3.1空间向量及其运算 教材解读

空间向量及其运算学习指导

江苏 黄良怀

一、要点归纳

1． 共线向量定理：对空间任意两个向量a,b（b0）,a,b共线即ab的充要条件是存在

实数，使ab．该定理也可以从数量积的角度理解为：ab的充要条件是

|ab||a||b|，这里的两个向量没有任何条件．

注意点：共线向量就平行向量，这是同一个概念，a,b就是指两条有向线段所在的直线既可

能是同一直线，也可能是平行直线，反之也对．共线向量定理可分解成两个命题：对空间任

意两个向量a,b（b0），①ab存在惟一的实数，使ab；②存在惟一的实数，使abab．

2． 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，其实质上也是

一致的．共面向量定理是：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数组x、y，使pxayb．

注意点：①是这里的a与b是不共线；②是p与向量a,b共面，不一定都是向量p所在的直

线与向量a,b所确定的平面平行，也可能是在向量a,b所确定的平面内．

3． 空间向量的基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在

一个惟一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc．

注意点：定理中的条件是“三个向量a、b、c不共面”中所隐含的条件是三个向量均为

非零向量．

4． 空间向量的坐标运算

空间直角坐标系比平面直角坐标系多了一个竖坐标轴，实际上空间向量的坐标运算可类比平面向量的坐标运算，具有类似的运算法则，只不过则二维坐标变成了三维坐标而已，运算法则基本都相同.如：空间向量的模长公式、两点间距离公式、中点坐标公式等等与平面向量都一致，可以类比着记忆．

注意点：对于非零向量a、b，类比平面向量的垂直可得abx1x2y1y2z1z2=0；但是对向量a、b（b0），在平面向量中我们有abx1y2x2y10，对于空间向量，

就不能有类似的结论，这一点要小心，但对ab我们还有可以类比对应坐标成比例的, 所

以得：

x1x2； aby1y2（其中a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)0,R）

zz21二、友情提醒

1． 在判断两个向量平行时，许多同学容易认为“ab的充要条件是存在实数，使ba”

而忽略了条件a0，当然不只是在空面向量中特有的，在平面向量中也是这样．

2． 在运用共面向量定理时，定理的前提条件“向量a、b不共线”要特别关注．

3． 在进行向量的数量积的运算时，结合律与消去律仍然是不成立的，即：

bacbc． a(bc)(ab)c，a4． a b0a=0或b0．很容易我们有当a、b均为非零向量且互相垂直时，ab0．

5． |a||b|ab或ab．|a||b|就是向量a、b模相等，或者说是长度相等．

6． 在具体的解有关数量积的问题中要注意：①不要把两向量的夹角弄错（通常是会将夹角

的补角误以为是夹角）要避免此类错误的发生就要在判断两向量的夹角时一定要看清向

量的方向；②将0与实数0混淆，要避免出错就要弄清运算的结果是向量还是实数．

三、范例分析

例1． 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中 点NAC，且AN：NC=2，求证：A1、B、N、M四点共面． 分析：欲证A1、B、N、M四点共面，根据共面向量定

D1 A1

B1

C1

M

理，只要能找到实数x、y使A即可． A1ByAM1Nx1证明：连结A1M，A1N，A1B，设AA1c,ABa,ADb，则A1Bac

A

D N B C

11∵M是DD1的中点，∴AMA1D1D1M=ADA1Abc 1222222∵AN:NC2，∴ANAC(ab)，∵A1NANAA1abc

333322122(ac)(bc)A1BA1M 33233又AB不共线，∴A共面且具有公共起点A 1与AM11N,AB1,AM1∴A1、B、N、M四点共面

点评：证明四点共面，结合图形，充分运用向量的加法和数乘运算，依据共面向量定理先得到向量共面，再根据这些向量共起点（也可以两两共点）得四点共面．

例2．在正三棱柱ABCA1B1C1中，(1)已知AB1BC1，求证：AB1A1Ｃ；(2)当AB=2，AA1=4时，求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．

解：(1)设AB=a，AC=b，AA1=c，则AB1=a+c，BC1=ba+c，A1C=bc．

∵AB1BC1，∴(a+c)(ba+c)=0，即c2a2+ab=0．

1又设AB=AC=x， AA1=h，则h2x2+x2=0，∴x2=2h2．

2212222

AB1A1C=(a+c)(bc)=abc=xh=hh=0．

2设异面直线BC1与A1C所成的角为， 则cos=|cos|=BC1A1CBC1A1CA1

B1 C1

(2)|BC1|=|AC1|=20，BC1A1C=(ba+c)(bc)=b2c2ab=14

A

C B

=7． 107． 10点评： 在求解有关数量积的问题时，常见错误：把两向量的夹角弄错，常常会将夹角的补角误认为夹角，本题是异面直线所成的角，不管是夹角还是夹角的补角，余弦值均为正即异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为

值．本题如果是求BC1与AC1所成角的余弦值那是多少那就

不一样了．

例3.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,O是

A1

D1

O B1

C1

B1D1的中点.

求证:B1C∥面ODC1.

分析:要证明B1C∥面ODC1,只需证明B1C∥面ODC1,进一步只需证明B1C与面ODC1中的一组基向量共面.

证明:设C1B1a,C1D1b,CC1c,因为B1BCC1为平行四边形,

A

D B

C

11∴B1Cca,又O是B1D1的中点,∴C1O(ab),OD1C1D1C1O(ba)

22D1D∥CC1,D1DCC1,∴D1DC1C,

1∴ODOD1D1D(ba)c,

2若存在实数x,y,使B1CxODyOC1(x,yR)成立,则

1111cax(ba)cy(ab)(xy)a(xy)bxc

2222

12(xy)1x11因为a,b,c不共线,(xy)0,∴.

2y1x1∴BCODOC1,所以B1C,OD,OC1是共面向量, 1因为B1C不在OD,OC1所确定的平面内,

∴BC1,又B1C面ODC1, 1∥面ODC∴B1C∥面ODC1.

点评：用向量方法证明空间的直线与平面平行的问题，可以转化为证明三个向量共面，但这里需要说明的是向量所在的直线不在平面内．

例4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，（1）EF的长（2）求cos，(3)求证EF⊥DA1

分析：建立空间直角坐标系．利用向量坐标进行运算，计算相应的向量．

证明：如图建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，

0），E（2，2，1），F（1，1，2），A（2，0，0），EF=（－１，－１，１）， 222∴|EF|=(1)(1)13 ∵AD=（－2，0，0），

A1 D1 ｚ F B1 E C1 ADEF=2(1)0(1)012

EFAD23∴cos< EF，AD >= 3|EF||AD|23∵DA，DAEF2(1)0(1)210 1=（2，0，2）1D A x B C y ∴DA1EF

b0来证明ab，即证明a,b所在的直线垂直，点评：应用向量的坐标运算，计算a比较简．设棱长为２，可使题中涉及的向量的坐标更简单，从而减少了运算量．