第13讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 【2014年高考会这样考】

1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值． 2．利用三角公式考查角的变换、角的范围． 基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； tan α＋tan βtan α－tan β(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝； (6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 1－tan αtan β1＋tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α

(3)T2α：tan 2α＝.

1－tan2α3．有关公式的逆用、变形等

1＋cos 2α1－cos 2α

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝；

22π

α±. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin44．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 两个技巧

α＋βα－βα－ββ(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝α＋2－222α＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 2三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

1

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双基自测

1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为1

4的是( )．

A．2cos2

π－1 B．1－2sin22tan 22.5°1275° C.1－tan222.5°

D．sin 15°cos 15°

2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2cos2α

α的值等于( )．

A．2 B．3 C．4 D．6

3．（2013·新课标）已知sin2α=,则cos2

(α+)=（ ）

A． B． C． D．

4．(2011·辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )． A．－79 B．－1179 C.9 D.9

5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________. 考向一 三角函数式的化简 2cos4x－2cos2x＋

1

【例1】►化简2

2tanπ. 4－xsin2π4＋x

【训练1】 化简：sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1

sin 2α.

【训练2】（2013·上海）若cosxcosysinxsiny13,则cos2x2y________.

【训练3】（2013·四川）设sin2sin,(2,),则tan2的值是________

考向二 三角函数式的求值，求角问题

【例2】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π

2，求β.

【训练4】 已知α，β∈0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－1

3，求cos β的值．

2

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【训练5】（2013·广东）已知函数f(x)2cosx,xR.

12f.

6(1) 求f

33的值;(2) 若cos,,2,求352考向三 三角函数的综合应用

【例3】(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x. π(1)求f3的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．

1【训练6】（2013·陕西）已知向量a(cosx,),b(3sinx,cos2x),xR, 设函数

2f(x)a·b.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在0,上的最大值和最小值.

2

【训练7】（2013·安徽）设函数f(x)sinxsin(x3).

(Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;

(Ⅱ)不画图,说明函数yf(x)的图像可由ysinx的图象经过怎样的变化得到.

3

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1．（2013·湖南）已知函数

f(x)cosxcosx

3(1) 求f(

21)的值; (2) 求使 f(x)成立的x的取值集合 342．（2013·山东）设函数f(x)33sin2xsinxcosx(0),且yf(x)的2图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为(Ⅰ)求的值 (Ⅱ)求f(x)在区间[,

4,

3]上的最大值和最小值 2fx）(2cosx1)sin2x3．（2013·北京）已知函数（21cos4x. 2,),且（f）fx）(I)求（的最小正周期及最大值; (II)若(

4．（2013·辽宁）设向量a22,求的值. 23sinx,sinx,bcosx,sinx,x0,.

2(I)若ab.求x的值； (II)设函数fxab,求fx的最大值.

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