２０１０年第１Ｏ期 中学数学月刊 ・ ２９ ・ 圆锥曲线与“轴定点弦＂有关的一个性质 姜坤崇 （上海市杨浦区彰武路同济新村２２４号甲 ２Ｏ００９２） 过圆锥曲线ｒ对称轴上一定点引直线交ｒ于 Ｐ，Ｑ两点，则称弦ＰＱ为 的“轴定点弦”．“轴定 点弦”有下面性质． 定理１ 给定椭圆ｒ： ＋ ｙＺ＝１（口＞６＞ ０），Ｍ（ｍ，Ｏ）（，７ｚ≠±日，ＩＴ１．≠ｏ）是ｚ轴上的一定点， 过Ｍ任意引一条不与ｚ轴垂直和重合的直线交Ｉ１ 于Ｐ，Ｑ两点，ｒ在Ｐ处的切线与在Ｑ处的切线交 于Ｓ，记志Ｐ口，志ＭＳ分别表示直线ＰＱ，ＭＳ的斜率（以 下同），则是Ｐ。・是 一 兰 （一一口。 定值）． 证明 设点Ｐ（ｘ１，ｙ】），Ｑ（ ２，ｙ２），点Ｓ（ｘ。， ｙ。），则切线ＰＳ，ＱＳ的方程分别为 ＋ 十 一１，一’ ＋ 十 一１．。 又点Ｓ（ｘ。，Ｙ。）在两切线ＰＳ，ＱＳ上，于是有 ＋ ， ＋ 从而知直线ＰＱ的方程是 ａ ＋ Ｄ ＝ｌ， 由此得忌Ｐ口一一了ｂｚｘ０．① 又Ｍ（优，０）在直线ＰＱ上，Ｎ￣Ｘｏｍ一１，即 。一 ．② 于是忌 一 “ 一一 口…ｍ ．③ 一 由①、②、③得，是用・ 一一箬 ・ ｍｙ ｏ 一 皇 （定值）． 定理２ 给定椭圆ｒ： ＋ 一１（ｎ＞６＞ ０），Ｍ（０，”）（ ≠±ｂ， ≠Ｏ）是Ｙ轴上的一定点， 过Ｍ任意引一条不与 轴垂直和重合的直线交ｒ 于Ｐ，Ｑ两点，ｒ在Ｐ处的切线与在Ｑ处的切线交 于ｓ，则是Ｐ口．是 一 （定值）． 定理２类似于定理１可证，此处从略． 将椭圆与双曲线进行类比，我们又可得双曲 线中的如下两个结论． 定理３ 给定双曲线ｒ： 一ｙＡ６。一ｌ（ｎ＞０， ｂ＞０），Ｍ（ｍ，Ｏ）（ｍ≠±ａ，ｍ≠０）是ｚ轴上的一 定点，过Ｍ任意引一条不与ｚ轴垂直和重合的直 线交Ｉ１于Ｐ，Ｑ两点，ｒ在Ｐ处的切线与在Ｑ处的 切线交于ｓ，则是 ・是 一 （定值）． 定理４ 给定双曲线ｒ： 一ｙＡ６ 一１（ｎ＞０， ｂ＞０），Ｍ（０， ）（７２≠Ｏ）是Ｙ轴上的一定点，过Ｍ 任意引一条不与 轴垂直和重合的直线交ｒ于 Ｐ，Ｑ两点，Ｉ１在Ｐ处的切线与在Ｑ处的切线交于 ｓ，则是ｍ．忌 一 （定值）． 以上两个定理的证明可仿照定理１的证明进 行，这里从略． 定理５ 给定抛物线Ｉ１：Ｙ 一２ （ ＞０）， Ｍ（ｍ，０）（ ≠Ｏ）是 轴上的一定点，过Ｍ任意引 一条不与ｚ轴垂直和重合的直线交ｒ于Ｐ，Ｑ两 点，ｒ在Ｐ处的切线与在Ｑ处的切线交于Ｓ，则忌Ｐ口 ・忌 一一 （定值）． 证明 设点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，Ｙ２），点Ｓ（ｘ。， ｙ。），则切线ＰＳ，ＱＳ的方程分别为 １ 一ｐ（ｘ－｝－ｚ１），ｙ２ｙ—ｐ（ｘ＋ ２）． 又点Ｐ（ｘ。， 。）在两切线ＰＳ，（＝｝ｓ上，于是有 Ｙ０Ｙ１一Ｐ（ｚｏ＋ｚ１），ｙｏｙ２一ｐ（ｘｏ＋ ２）． 从而知直线ＰＱ的方程是ｙ。ｙ—ｐ（ｘ。＋ｚ）， 由此得愚 一 ．④ Ｙ ０ 又Ｍ（ｍ，０）在直线ＰＱ上，得ｚ。一一耽⑤ 于是忌 一 ．⑥ 由④、⑤、⑥得，忌ｍ・忌 一一旦． 一 ｙ ０ 厶｜ｆｔ 一 ２ｍ 参考文献 Ｅ１３彭世金．与圆锥曲线的切线定直线相关的一个定值 性质．福建中学数学，２０１０（２）．