1．在平面直角坐标系中，二次函数y=3x2−3x﹣2√3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
2√34√3
（1）求△ABC的周长；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，当△BPC面积最大时，在x轴下方找一点Q，使得AQ+BQ+√2PQ最小，记这个最小值是d，请求出此时点P的坐标及d2．
（3）在（2）的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y'，当y经过点A时，将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D'为曲线N的顶点，将△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，在平面内是否存在点T，使以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出O'的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）y=
2√324√3x−x﹣2√3，令x＝0，则y＝﹣2√3，令y＝0，则x＝﹣1或3， 33故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣2√3）， 故：AB＝4，BC=√21，AC=√13， 故△ABC的周长为4+√21+√13； （2）如图1，设点P（m，
2√324√3m−m﹣2√3），过点P作PE∥y轴交BC于点E，
33
将点B、C坐标代入一次函数y＝kx+b并解得
直线BC的表达式为：y=3x﹣2√3，点E（m，m﹣2√3），
3
132√32√34√339√3S△PBC=2×OB×PE=2（m﹣2√3−3m2+3m+2√3）=−√3（m−2）2+4，
3
2√32√3 第 1 页 共 11 页
∵−√3＜0，故当𝑚=2时，S△PBC有最大值
3
9√3，此时，点P（，−2）， 42
3
5√3在x轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ，将△PQB绕点P顺时针旋转90°到△PQ'B'位置，连接QQ'．
∴B'Q'＝BQ，QQ'=√2𝑃𝑄，
故AQ+BQ+√2PQ＝AQ+B'Q+QQ'，AQ+BQ+√2PQ最小，则A、Q、Q'、B'在同一直线上，∠PQQ'＝45°．
由点的坐标90°旋转规律可得： ∵B为（3，0），P（，−
23
5√3）， 23+5√32
∴B'坐标为（
3+5√32
，−），
∴直线AB'的表达式为y=−
6−√36−√3𝑥+ 553+5√323+5√32
）+（）＝46+20√3； 22
𝑑2=(𝐴𝑄+𝐵𝑄+√2𝑃𝑄)2=(𝐴𝐵′)2=（﹣1−（3）存在，点O′的横坐标为
1√5−1√5+19+√2019−√201或−2或或或； 2121215
3
5√3设直线AP解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），P（，−2）代入得{35√3，
2𝑚+𝑛=−22−𝑚+𝑛=0
𝑚=−√3解得{，
𝑛=−√3∴直线AP解析式为𝑦=−√3𝑥−√3，令x＝0，得y=−√3， ∴R（0，−√3），
∵y=3x2−3x﹣2√3=3（x﹣1）2−3，∴抛物线y的顶点为（1，−3）， 分别过A、P作AH⊥x轴，PH⊥y轴，AH=过点A，即向左平移个单位，
25
5√35
，PH=，抛物线y沿射线PA平移且经222√34√32√38√38√3向上平移
5√3个单位； 2
√3√32√333
(𝑥+)2−，顶点为（−，−）， 32626∴平移后的抛物线解析式为𝑦′=∴D′（−2，3
√3）， 6
由题意，△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，∵−√3t），
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𝐴𝑂𝑂𝑅
=
1√3，∴设平移后的点O′（t，
以点D'、R、O'、T为顶点的四边形为菱形，可以分三种情况： ①O′D′＝D′R ∴（t+）2+（−√3t−解得：𝑡1=∴𝑂′1(2√5−1√5−132√36）2＝（）2+（−√3−
2
3
√36）2，
，𝑡2=2−√5−1， 2，−√15+√3−√5−1√15+√3)，𝑂′(，2)； 222②O′R＝D′R
∴𝑡+(−√3𝑡+√3)=（）2+（−√3−
2
2
32
√36）2，
解得：𝑡3=∴𝑂′3(
9+√2019−√201，𝑡=， 412129+√2013√3+√679−√201√67−3√3，−)，𝑂′(，)； 4124124③O′D′＝O′R
∴𝑡2+(−√3𝑡+√3)2=(𝑡+2)2+(−√3𝑡−6)2，解得：𝑡=15 ∴𝑂′5(15，−15)；
1
√33√31
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2．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足AC条件的长； （2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC＝90°． ①求证：△ABC为比例三角形； ②求
𝐵𝐷𝐴𝐶
的值．
（3）若以点C为顶点的抛物线y＝mx2﹣4mx﹣12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n−√3≤−﹣40√3y0+298成立，求实数n的最大值．
16√3my023
解：（1）∵AB＝2，BC＝3 ∴1＜AC＜5
𝐴𝐵24①若AB＝BC•AC，则AC=𝐵𝐶=3
2
𝐵𝐶9
②若BC＝AB•AC，则AC=𝐴𝐵=2 2
2
③若AC2＝AB•BC＝6，则AC=√6 综上所述，满足条件的AC的长为，，√6．
3
24
9
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（2）①证明：∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠DBC ∴∠ABD＝∠ADB ∴AB＝AD
∵点A在以BC为直径的圆上 ∴∠BAC＝90°
∵∠BAC＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠DAC ∴△ABC∽△DCA ∴
𝐵𝐶𝐴𝐶
=
𝐴𝐶𝐷𝐴
∴AC2＝BC•DA＝BC•AB ∴△ABC为比例三角形
②∵∠BAC＝∠CDA＝90°，AB＝AD ∴BC2＝AB2+AC2，AC2＝AD2+CD2＝AB2+CD2 ∵AD∥BC
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝90°
∴BD2＝BC2+CD2＝AB2+AC2+AC2﹣AB2＝2AC2 ∴BD=√2AC ∴
（3）∵y＝mx2﹣4mx﹣12m＝m（x﹣2）2﹣16m（m＜0） ∴抛物线开口向下，顶点C（2，﹣16m） ∵y＝0时，mx2﹣4mx﹣12m＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝6
∴A（﹣2，0），B（6，0），AB＝8
∴AC＝BC=√(2+2)2+(−16𝑚)2=4√1+16𝑚2 ∵△ABC是比例三角形 ∴AB2＝BC•AC或AC2＝AB•BC
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𝐵𝐷𝐴𝐶
=
√2
∴AB＝AC ∴4√1+16𝑚2=8 解得：m1=
√34（舍去），m2=−
√3√34 √3∴抛物线解析式为y=−4x2+√3x+3√3=−4（x﹣2）2+4√3 ∵M（x0，y0）在抛物线上 ∴y0≤4√3 设z=−
16√3my02﹣40√3y0+298＝4y02﹣40√3y0+298＝4（y0﹣5√3）2﹣2 3∴当y0≤4√3时，z随x的增大而减小
∴y0＝4√3时，z最小值＝4×（4√3−5√3）2﹣2＝4×3﹣2＝10 ∵n−√3≤z恒成立，即n−√3≤10 ∴n的最大值为10+√3
3．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称． （1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式：
（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
解：（1）∵A（﹣1，0） ∴OB＝OC＝3OA＝3 ∴B（3，0），C（0，3）
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过点A、B、C
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𝑎−𝑏+𝑐=0𝑎=−1∴{9𝑎+3𝑏+𝑐=0 解得：{𝑏=2 0+0+𝑐=3𝑐=3
∴抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴抛物线L1的顶点D（1，4）
∵抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称
∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线L2的顶点D'与点D关于直线x＝2对称 ∴D'（3，4）
∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4
（2）存在满足条件的P、Q，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
设抛物线L1上的P（t，﹣t2+2t+3） ①若四边形BCPQ为平行四边形，如图1， ∴BQ∥PC，BQ＝PC
∴BQ可看作是CP向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的 ∴Q（t+3，﹣t2+2t） ∵点Q在抛物线L2上 ∴﹣t2+2t＝﹣（t+3﹣3）2+4 解得：t＝2
∴P（2，3），Q（5，0）
②若四边形BCQP为平行四边形，如图2， ∴BP∥CQ，BP＝CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的 ∴Q（t﹣3，﹣t2+2t+6） ∴﹣t2+2t+6＝﹣（t﹣3﹣3）2+4 解得：t=5 ∴P（
19
19
，−25），Q（，−25） 55
19
96
4
21
综上所述，存在P（2，3），Q（5，0）或P（
，−25），Q（，−25），使得以BC为
55
96
4
21
边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
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4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝2√3，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．
（1）证明：连接OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA，
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∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°， 即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径， ∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r， 在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2， ∴r2+（2√3）2＝（6﹣r）2， 解得：r＝2， ∴OB＝4，OD＝2， ∴OD=OB， ∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，
160𝜋×22𝜋
∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF=×2 √3×2−=2√3−．
236032
1
2
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
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（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， 即OD垂直平分BC， ∴EC＝EB， 在△OCE和△OBE中 𝑂𝐶=𝑂𝐵{𝑂𝐸=𝑂𝐸， 𝐸𝐶=𝐸𝐵
∴△OCE≌△OBE（SSS）， ∴∠OBE＝∠OCE＝90°， ∴OB⊥BE， ∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x， 在Rt△OBD中，BD=2BC＝2√3，
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1
∵OD2+BD2＝OB2，
∴（x﹣2）2+（2√3）2＝x2，解得x＝4， ∴OD＝2，OB＝4， ∴∠OBD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴OE＝2OB＝8，
∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．
（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°， ∴在Rt△OBE中，BE=√3OB＝4√3， ∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC
1120⋅𝜋×42
＝2××4×4√3−，
2360＝16√3−
16𝜋
． 3 第 11 页 共 11 页
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