圆锥曲线定点问题01

课 题 授课日期 教学目的 圆锥曲线定点问题 2012/9/29 教学内容 一.运用圆锥曲线的定义 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。相关习题必须紧绕定义，尤其是选择与填空题，利用定义往往显得快捷，对于椭圆与双曲线的第二定义，即曲线上一点到定点（焦点）与到定直线（相应的准线）距离之比为定值（离心率），近年来在高考中大题部分不作要求，可以适当降低难度。 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发现，当A、P、F三点共线时， 距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2） 连PF，当A、P、F三点共线时，APPHAPPF最小，此时AF的方程为y 即 y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为( 交点，舍去） （2）（HPFAQB420(x1) 311,2)，它为直线AF与抛物线的另一 21,1） 4 过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQQFBQQR最小，此时Q点的纵坐标为1， 代 入y2=4x得x=11，∴Q(,1) 44x2y21的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 例2、F是椭圆43（1）PAPF的最小值为 （2）PA2PF的最小值为 1 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF。 解：（1）4-5 设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF45（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PF F0′yAFPHx1， 21PH,即2PFPH 2∴PA2PFPAPH a2xA413 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为c例3、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0) 22(x1x2)2(x12x2)9则xx2x 12022x1x22y0由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 2∴4y04x09， 214x024y04x0992(4x1)1 0224x04x012

≥2915, y05 4当4x02+1=3 即 x05225时，(y0)min此时M(,) 4224法二：如图，2MM2AA2BB2AFBFAB3 ∴MM2313， 即MM1， 2425， 当AB经过焦点F时取得最小值。 45 4AA1A2yMB∴MM10M1M2B1B2x∴M到x轴的最短距离为随堂练习： x2y21、已知：F1，F2是双曲线221的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若ABm， ab △ABF2的周长为（ ） A、4a B、4am C、4a2m D、4am 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ） A、y16x B、y32x C、 y16x D、y32x 3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ABAC，点B、C的坐标分别为 (-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ） 2222x2y2x2y21(x0) 1 B、A、4343x2y2x2y21(x0) D、1(x0且y0) C、4343x2y21上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 4、已知双曲线916

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二．定点问题 定点问题，一般转化为方程的解的问题，主要是方程的定解，即无论方程含有什么参数，都有固定的解 例4、 已知抛物线C: x24y，M为直线l:y1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB, 切点分别为A,B. ⑴当M的坐标为(0,1)时，求过M,A,B三点的圆的方程； ⑵证明：以AB为直径的圆恒过点M x2y22例5、已知椭圆C: 221(ab0)的离心率为，且经过点M(2,0). 2ab ⑴求椭圆C的标准方程； ⑵设直线l:ykxm与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，连接MA,MB并延长交直线x4 1111,求证：直线l过定点。 于P,Q两点，设yP,yQ分别为P,Q的纵坐标，且y1y2yPyQ例6、 已知抛物线P:x22py(p0). (I) 若抛物线上的点M(m,2)到焦点F的距离为3. ①求抛物线P的方程； ②设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程； （II）设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并延长分别交抛物线的准线 于C,D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F. 例7、已知动点M到F(1,0)的距离等于它到直线x1的距离. （I） 求点M的轨迹C的方程； CF （II） 过点任意作两条互相垂直的直线l1,l2,分别交曲线于点A,B和M,N.设线段AB,MN的 中点分别为P,Q求证：直线恒过一个定点. 例8、已知定点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(,m),A点到抛物线焦点的距离为1 ( I) 求该抛物线的方程 (II ) 设M(x0,y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ. 求证:PQ恒过定点(x02,y0). （III） 直线xmy10与抛物线交于E,F两点,在抛物线上是否存在点N,使得NEF为 以EF为斜边的直角三角形. 例9、已知椭圆的右顶点为A,离心率过左焦点作直线与椭圆交于点直线分别与直线交于点 (I) 求椭圆的方程. (II) 证明以线段为直径的圆经过焦点F.

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