南京师范大学附属扬子中学2020届高 三 一模模拟数学试卷

南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷

数学Ⅰ试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合A1,2,3,4，Byyx2,xA，则AIB__________． 2．若z(1+2i)=5，i为虚数单位，则z的实部为__________．

3．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为__________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为__________．

I←1 12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2y16，AB为圆C上的两个动点，且AB22，G为弦AB的中点．直线l:xy20上有两个动点PQ，且PQ2．当AB在圆C上运动时，PGQ恒为锐角，则线段PQ中点M的横坐标取值范围为__________．

213．已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足PAPB2PD0，PAPBPC0，则

uuuruuuruuurruuuruuuruuurr＝__________．

1lnx,x114．已知函数fx1，若x1x2，fx1fx22，则x1x2的取值范围是__________． 1x,x122二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答

While I7 S←2I＋1 题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

5．函数f(x)x122x的定义域为__________．

I←I＋2 （第4题图）

rr6．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(－

1，1)垂直的概率为__________．

7．已知圆锥的侧面积为8π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为__________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知12(acosC＋ccosA)＝13bcosB． （1）求cosB；

（2）若a＋c＝15，且△ABC的面积为5，求b的值．

8．已知函数ysin2x的图象上每个点向左平移(0)个单位长度得到函数ysin2x的图象，

62则的值为__________．

x2y29．若双曲线221的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为__________．

ab10．等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列，若a11，则S4__________．

11．已知正数x,y满足xy1,则

41的最小值为__________． x2y116．（本小题满分14分）

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2020年1月1日

如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，ACCC1，D，E分别是棱AB，AC上的点，且BC//平面A1DE.

（1）证明：DE//B1C1；

（2）求证：AC1A1B．

18．（本小题满分16分）

（1）求椭圆C的方程；

（2）若B是AP的中点，求直线l的方程；

（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

17．（本小题满分14分）

某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点． AD，BC的两条线段围成．设圆弧AB和圆弧CD所在圆的半径分别为r1,r2米，圆心角为θ（弧度）

，r13,r26，求花坛的面积；

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)lnxxax．

2x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：221(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)，

ab椭圆离心率为

1，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A在B的左侧）． 2（1）若3（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

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2020年1月1日

（1）当a1时，求函数f(x)的极值； （2）若f(x)0恒成立，求a的取值范围；

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数学Ⅱ试题

21．[选做题]（在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域

内）

（3）设函数f(x)的极值点为x0，当a变化时，点(x0，f(x0))构成曲线M．证明：任意过原点的直线ykx，与曲线M均仅有一个公共点．

20．（本小题满分16分）

设数列an的前n项和为Sn，2Snan3，nN*． （1）求数列an的通项公式；

（2）设数列bn满足：对于任意的nN*，都有a1bna2bn1a3bn2anb1()①求数列bn的通项公式；

②设数列cnanbn，问：数列cn中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

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A．

a11已知二阶矩阵M的特征值1所对应的一个特征向量为3.

3b（1）求矩阵M；

（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C的方程为y2x，求曲线C的方程．

B．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断

13n13n3成立．

x12tl:2y12tC:2cos2sin0的位置关系． t直线（为参数）与圆

2020年1月1日

（2）已知Fxamm1k1mknkCCx1xx，求am的表达式； n1knkmkk1nxyz111222x,y,z＞0yzxxyz． C．设，证明：

（3）若An

[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）

袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个．从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.

k2n1ak1111La2a3a4ann1，请证明A2n11111． n1n2n3nn（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量的分布列和期望．

23．（本小题满分10分）

设函数Fx1k1mknkCCx1xnkm,n,k,mN． n1kkmknkmmkm（1）化简：CnCkCnCnmnkm,n,k,mN；

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