2．2 数轴
【教学目标】
知识与技能
使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度,能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点所表示的数,知道有理数都可以用数轴上的点表示.
过程与方法
在探索数轴画法的过程中,鼓励学生类比、猜想,初步理解数与形的结合.
情感、态度与价值观
向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想.
【教学重难点】
重点:初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴的画法和用数轴上的点表示有理数.
难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系.
【教学过程】
一、复习引入
师:在上课之前老师先提几个问题,看大家学得怎么样?
1.有理数包括哪些数?0是正数还是负数?
2.温度计的用途是什么?类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些?(直尺、弹簧秤等)
数学中,在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零.
演示从温度计抽象成数轴,激发学生学习的兴趣,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的启发,同时把类比的思想方法贯穿于概念的形成过程.
二、讲授新课
1.师:请学生阅读课本第27页,思考并讨论:
(1)25 ℃用正数 表示;0 ℃用数 表示;零下10 ℃用负数 表示;
(2)数轴要具备哪三个要素?
(3)原点表示什么数?原点右方表示什么数?原点左方表示什么数?
(4)表示+2的点在什么位置?表示-3的点在什么位置?
(5)原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?原点向左1个单位长度的B点表示什么数?
2.数轴的画法.
师生共同总结画数轴的步骤:
第一步:画一条直线(通常是水平的直线),在这条直线上任取一点O,叫做原点,用这点表示数0(相当于温度计上的0 ℃);
第二步:规定这条直线的一个方向为正方向(一般取从左到右的方向,用箭头表示出来).相反的方向就是负方向(相当于温度计0 ℃以上为正,0 ℃以下为负);
第三步:适当地选取一条线段的长度作为单位长度,也就是在0的右边取一点表示1,0与1之间的长就是单位长度(相当于温度计上1 ℃占1小格的单位长度).
在数轴上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,这些点依次表示1,2,3,…,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,它们依次表示-1,-2,-3,….
3.数轴的定义.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的选择、单位长度大小的确定,都是根据需要人为规定的,此外,直线也不一定是水平的.
动态演示各种类型的数轴.认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据.
4.数轴上的两个点,左边的点表示的数与右边的点表示的数的大小关系.
数轴上的两个点表示的数,右边的总比左边的大,正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
三、例题讲解
师:同学们,下面我们一起来做几个例题.
【例1】 判断下图中所画的数轴是否正确,如果不正确,指出错在哪里.
分析:原点、正方向、单位长度,数轴的这三个要素缺一不可.
解:都不正确.(1)缺少单位长度;(2)缺少正方向;(3)缺少原点;(4)单位长度不一致.
【例2】 如图,数轴上点A,B,C,D分别表示什么数?
解:点A表示-2,点B表示2,点C表示0,点D表示-1.
【例3】 把下面各小题中的数分别表示在三条数轴上:(1)2,-1,0,-3,+3.5;
(2)-5,0,+5,15,20;
(3)-1500,-500,0,500,1000.
解:要在数轴上表示数,首先要正确画出数轴,标明原点、正方向(一般从左到右为正方向)和单位长度这三要素,然后再表示数,第(1)题,数不大,单位长度取1 cm代表1,第(2)(3)题数较大,可取1 cm分别代表5和500.数轴上原点的位置要根据需要来定,不一定要居中,如第(1)题的原点可居中,第(2)题的原点可偏左,第(3)题的原点可偏右,单位长度也应根据需要来确定,但在同一条数轴上,单位长度不能变.表示某个数的点,在图形上一定要用较大的“·”凸显出来,并且在数轴上写出该点表示的数.这样画出的图形比较合理、美观.
【例4】 借助数轴回答下列问题:
(1)有没有最小的正整数?有没有最大的正整数?如果有,把它标出来;
(2)有没有最小的负整数?有没有最大的负整数?如果有,把它标出来.
解:观察数轴易知:
(1)有最小的正整数,它是1,没有最大的正整数;
(2)没有最小的负整数,有最大的负整数,它是-1.
四、课堂小结
教师引导学生小结:
1.数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了一一对应的关系,它揭示了
数与形之间的内在联系;所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数.
2.画数轴时,原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取,注意不要漏画正方向、不要漏画原点,单位长度一定要统一,数轴上数的排列顺序(尤其是负数)要正确.
3.数轴上两个点表示的数,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
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