北航2010-2015年研究生数值分析期末模拟试卷与真题

一、填空（共30分，每空3分） 1 设A2 设

11，则A的谱半径(a)______，A的条件数cond1(A)=________. 51f(x)3x25,xkkh,k0,1,2,，则f[xn,xn1,xn2]＝________,

f[xn,xn1,xn2，xn3]＝________.

32xx,0x13 设S(x)3，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则22xbxcx1,1x2b=________,c=________.

4 设[qk(x)]k0是区间［0，1］上权函数为(x)x的最高项系数为1的正交多项式族，其中q0(x)1，则

xq(x)dx________，q(x)________.

0k2110a5 设A01a，当a________时，必有分解式aa1，其中L为下三角阵，当

其对角线元素Lii(i1,2,3)满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设f(x)x,x03219,x11,x2, 44（1）试求f(x)在[,]上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足

1944H(xi)f(xi),i0,1,2，H(x1)f(x1).

（2）写出余项R(x)f(x)H(x)的表达式.

1

三、（14分）设有解方程123x2cosx0的迭代公式为xn14（1） 证明x0R均有limxnx（x为方程的根）；

x2cosxn， 3（2） 取x04，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.

四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式

，列出各次迭代值；

有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

yf(x,y)五、（15分） 设有常微分方程的初值问题，试用Taylor展开原理构造形如

y(x)y00yn1(ynyn1)h(0fn1fn1)的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误

差主项.

2

六、（15分） 已知方程组Ax＝b，其中A121， ,b0.312（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性.

（2） 若有迭代公式x(k1)x(k)a(Ax(k)b)，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.

七、（8分） 方程组程组变化为

，其中

，其中

，A是对称的且非奇异.设A有误差为解的误差向量，试证明

，则原方

.

其中1和2分别为A的按模最大和最小的特征值.

3

数值分析模拟卷B

填空题（每空2分，共30分）

1. 近似数x0.231关于真值x0.229有____________位有效数字；

2. 设

f(x)可微，求方程xf(x)根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________；

3. 对f(x)x3x1，差商f[0,1,2,3]_________________；f[0,1,2,3,4]________； 4. 已

知

32x(2,3),A21 ，则

||Ax||________________，

Cond1(A)______________________ ；

5. 用二分法求方程f(x)x3x10在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为

_________，进行二步后根所在区间为_________________；

3x15x216. 求解线性方程组1的高斯—赛德尔迭代格式为

x4x0125_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径

(G)_______________；

7. 为使两点数值求积公式：

11f(x)dx0f(x0)1f(x1)具有最高的代数精确度，其

求积节点应为x0_____ , x1_____,01__________. 8. 求积公式

303f(x)dx[f(1)f(2)]是否是插值型的__________，其代数精度为

2___________。

二、（12分）(1)设ALU，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知

02102101，求L，U。 A01210012(2)设A为66矩阵，将A进行三角分解：ALU，L为单位下三角阵，U为上三

角阵，试写出L中的元素l65和U中的元素u56的计算公式。

4

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x)，满足

H(0)f(0)0,H(1)f(1)1,H(2)f(2)1,H(1)f(1)3 ，

并写出插值余项。

四、（12分）线性方程组

x1x2b1 

2x2xb122（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 （2） 设2，给定松弛因子收敛性。

5

12，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论

五、（7分）改写方程2x40为xln(4x)/ln2的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？

六、（7分）证明解方程(x3a)20求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。

七、（12分）已知x0x113,x1,x2. 424（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；

（2）指明求积公式具有的代数精度； （3） 用所求公式计算

八、（8分）若f(x)(xx0)(xx1)(xxn),xi互异，求f[x0,x1,,xp]的值，这里

10x2dx。

pn1.

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数值分析模拟卷C

一、填空题（每空3分，共30分）

1． 设f(x)4x83x42x21，则差商f[20,21,,28] ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组Axb时，若松弛因子满足|1|1，则迭代法 ；

*3．设f(x*)0,f(x*)0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满

足 ；

4. 设f(x)(x2)(x33x23x1),用Newton迭代法求x12具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求x21具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知A72 ，则(A)__________,Cond(A)______ 316. 若x1，改变计算式lgxlgx21=___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点xi,xi3(i0,1,2,3)的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求

21x2dx= 。

221二、（14分）已知方阵A111，

321(1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；

(2) 给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵；

T(3) 用上述分解求解方程组Axb，其中b(3.5,2,4)。

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x)，满足

H(0)f(0)0,H(1)f(1)1,H(1)f(1)10,H(1)f(1)40 ，

并写出插值余项。

7

四、（10分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn1cosxn均收敛于方程xcosx的根，

且具有线性收敛速度。

五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数f(x)4x31，求其在Span{1,x,x2}中关于

权函数(x)1的最佳平方逼近多项式。（可用数据：

p0(x)1,p1(x)x,p2(x)

六、(12

321x） 22分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式

Tn(x)cos(narccosx)(n0,1,2,,x[1,1])的三项递推关系式：

T0(x)1,T1(x)x, Tn1(x)2xTn(x)Tn1(x)(n1,2,)（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I能得到积分的精确值？并计算它。

2x21x(2x)0dx，问当节点数n取何值时，

hyy(K1K3)n1n2K1f(xn,yn)七、（10分）验证对t,为2阶格式. K2f(xnth,ynthK1)K3f(xn(1t)h,yn(1t)hK1)

8

2013年期末考试真题

9

10

11

12

参A 一、1．(a)6，cond1(A)=6.

2．f[xn,xn1,xn2]=3，f[xn,xn1,xn2，xn3]=0. 3．b=－2，c=3.

4．12,k0；qx)x2632(x.

0,k05105．a(112,2);lii0(i1,2,3)

二、(1) H(x)14225x326322331450x450x25 (2) R(x)195219194!16(x4)(x1)2(x4),(4,4).

三、（1）L23;（2）x3.347;（3）线性收敛. 四、AC109,B169,125;求积公式具有5次代数精度，是Gauss型的. 五、＝1712，0＝4，1＝－4；截断误差主项为38h3y(xn). 六、（1）(BJ)0.6,(BGS)0.61,因此两种迭代法均收敛.

（2）当110.6a0时，该迭代公式收敛.

参B 一、1．2

2．xf(xn)n1xnf(x(n0,1,) n)3．1, 0 4．7,

257 5．(1132,1),(2,4)

13

(k1)15(k)x2x11336.  ,1(k1)x2x1(k1)12207. x08. 是, 1

2,x132; 1 320001100130202二、(1) L40,U01230013 50010013400041a65(l61u15l62u25l63u35lu45)(2)

l65u;55

u56a55(l51u16l52u26l53u356lu46)三、 H(x)x2x(x1)(x2),R(x)f(4)()4!x(x1)2(x2)x(k1)b(k)四、(1) 11x2(k1)b2(k1), x1 时收敛

22x1x(k1)b11x(k)(k) (2) 1221x2, 收敛 x(k1)b1(k)22x2x(k1)421五、收敛 七、（1）

2111233f(4)3f(2)3f(4) （2）2 (3)

13 八、pn时为0，pn1时为1

14

参C 一、1．4

2．发散

3．f(x*)0 4．xn1xnf(xn)f(xn)(n0,1,),xn1xn3(n0,1,)

f(xn)f(xn)5．

8602, 49 6.

lgxx21

7. x3 8.

73 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，

100L0.66671032100,U00.66670.3333,P100.33330.51000.501(3) (1.5,1,4.5)

三、H(x)x11x(x1)9x(x1)2,R(x)f(4)()4!x(x1)3 五、p0125p1 六、n1，2

100

15