证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2， ∴BN2-AN2=BM2-AM2，
又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ， ∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2，又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2．
【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系．
【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2， 1.
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形．
证明：连接CE，
∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得，∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE=60°，EC=BC，又∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2
∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形． 2.
在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2．
证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，则AB2+CD2=AC2+BD2． 3.
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．
证明：作AE⊥BC于E，如图所示：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
1∴BE=CE=AE=2BC，∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE）2=2AE2+2DE2=2AD2． 4.
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2．
证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，
∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2，
∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2． 5.
如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．
证明：连接BD，
∵D是AC的中点，∴CD=AD．
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴BE2-AE2=（BD2-DE2）-（AD2-DE2）=BD2-AD2=（BC2+CD2）-AD2=BC2．
【例1】在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，AD=BD，
过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．
证明：BF2+FC2=2AD2，理由：如图3，连接AF、CD．
∵EF⊥AC，且AE=EC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，∵EF⊥AC，且AE=EC，∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，∵AD=BD，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，∴∠DAF=∠DCB，∴∠DAF=∠DBC，∴∠AFB=∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，DA=DB，∴AB2=2AD2，在Rt△ABF中，BF2+FA2=AB2=2AD2，∵FA=FC∴BF2+FC2=2AD2．
【例2】如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．
证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．
又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．又∵AM=CM，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②∵△BPM与△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③
把②③代入①，得AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2． 1.
如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．
证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，
AC2=AD2+CD2②，
由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，
∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，
CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）． 2.
在△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；
（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；
（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）
（1）证明：∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC，∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（2）成立，理由如下：
如图所示，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①
在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2②
①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，在Rt△ADP中，∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD， ∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，∴AP2-
（3）结论：AP2-AB2=BP•CP．如图所示，理由如下：
AP2=AD2+DP2，
AB2=BP•CP．3.
已知AM是△ABC的中线．
（1）求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2-AC2=2BC•MD．
证明：（1）在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②， 由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2， 则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2， ∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC， ∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2， CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2， ∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2， ∴AB2+AC2=2AM2+2BM2=2（AM2+BM2）．
（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+DC2，
∴AB2-AC2=BD2-DC2=（BD+CD）（BD-CD）=BC（BM+MD-CD），
∵AM是中线，∴AB2-AC2=BC（CM+MD-CD）=BC（MD+MD）=2BC•MD．
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