CF888 D. Almost Identity Permutations（数学）

题意：给定n，k，求至少有n-k个ai=i的排列数

分析：
为方便，用n-k代替k
比如n = 5,k = 1
先看有且仅有1个ai=i的情况：
 有且仅有1个ai=i有$C_5^1$种情况，以a1=1为例
 剩下的四个位置，不能出现ai=i，第二位可以填3 4 5，第三位可以2 4 5，在二三位确定后，四五位自然确定
 ans=$C_5^1$ $\ast$ $3\ast 3$
有且仅有2个ai=i时：
 两个位置确定的可能：$C_5^2$ 以a1=1，a2=2为例
 第三个位置可以填4 5，四五位置确定
 ans=$C_5^2$ $\ast$ 2
有且仅有3个位置确定时，剩下两个位置只能有一种情况
4个位置确定时，第五个位置自然确定

所以我们可以得出一个规律：ans=$C_5^1$$\ast$$(5-1-1{)}^2$$+$$C_5^2$$\ast$$(5-2-1{)}^1$$+$$C_5^3$$\ast$$(5-3-1{)}^0$$+$ 1

上代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll Inf = 1e18;

ll zuhe(ll n, ll m) //组合数
{
	if (m < n - m) m = n - m;
	ll ret = 1;
	for (int i = m + 1; i <= n; i++) ret *= i;
	for (int i = 2; i <= n - m; i++) ret /= i;
	return ret;
}

int main(void)
{
	int n, k;
	ll ans = 0;
	cin >> n >> k;
	k = n - k;
	while (n - k >= 2) {
		ans += zuhe(n, k) * pow(n - k - 1, n - k - 2);
		k++;
	}
	ans += 1;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}