平面ABC.

（①）求二面角C1AA1B的余弦值；

（①）求直线AC1与平面A1ABB1所成角的正弦值.

19.（本题满分8分）

A1C1B1AOCBx2y2已知椭圆E:221(ab0)，B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭

ab圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1、B2的点，△B1F1B2是边长为4的等边三角形．

（①）写出椭圆的标准方程；

（①）设点R满足：RB1PB1，RB2PB2．求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．

20.（本题满分8分）

已知ann，bn2n1，记cnmax{b1a1n,b2a2n,,bnann}

(n1,2,3,)，其中max{x1,x2,,xs}表示x1,x2,,xs这s个数中最大的数．

（Ⅰ）求c1,c2,c3的值； （①）证明{cn}是等差数列.

高二数学试卷第5页（共10页）

石景山区2019-2020学年第一学期高二期末

数学试卷答案及评分参考

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 D 7 A 8 B 9 A 10 B 二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分． 11．

1； 12．<, a5530； 13． 乙，②； 5y0)，直线yx1(x1)． 14．①，y轴；②y轴非负半轴，抛物线y24x(2剟三、解答题：本大题共6个小题，共48分． 15．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）因为数列{an}是等差数列，满足a11，a53，

所以公差da5a11. 51 所以数列{an}的通项公式为ann2. ……2分 因为b22a22，a20， 所以b2a22，

又因为数列{bnan}是公比为2等比数列，

n1 所以bnan2. ……4分

n1 所以bn2n2. ……5分

（Ⅱ）Snb1b2bn

(12L2n1)(12Ln)2n2n1n(n1)2n.2

……8分

高二数学试卷第6页（共10页）

16．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥PABCD底面是正方形，且PA平面ABCD，

以点A为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z轴建立如图 所示空间直角坐标系. ……1分 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),，

C(2,2,0),D(0,2,0)，

因为E,F,G是BC,PC,CD的中点， 所以E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0)，

所以BG(1,2,0)，AP(0,0,2),AE(2,1,0),

所以BGAP0，且BGAE0. ……3分 所以BGAP，BGAE，且AEAPA.

所以BG⊥平面PAE. ……4分

（Ⅱ）假设在线段BG上存在点H，使得FH//平面PAE.

设BHBG(01)， ……5分 则FHFBBHABAFBG(1,21,1). 因为FH//平面PAE，BG⊥平面PAE，

所以FHGB(1)(12(21)0(1)530. ……6分

3. ……7分 5BH3. 所以，在线段BG上存在点H，使得FH//平面PAE.其中

BG5所以

……8分

高二数学试卷第7页（共10页）

17．（本题满分8分）

2(2,0)，长轴长为4， 解：（Ⅰ）因为椭圆C的焦点为F1(2,0)和F所以椭圆的焦点在x轴上，c所以b2. 2,a2. ……2分

x2y2所以椭圆C的标准方程1. ……3分

42（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB线段的中点为M(x0,y0)，

x22y24,由得3x24x20,0, ……4分 yx1,42所以x1x2,x1x2， ……5分

3321所以x0,y0x01,

3321所以弦AB的中点坐标为(,)， ……6分

3345. ……8分 |AB|1k2(x1x2)24x1x2318．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）联结OB，因为ABBC，所以OBAC.

又因为A1O平面ABC，

所以以点O为坐标原点，OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系. ……1分 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,0,0),A1(0,0,3),

uuuruuur所以AA,0,3),AB(1,1,0). 1(1设平面A1ABB1的法向量为n1(x1,y1,z1)，

n1AA10,x13z10, 则即xy0,n1AB0,11令z11，则n1(3,3,1). ……3分

易知平面AA1C1C的法向量n2(0,1,0)， ……4分

cosn1,n2n1n2|n1||n2|21. 721. ……5分 7所以二面角C1AA1B的余弦值为

高二数学试卷第8页（共10页）

（Ⅱ）设直线AC1与平面A1ABB1所成角为，

uuuuruuur CC1AA,0,3), 1(1uuuuruuuruuuur AC1ACCC1(3,0,3). ……6分

uruuuur|n1AC1|7ruuuur. 则sinu|n1||AC1|7所以直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为

19.（本题满分8分） 解：（Ⅰ）因为△B1F1B2是边长为4的等边三角形，

所以b2,c23. ……2分 所以a4.

7. ……8分 7x2y2所以，椭圆的标准方程为1 ……3分

164（Ⅱ）设直线PB1，PB2的斜率分别为k,k'，则直线PB1的方程为ykx2．

由RB1PB1，直线RB1的方程为xk(y2)0．

2y2x 将ykx2代入1，得4k21x216kx0， 164k． ……4分 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以xP1624k1 所以k'yP21 . ……5分 xP4k 由RB2PB2，所以直线RB2的方程为y4kx2． ……6分 xk(y2)0k． ……7分 由 ，得xR424k1y4kx2 所以

SPB1B2SRB1B216k2xP4k14． ……8分 4kxR4k21

高二数学试卷第9页（共10页）

20.（本题满分8分）

解：（Ⅰ）易知a11，a22，a33且b11，b23，b35

所以c1b1a1110, ……1分

c2max{b12a1,b22a2}max{121,322}1， ……2分

c3max{b13a1,b23a2,b33a3}max{131,332,533}2.

……3分

（Ⅱ）下面证明：对任意nN*且n≥2，都有cnb1a1n． ……4分

当kN*且2≤k≤n时，

(bkakn)(b1a1n)[(2k1)nk]1n

(2k2)n(k1)(k1)(2n)

因为k10且2n≤0

所以(bkakn)(b1a1n)≤0(b1a1n)≥(bkakn)． ……6分 因此对任意nN*且n≥2，cnb1a1n1n，则cn1cn1． ……7分 又因为c2c11，

故cn1cn1对nN*均成立，从而{cn}是等差数列. ……8分

【若有不同解法，请酌情给分】

高二数学试卷第10页（共10页）