合肥市2021届高二上学期数学期末试卷

一、选择题

1．执行如图所示的程序框图，若p0.9，则输出的n为（ ）

A．6

2．已知集合A{x|A．1,1

B．5 C．4 D．3

x30},B{x|x1x2x30}，则ðRAB （） x1B．1,1

C．1,1 D．1,1 3．已知点A(2,0,1)，B(4,2,3)，P是AB中点，则点P的坐标为（ ） A.P(3,1,2)

B.P(3,1,4)

2C.P(0,2,1) D.P(6,4,5)

4．若集合A{xN||x|3},B{x|xx20},则AA．1

B．1,2

C．0,1

B( )

D．0,1,2

5．设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若l//，l//，则// C．若l，l//，则//

B．若l，l，则// D．若，l//，则l

6．已知an为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为（） A.31

B.32

C.

5，则S5463 2D.

65 27．已知直线l：x-y+3=0和点A（0，1），抛物线y=值是（ ） A.2

B.12

x上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小4321 21xC.321 2D.222

2,x18．设函数fx1log2x,x1，则满足fx2的x的取值范围是( )

A．1,2

B．0,2

C．1, D．0, 9．函数fxAsinx (其中A0，（ ）可得gxsin2x2)的部分图象如图所示,将函数fx的图象

的图象 4

个长度单位 12C.向左平移个长度单位

12A.向右平移

B.向左平移D.向右平移

24个长度单位 个长度单位

241an2,n8,10．若数列an满足an3，若对任意的nN*都有anan1，则实数a的取值范an7,n8,围是（ ） A．0,

13B．0,

12C．,11 321D．,1

211．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数果最好的是 A．模型1的相关指数C．模型3的相关指数

5如下，其中拟合效

为为

B．模型2的相关指数 D．模型4的相关指数

为为

112．x422x的展开式中含x5项的系数为（ ） xA.160 二、填空题

13．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为

B.210

C.120

D.252

2，则阴影区域的面积为__________． 3

14．已知从圆C：x1y22外一点Px1,y1向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原

22点，且有PMPO，则当PM取得最小值时点P的坐标为__________．

15．设等比数列an满足a1a21, a1 – a3 = –3，则前4项的和S4 = ___________. 16．在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若c2ab6，C2π，则ABC的面3积为_________. 三、解答题 17．设

，

（1）若

，求

与无关. 的值；

；

，其中

，

（2）试用关于的代数式表示：

（3）设18．已经函数（1）讨论函数（2）若函数19．已知数列求数列数列对于

，，试比较.

与的大小.

的单调区间； 在

处取得极值，对

．

恒成立，求实数的取值范围.

的前n项和

的通项公式； 满足

，求数列

的前n项和

；

恒成立，求的取值范围．

中的，若不等式对一切

20．如图，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2. （Ⅰ）求线段BC1的长度；

（Ⅱ）异面直线BC1与DC所成角的余弦值．

21．已知各项都是正数的数列

求数列设数列若22．已知函数（1）若曲线（2）若明理由.

在

，是否存在的通项公式； 满足：

对任意

，

的前n项和为，，．

，数列

恒成立，求

的取值范围．

.

处的切线方程为，使

的前n项和求证：．

，求的极值；

的极值大于零？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A C B A A D D D 二、填空题 13． 14．83B D 33, 10533 215．-5 16．三、解答题 17．(1) 【解析】 分析：（1）由（2）当乘以

时，

，再等式两边对求导，最后令

即可；

，即可求出p；

，两边同

;(2)

;(3)

.

（3）猜测：详解：（1）由题意知（2）当两边同乘以

时，得：

，利用数学归纳法证明.

，所以

.

，

，

等式两边对求导，得：

，

令

得：

，

即（3）猜测：

，

， .

，

当时，，，，此时不等式成立；

②假设时，不等式成立，即：，则时，

所以当

根据①②可知，

时，不等式也成立；

，均有

.

点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题

(1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0； (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 18．(1) ①当

时，

的递减区间是.

，无递增区间；②当

时，

的递增区间是

，递减区间是

(2) 【解析】 【详解】

分析：（Ⅰ）求出导函数负，得单调区间． （Ⅱ）由函数在

.

，由于定义域是，可按和分类讨论的正

处取极值得且可得的具体数值，而不等式

的最小值即可．

.

上的减函数；

可转化为

，这样只要求得

详解：（Ⅰ）在区间①若②若在区间在区间 上，综上所述，①当②当

时，，则，令上，

，得

上，

是区间. ，函数，函数时，

是减函数； 是增函数；

的递减区间是，无递增区间；

．

的递增区间是在

，递减区间是

（II）因为函数解得由已知令

处取得极值，所以

，经检验满足题意．

，则

，则

易得所以

在上递减，在

，即

上递增，

.

点睛：本题考查用导数求函数的单调区间、函数极值，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立通常通过分离参数法转化为求函数的最值． 19．（1）【解析】 【分析】 （1）由

的通项公式；（2）

，可得当

时，

，两式相减结合

，即可求出数列

；（2）

；（3）

.

，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法求出数列的和；（3）利用

（2）的结论，进一步利用函数的单调性和恒成立问题求出参数的范围． 【详解】 数列当

的前n项和

，

．

，

．

时，得：

当时，

符合上式， 故：由于：则：则：

，

得：

故：

由于不等式所以：不等式由于

若n为偶数时，所以所以：故：【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运

，

，

． ，

当n为奇数时

在．

对一切对一切为递增函数． ，

恒成立， 恒成立．

，

．

， ，

，

算能力和转化能力，属于中档题．“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以20．(1) 【解析】

试题分析：（1）以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．求出点的坐标，从而得到线段BC1的长度； （2）求出两条直线的方向向量，代入公式即可. 试题解析：

（I）以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，

. (2)

∴＝(0,2,0)，＝(－2，－2,2)，|

|＝2，

（II）由（I）可知，∴cos〈

，

〉＝

＝(0,2,0)，

＝

＝(－2，－2,2)

∴异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为.

点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解. 21．（1）【解析】

试题分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当

，得数列递推关系式，因式分解可得

，得

，当

时，

；（2）证明见解析；（3）

．

，根据等差数列定义得数列通项公式

（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：，因此

，从而利用裂项相消法求和得

，即证得（Ⅲ）不等式恒成立问题，

一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而

有最大值，所以

试题解析：（1）时，

是以

为首项，

为公差的等差数列

…4分

（2）

，

…………………9分

（3）由

得

， 当且仅当

时，

，即

有最大值

，………………………………14分

考点：等差数列定义，叠加法求通项，裂项相消法求和

【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如

（其中

是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.

裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如

或

.

22．（1），无极小值；（2）.

，得到关于

的方程组，解出即可求得

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算

的表达式，从而求出函数的单调区间，进而求出函数 （2）求出

的极值即可；

的导数，通过讨论的取值范围，判断函数的单调性，从而确定的范围即可。

试题解析：（1）依题意， ，

又由切线方程可知， ，斜率，

所以，解得，所以，

所以当

，

时，

的变化如下：

+ － 极大值 所以，无极小值.

（2）依题意， ①当

时，

在

，所以

上恒成立，故无极值；

，

②当时，令，得，则，且两根之积，

不妨设，则，即求使的实数的取值范围.

由方程组消去参数后，得，

构造函数，则，所以在上单调递增，

又，所以解得，即.

，解得.

由①②可得， 的范围是

点睛：本题考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及曲线在某点处的切线方程的应用等知识点考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把函数

的极值大于零，转化为导数

的恒成立问题，进一步利用函数的性质，转化为导数的应用是解答的关键。