中学教学参考 复习指津 圆锥曲线焦点弦的六个性质 广西贺州高级中学（５４２８００） 莫记福 高中所学的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的焦 点弦有许多共同的性质，本文研究其中的六个性质及其 简洁证明，供读者参考．首先要指出的是，本文研究的双 分别为Ｍ、Ｎ，设ＡＮ、ＢＭ与３７轴分别交于点Ｐ、Ｑ，则： ｌＦＰＩ ｆＢＮ｛ ＩＡＦｌ ｝ＡＢ； 曲线的焦点弦是指过焦点且端点在同一支上的弦． 性质一：圆锥曲线过焦点的所有弦中，通径最短． ～２ ．．２ 对于椭圆，证明如下：如图１，设椭圆方程为 “ ＋芬 ＝１（ａ＞ｂ＞０），右焦点为Ｆ（ｃ，０），右准线Ｚ的方程为ｚ一 ，．２ ，ｚ与 轴交于点Ｅ，过焦点Ｆ作一直线与椭圆交于 Ｌ Ａ、Ｂ两点，记ＡＢ的中点为Ｃ，分别过点Ａ、Ｂ、Ｃ作直线ｚ 的垂线ＡＭ、ＢＮ、ＣＤ，垂足分别为Ｍ、Ｎ、Ｄ，则由椭圆的 第二定义得： ＩＡＢｌ—Ｉ ＡＦ１＋ｌ ＢＦｌ Ｊ Ｚ 一（１ＡＭ｛＋ｌ ＢＮ｛）ｅ 。～＼ Ｍ 一２ １ ＣＤ １ ｅ≥２ ｌ ＦＥ ｌ ｅ一 Ｆ ｏ Ｄ ２（ 一ｃ） ｃ 以 日 Ⅳ ２ 一 图１ ０１．２ 当且仅当ＡＢ￣３７轴时，ｌＡＢｌ有最小值 ，即通径 最短． 对于双曲线和抛物线，证明类似． 性质二：以椭圆的焦点弦为直径的圆与该焦点相应 的准线相离；以双曲线的焦点弦为直径的圆与该焦点相 应的准线相交；以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切． 证明：设过焦点Ｆ的弦为ＡＢ，ＡＢ的中点为Ｃ，则以 ＡＢ为直径的圆的圆心为Ｃ点，半径 一 ，且Ｃ点 到与焦点Ｆ相应的准线的距离ｄ一 幽一 ｌＡＢｌ一，一 。 对于椭圆，０％ｅ％１，因而ｄ＞ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相离； 对于抛物线，Ｐ一１，因而ｄ＝ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相切； 对于双曲线，ｅ＞ｌ，因而ｄ％ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相交． 性质三：设过圆锥曲线的焦点Ｆ的弦的端点Ａ、Ｂ 在该焦点相应的准线上的射影分别为Ｍ、Ｎ，该准线与 对称轴（椭圆为长轴，双曲线为实轴）的交点为Ｅ．若 ＡＭ、ＢＮ相交，则交点平分ＥＦ． ２ ．２ 对于椭圆，证明如下：如图２，设椭圆方程为 ＋繁 一１（ａ＞６＞Ｏ），右焦点为Ｆ，右准线为ｚ，ｚ与３７轴交于点 Ｅ，过焦点Ｆ作一不与 轴重合的直线与椭圆相交于Ａ、 Ｂ两点，分别过Ａ、Ｂ两点作准线ｌ的垂线ＡＭ、ＢＮ，垂足 ４０ 中学教学参考２０１３年５月 总第１５８期 ｆ １ＡＭｌ ｅ ｌＡＭ１ （ｉＭＡｆ＋ｆ ＢＮｆ）ｅ ｆＡＭ｛＋ｉ ＢＮｌ Ｉ ＰＥＩ—ｌ ＮＰＩ—Ｉ ＢＦｌ ｆＡＭ｛ ｌＮＡｆ ｌＡＢＩ ＩＢＮＩ ｅ ＩＢＮｌ （１ＡＭ１＋Ｉ ＢＮ１）Ｐ ＩＡＭｌ＋ｌ ＢＮＩ 因此，ｌ ＦＰ ｌ—Ｉ ＰＥ ｌ一 Ｚ ｊ ＡＭ 】＋Ｊ ＢＮ ｌ’—、＼ ， 即Ｐ为ＥＦＦＡ－７ 的中点． 。 Ｅ三 同理可证，Ｑ为ＥＦ的中 Ⅳ Ｂ 点，即ＡＮ、ＢＭ的交点平分 ＥＦ． 图２ 对于双曲线和抛物线，证明类似． 性质四：圆锥曲线的焦点弦被相应焦点分成的两条 线段的长的倒数和是定值。且这个定值为通径长的倒数 的４倍． ２ ～对于双曲线，证明如下：如图３，设双曲线方程为 “ ．２ １—１（Ⅱ＞Ｏ，２ Ｆ Ｌ，．６＞０），右焦点为，右准线为ｚ，ｚ与 轴 交于点Ｅ，过焦点Ｆ作一直线与双曲线的右支相交于 Ａ、Ｂ两点，过Ｂ点作准线ｚ的垂线ＢＮ，垂足为～，设 ＡＮ与ｚ轴交于点Ｐ，则根据性质三可知，点Ｐ为ＥＦ的 中点，所以： 一ＩＡＦｔ一幽一— 一生一 ＩＡＢＩ Ｉ ＮＢｌ 。魁 ２ ｉ ＢＦＩ ｅ × ｙ ａｃ ｏ， 一 一丽’ ＼ ｌ ． １￡Ｌ ｌ旦￡！一 一 ｌＡＢｌ ２ａ’ ｏ ． 上一 一 ｌＡＦ Ｊ Ｊ ＢＦｌ 图３ ＩＡＦｌ＋Ｉ ＢＦｌ— ｌＡＢｌ — ｊＡＦ Ｊ・！ＢＦ！ ｝ＡＦ Ｊ・｛ＢＦ Ｊ （通径长为 ）． 对于椭圆和抛物线，证明类似． 性质五：设过圆锥曲线的焦点Ｆ的弦ＡＢ与对称轴 （椭圆为长轴，双曲线为实轴）的夹角为 ，ＮＡ－Ｘ￣＝Ｘ商， 则ｃ。ｓ 一 （ｅ为离心率）． ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ 复习指津 浅探中考数学复习的策略 广西南宁市新阳中路学校（５３０００３） 宁小薇 中考数学不仅是选拔性考试，更是对学生初中三年 学生在相互交流中各抒己见，互献智慧，由被动学习变 所学数学知识、数学技能和数学综合能力的全面检查． 为主动学习、主动探究，每个学生都有展示才华的机会， 在中考数学复习中，改进复习方法，提高复习效率，是初 使学生在良好的教学情境中以最佳心理状态和思维状 三数学教师的重要任务．那么，该如何改进复习策略，构 态学习交流，不仅解决了问题，更丰富了学习方式，提高 建高效课堂呢？对此我进行了探究和实践，下面谈谈几 了学习能力．有时，我特意选一两道巧用基础知识解答 点体会． 的题目，集中学生注意力之后，再慢慢引导分析，或者先 一、根据学生情况。微调复习方法 进行测验，检查存在的问题，然后通过讲评，达到复习的 第一轮复习不是简单的知识再现，而是分块梳理知 效果．在第一轮复习中，根据学生的情况微调复习方法， 识，使之形成网络结构，进而提高综合运用能力．教师一 很好地让学生过了“三关”：记忆关，做到记牢记准所有 方面要做好学生的思想工作，让他们提高对复习的认 的公式、定理等；基本方法关，如解分式方程等；基本技 识；另一方面，应采用灵活的复习方法，构建和谐、民主 能关，即给一个题，知道该用什么办法尝试解决，较好地 的课堂，让学生愉悦、自主、创造性地学习，充分发挥学 把教材中的知识进行了归纳整理、分线组块，形成网络 生的主体意识和潜在的能力． 结构，使课本知识系统化，解题思路经验化，思想方法渗 第一轮基础复习通常是把精力放在基本知识、基本 透化． 题型、常规解题方法和常见的数学思想方法上面，不过 二、教师适当减压，用好现成的资料 分地追求特殊方法、技巧，不提倡将力气花在钻研难题 中考数学重视对能力的考查，重点考查数学基础知 上．在基础较好的班级，较多学生表现出不耐烦情绪，觉 识和基本技能，以及数学思想和方法．关注对教材例题、 得基础复习枯燥无味，为了调动学生学习的积极性，课 习题的考查，能够结合实际背景和相关学科中的数学问 上我让学生轮流到黑板上写题、说题，然后我加以点评． 题，对数学知识本身的意义进行理解和应用． 证明：如图４，设椭圆方程为 ＋ 一１（ａ＞６＞ｏ）， 当 ≠ｏ时，对ｙ２ ２ ｚ求导得 一 ． 过右焦点Ｆ作一直线与椭圆交于Ａ、Ｂ两点，分别过Ａ、 设Ａ（ｘ ，Ｙ ），Ｂ（ｘ ，Ｙ ），则抛物线上在点Ａ和点Ｂ Ｂ两点作右准线Ｚ的垂线ＡＭ、ＢＮ，垂足分别为Ｍ、Ｎ． 处的切线方程分别为： 当Ｏ＜Ａ＜Ｉ时，过点Ａ作ＡＣ上ＢＮ，垂足为Ｃ，则： 一 （ｚ—ｚ ）＋ 和 一一 （３３－－Ｘ２）＋ ｚ……① １ ＢＣ １一｛ＢＮ １—１ ＡＭ １一 一 因为Ｙ 一２ｐｘ１，Ｙ；一２ｐｘ２所 ｆ ‘ 雨１ ＩｎＢＩ一 ｌＡＢ 以①可化为： 一（１一 ）ＩＡＢＩ 一— 干 ’ Ｙ１ ３，一 （ｚ＋ １）和Ｙ２ —Ｐ（ｚ ＋ｚ２）． 、） ； 又‘．’ｌＢＣｌ—ｌＡＢｌ ｃｏｓＯ，．’． ｙ 设Ｍ（ｘｏ，Ｙ。），则由Ｍ是两切 ｆ ｃ。ｓ 一 ． —＼ ． Ｆ 一 、 线的交点得： 图５ 同理可证，当 ≥１时，命 ｏ Ｅｉ ｆＹｏＹＩ—ｐ（ｘｌ十ｚｏ）， ． 题也成立． 一日 Ｃ ．７、ｒ ｌＹｏＹ２一户（ｚ２＋ 。）． 对于双曲线，证明方法相同． 所以直线ＡＢ的方程为： 性质六：设圆锥曲线在过 图４ — （ｚ＋ｚ。）……② 焦点Ｆ的弦的端点Ａ、Ｂ处的两条切线相交于点Ｍ，则 因为直线ＡＢ过焦点Ｆ（等，厶 ０），所以Ｘｏ＝一要，Ｍ点在焦点相应的准线上，且ＦＭ上ＡＢ． 厶 即 对于抛物线，证明如下：如图５，设抛物线的方程为 点Ｍ在抛物线的准线上． 易求得葡 （－－ｐ，Ｙｏ），由②知与 一个方向的向 Ｙ 一２ｐｘ，过抛物线的焦点Ｆ（ ，ｏ）作一直线与抛物线相 量为ｎ一（ ，ｐ）．而葡・ｎ：＝＝０，所以ＦＭ＿［＿ＡＢ． 交于Ａ、Ｂ两点，设以Ａ、Ｂ为切点的抛物线的两条切线 对于双曲线，证明类似。 相交于Ｍ点． （责任编辑黄春香） ４１ Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｃｋｌｋ＠１６３．ｃｏｒｎ