初一年级数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦

1、如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边

B P D Q C

A 运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇

解：（1）①∵t1秒， ∴BPCQ313厘米，

∵AB10厘米，点D为AB的中点， ∴BD5厘米． 又∵厘米，

∴PC835厘米PCBCBP，BC8， ∴PCBD． 又∵ABAC， ∴BC，

∴△BPD≌△CQP． （4分） ②∵

vPvQ， ∴BPCQ，

又∵△BPD≌△CQP，BC，则BPPC4，CQBD5， ∴点P，点Q运动的时间

tBP433秒，

vQ∴

CQ51544t3厘米/秒． （7分）

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

15x3x210由题意，得4，

x803秒．

解得

80380∴点P共运动了3厘米．

∵8022824，

∴点P、点Q在AB边上相遇，

80∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． （12分）

3yx642、直线与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出

发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当

S485时，求出点P的坐标，并

B y 直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

解（1）A（8，0）B（0，6） 1分

P O Q x

A

（2）OA8，OB6

AB10

88QO1A点由到的时间是（秒） 6102点P的速度是8（单位/秒） 1分

当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQt，OP2t

St2 1分

当P在线段BA上运动（或3t≤8）时，OQt，AP6102t162t,

PDAP486tPD5， 如图，作PDOA于点D，由BOAB，得1分 1324SOQPDt2t255 1分

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

824P，（3）55

1分

82412241224I1，，M2，，M3，555555 3分 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于

A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形

解：（1）⊙P与x轴相切.

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0）， 与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.

13∵△PCD为正三角形，∴DE=2CD=2，PD=3，

33 ∴PE=2.

∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，

33AOPE4,即=2ABPB45PB， PB315,2

3152，

∴

∴

∴

POBOPB8∴

P(0,3158)2，

∴

k31582.

315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－2－8)， 315∴k=－2－8，

315315∴当k=2－8或k=－2－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P

为顶点的三角形是正三角形.

4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

解：

Q D A P 图16

5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

B E C

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

8解：（1）1，5；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP3t．

22由△AQF∽△ABC，BC534，

QFt4QFt5． 得45．∴14S(3t)t25， ∴

26St2t55． 即

B E Q D P

C （3）能．

A ①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°．

AQAPACAB， 由△APQ ∽△ABC，得t3t9t即35． 解得8．

图4

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°．

AQAPABAC， 由△AQP ∽△ABC，得 t3t15t即53． 解得8．

t52t4514．

（4）

或

B Q G ①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． 342(5t)]2222[(5t)][455PCt，QCQGCG． 345t2[(5t)]2[4(5t)]2t55由PCQC，得，解得2．

22D A P C(E) B G 图6 Q D A P C(E)

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

3445(6t)2[(5t)]2[4(5t)]2t55，14】

图7

，B60°，6如图，在Rt△ABC中，ACB90°BC2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合

A E O l C  D C O B

的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为．

（1）①当 度时，四边形EDBC是等腰A B

（备用图）

梯形，此时AD的长为 ；

②当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；

（2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

解（1）①30，1；②60，； ……………………4分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC ∵CE ……………………6分 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=23. ∴

1ACAO=2=3 . ……………………8分

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2.

∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分

AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B45．7如图，在梯形ABCD中，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形

∴KHAD3． 1分

2AKABsin4542．42在Rt△ABK中， BKABcos4542242 2分

N B M

A D C

22HC543 Rt△CDH在中，由勾股定理得，

∴BCBKKHHC43310 3分

B

A

D

A

D

N

C

B

C

K

（图①）

H

G

（图②）

M

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边

形

∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BGAD3 ∴GC1037 4分

由题意知，当M、N运动到t秒时，CNt，CM102t． ∵DG∥MN ∴∠NMC∠DGC 又∠C∠C ∴△MNC∽△GDC

CNCM∴CDCG 5分 t102t57 即

t5017 6分

解得，

（3）分三种情况讨论：

①当NCMC时，如图③，即t102t

t103 7分

A

D

N

C

B

（图④）

∴

B

A

D N

M

（图③）

M H E

C

②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E 解法一：

由等腰三角形三线合一性质得

coscEC11MC102t5t22

在Rt△CEN中，

EC5tNCt CH3CD5

又在Rt△DHC中，

5t3t5 ∴

t258 8分

cosc解得

解法二：

∵∠C∠C，DHCNEC90 ∴△NEC∽△DHC

NCECDCHC ∴

t5t53 即t258 8分

FC11NCt22

∴

③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.解法一：（方法同②中解法一）

1tFC3cosC2MC102t5

60t解得17

A D

N

B

（图⑤）

解法二：

∵∠C∠C，MFCDHC90 ∴△MFC∽△DHC

H M

F C

FCMCHCDC ∴

1t2102t5 即3t6017

t102560tt3、8或17时，△MNC为等腰三角形 9分

∴

综上所述，当

8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作

EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

A E B

D A

N

D A D N F

C

P P F F E E C B C B

M M

图1 图2 图3 A （第25题） A D D F E F E

B C B C

图5（备用） 图4（备用）

解（1）如图1，过点E作EGBC于点G． 1分 ∵E为AB的中点，

BE1AB2．2

B

A E

D F C

图1

∴

在Rt△EBG中，∠B60，∴∠BEG30． 2分

BG1BE1，EG22123．2

G

∴

即点E到BC的距离为3． 3分

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PMEF，EGEF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EPGM，PMEG3． 同理MNAB4． 4分

如图2，过点P作PHMN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC∠B60，∠PMH30．

13PHPM．22 ∴

B

A E

P H

G M 图2

N

D F C

3MHPMcos30．2 ∴

NHMNMH435．22

22则

5322PNNHPH7．22在Rt△PNH中，

∴△PMN的周长=PMPNMN374．

6分

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．

当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．

3MR．2 类似①，

∴MN2MR3． 7分

∵△MNC是等边三角形，∴MCMN3．

此时，xEPGMBCBGMC6132． 8分

A E B

P

R

G

M

图3

D N

F

C

B E

A

P

D F N C

B E A D F（P） N C

G

图4

M G

图5

M

当MPMN时，如图4，这时MCMNMP3．

此时，xEPGM61353．

当NPNM时，如图5，∠NPM∠PMN30． 则∠PMN120，又∠MNC60， ∴∠PNM∠MNC180．

因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．

．∴MCPMtan301

此时，xEPGM6114．

53综上所述，当x2或4或时，△PMN为等腰三角形． 10分 9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）Q（1，

0） 1分

点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分

（2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OFBE4． ∴AF1046．

y22 在Rt△AFB中，AB8610 3分 D 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵ABC90,ABBC ∴△ABF≌△BCH． ∴BHAF6,CHBF8． ∴OGFH8614,CG8412．

AMFONQPCBEHGx∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分

（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴

tAMMPAPAMMP68． ABAFBF． 103434AMt，PMtPNOM10t,ONPMt55． ∴55． ∴

设△OPQ的面积为S（平方单位）

13473S(10t)(1t)5tt2251010（0≤t≤10） ∴

5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

t47102(3)10476 ∵

a310<0 ∴当

时， △OPQ的面积最大． 6分

9453 此时P的坐标为（15，10） ． 7分

5295t3或13时， OP与PQ相等． 9分

（4） 当

t

10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

F D D A A D A

F F B B E C E C G G B C E G 图1 图2

图3

解：（1）正确． （1分）

证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME． （2分）

BMBE．BME45°，AME135°．

A M B E

C D

F G

CF是外角平分线， DCF45°， ECF135°． AMEECF．

AEBBAE90°，AEBCEF90°，

BAECEF．

△AME≌△BCF（ASA）． AEEF． （6分） （2）正确． （7分）

（5分）

证明：在BA的延长线上取一点N． 使ANCE，连接NE． （8分）

N

A

F D

BNBE． NPCE45°． 四边形ABCD是正方形，

B C E G

AD∥BE． DAEBEA．

NAECEF． △ANE≌△ECF（ASA）． AEEF． （11分）

（10分）

，OA2，OB4．如11已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB90°

图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

B y O A x

（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

B y O A x

（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BD∥OB，求此时点C的坐标．

y B 解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD. 设点C的坐标为O A x

0，mm0.

则BCOBOC4m. 于是ACBC4m.

222在Rt△AOC中，由勾股定理，得ACOCOA，

即4mm2222，解得

m32.

30，点C的坐标为2. 4分

（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B,

则△BCD≌△BCD. 由题设OBx，OCy， 则BCBCOBOC4y，

222在Rt△BOC中，由勾股定理，得BCOCOB.

4yy2x22，

1yx228即 6分

由点B在边OA上，有0≤x≤2，

1yx220≤x≤28 解析式为所求. 

当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

3≤y≤2y的取值范围为2. 7分

（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BD∥OB. 则OCBCBD.

OCBCBD，有CB∥BA. 又CBDCBD，Rt△COB∽Rt△BOA.

OBOC有OAOB，得OC2OB. 9分

在Rt△BOC中， 设

OBx0x0，则

OC2x0.

12x0x2028由（Ⅱ）的结论，得，

x0845. 解得x0845．x00，

点C的坐标为

85160，.

10分

A M F

D

12问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当

CE1AMCD2时，求BN的值．

E

B

N

图（1）

C

方法指导：

AM 为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 BN

类比归纳

CE1AMCE1AM，，在图（1）中，若CD3则BN的值等于 ；若CD4则BN的CE1AM值等于 ；若CDn（n为整数），则BN的值等于 ．（用含n的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与

AB1CE1AMm1，，CDn则BN的值等点C，D重合），压平后得到折痕MN，设BCm于 ．（用含m，n的式子表示）

F

A

M

D E

B

解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．

N

图（2）

C

A M F

D

E

B

N

图（1-1）

C

由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称． ∴MN垂直平分BE．∴BMEM，BNEN． 1分 ∵

四

边

形

ABCD是正方形，∴

ADC90°,ABBCCDDA2．

CE1，CEDE1．NC2x．CD2 ∵设BNx，则NEx，

222 在Rt△CNE中，NECNCE．

∴

x2x1．解得

222x55BN．4，即4 3分

在Rt△ABM和在Rt△DEM中，

AM2AB2BM2， DM2DE2EM2，

AM2AB2DM2DE2．5分

y2222y12．AMy，DM2y， 设则∴ 11y，AM．4即4 6分 解得AM1．BN5 ∴

27分

5BN．4 3分 方法二：同方法一，

如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．

A M F

G

D

E

B

N

图（1-2）

C

∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形． ∴NGCDBC．

5AGBN．4 同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴

EBCBNM90°．∵MNBE，

NGBC，MNGBNM90°，EBCMNG． △BCE与△NGM中

EBCMNG，BCNG，CNGM90°．△BCE≌△NGM，ECMG．∴ ５分 51AMAGMG，AM=1．44 6分 ∵

AM1．∴BN5

7分

2类比归纳

n124925（或10）；17； n1 10分

联系拓广

n2m22n1n2m21 12分