初三-第03讲-一元二次方程的综合应用(培优)-教案

学科教师辅导讲义

学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 年 级：九年级 辅导科目：数学 课 时 数：3 学科教师： 第03讲---一元二次方程的综合应用 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ① 利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题； ② 认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力； ③ 熟练应用一元二次方程解决四类典型应用题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）一元二次方程的根与系数的关系 1、如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣ 2、如果方程x+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q 3、以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x－（x1+x2）x+x1x2=0 222bc，x1x2= aa （二）列一元二次方程解应用题

1、步骤 列一元二次方程解应用题的步骤可归结为审、设、列、解、验、答。 2、几何面积问题 （1）解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式； （2）不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线； （3）重视数形结合的思想方法。 3、平均增降率问题 对于P=a（1 + x） （1）a是增长或降低的基础量； （2）x是平均增长或降低率； （3）n是增长或降低的次数； （4）P是增长或降低后的数量； （5）“+”表示增长，“-”表示降低。 4、利润问题 （1）利润 = 售价-进价（成本） 利润售价-进价（2）利润率 = ×100% = ×100% 进价进价（3）售价 = 进价×（1+利润率） （4）总利润 = 单件商品利润×销售量 = 销售额 - 总成本 5、行程问题 通常与构造直角三角形，使用勾股定理得到一元二次方程有关。 n 典例分析 考点一：一元二次方程的根与系数的关系 例1、若m，n是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值是( ) A．－7 B．7 C．3 D．－3 【解析】B

例2、x＋y＝－6和xy＝－7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是( ) A．m2＋6m＋7＝0 B．m2－6m－7＝0 C．m2＋6m－7＝0 D．m2－6m＋7＝0 【解析】C 例3、设x1x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值． x2x1(1)x12＋x22 (2)＋ (3)x12＋x22－3x1x2 x1x21311331【解析】x1＋x2＝，x1·x2＝－， (1)3 (2)－ (3) 224 例4、a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 【解析】∵（a﹣c）=a+c﹣2ac＞a+c，∴ac＜0． 在方程ax+bx+c=0中，△=b﹣4ac≥﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B． 考点二：几何面积问题 2222222例1、餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ） A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 【解析】B 例2、小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为( ) A. 2 cm B．1 cm C.0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm 【解析】C 例3、如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( ) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 D．2（160x+100x）=160×100

P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 ➢ 课堂狙击 1、若x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1x2的值为( ) A．－3 B．0 C．1 D．4 【解析】B 2、设α，β是方程x+9x+1=0的两根，则（α+2009α+1）（β+2009β+1）的值是（ ） 222A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000 【解析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．故选D． 3、关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2 【解析】依题意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0， 即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a， ∴﹣=1﹣a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．故选：B． 4、李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ） A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=20 【解析】设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，由题意得，n（n﹣1）=20．故选B． 5、从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（ ） A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2 【解析】A． 6、广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（ ）

A．188（1+a%）2=118 B．188（1﹣a%）2=118 C．188（1﹣2a%）=118 【解析】B． D．188（1﹣a2%）=118 7、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175 C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175 【解析】D． 8、如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P、Q分别从点A，B同时出发，经过 秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2. 【解析】2或4 9、某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，每件应降价 元． 【解析】6或10 10、某小区2012年屋顶绿化面积为2 000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2 880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是____ 【解析】20% 11、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2． （1）求AE的长（用x的代数式表示）； （2）当y=108m2时，求x的值． 【解析】（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE， 设BE=a，则AE=2a，AB=3a， ∴8a+2x=80，∴a=﹣∴AE=2a=﹣x+20； x+10， （2）∵矩形区域ABCD的面积=AB•BC，

∴3（﹣x+10）•x=108，整理得x2﹣40x+144=0，解得x=36或4， 即当y=108m2时，x的值为36或4． 12、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？ 【解析】∵80×10＝800(元)<1 200元， ∴小丽买的服装数大于10件． 设她购买了x件这种服装，根据题意，得 x[80－2(x－10)]＝1 200. 解得x1＝20，x2＝30. ∵1 200÷30＝40<50，∴x2＝30不合题意，舍去． 答：她购买了20件这种服装 13、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由． 【解析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，由题意得：AC=20t，AE=AB﹣BE=100﹣40t，EC=20，根据勾股定理可得（20t）2+（100﹣40t）2=202，方程无解，进而可得不会受影响． ➢ 课后反击 1、一元二次方程x2＋3x＝1的两根之和与两根之积分别是( ) A．3，1 B．－3，－1 C．3，－1 D．－3，1 【解析】B． 2、若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≥1 B．k＞1 【解析】D． 3、已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ） A． B． C． D．

C．k＜1 D．k≤1

【解析】D． 4、元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=2×90 C．x（x﹣1）=90÷2 【解析】A． 5、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（ ） A．4x2=3600 B．100×50﹣4x2=3600 C．（100﹣x）（50﹣x）=3600 【解析】D． 6、某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4 C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4 【解析】D． 7、已知x＝3是关于x的方程x2＋2x＋m＝0的一根，则另一根是____，m＝____ 【解析】－5，－15 D．（100﹣2x）（50﹣2x）=3600 D．x（x+1）=90 8、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm． 【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm， 根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，

解之得x=5， （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm， 作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t， ∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|， 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102， 解得t1=4.8，t2=1.6． 从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm． 9、关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0. (1)a为何值时，方程的一根为0? (2)a为何值时，两根互为相反数？ a－1【解析】(1)由方程的一根为0可得：－＝0，∴a＝1 2 (2)设方程的两根分别为x1，x2， a－4 ∵两根互为相反数，∴x1＋x2＝0.∴＝0. 2 ∴a＝±2.∵当a＝－2时， 方程2x－(a－4)x－a＋1＝0无解． ∴a＝2 22210、为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费80万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元． 【解析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得： 6000（1+x）2=80， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）， （2）y=80×（1+0.2）=10368（万元） 11、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃 要想平均每天获得2240元的利润，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【解析】(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意得 x (60－x－40)(100＋×20)＝2 240. 化简得x2－10x＋24＝0， 2 解得x1＝4，x2＝6，则每千克核桃应降价4元或6元 (2)∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元， 此时，售价为60－6＝(元)，×100%＝90%，则该店应按原售价的九折出售 6012、如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门． （1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长； （2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度， 问BC边至少应为多少米？ 【解析】（1）设BC的长为xm，则AB的长为依题意得：（25+1﹣x）m． （25+1﹣x）x=80，化简，得x2﹣26x+160=0， 解得：x1=10，x2=16（舍去）， （2）依题意得： 答：略. ，解得≤x≤12， 所以x最小=． 直击中考 1、【2016•桂林】若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【解析】B． 2、【2014•黄冈】若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ） A．﹣8 B．32 【解析】C 3、【2013•烟台】已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则 C．16 D．40 的值是（ ）

A．7 【解析】A B．﹣7 C．11 D．﹣11 4、【2016•恩施州】某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（ ） A．8 【解析】B． 5、【2016•鄂州】关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S= 若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由． 【解析】（1）①当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根； ②当k≠1时，方程是一元二次方程， ∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0， ∴无论k为何实数，方程总有实数根. 综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根． （2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=， +x1+x2，S的值能为2吗？ B．20 C．36 D．18 若S=2，则+x1+x2=2， 即+x1+x2=2， 将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，解得：k=1（舍）或k=2， ∴S的值能为2，此时k=2． 6、【2014•莱芜】若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ． 【解析】﹣1 7、【2014•随州】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台． (1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数

关系式； (2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价) 【解析】(1)由题意，得当0解一元二次方程的应用问题时，先找准等量关系，再根据等量关系列出方程并准确计算出结果是关键。 学霸经验 ➢ 本节课我学到了 ➢ 我需要努力的地方是